tp duong2

Bài Tích phân đường loại Bài tốn Tính cơng lực F sinh đưa chất điểm từ điểm A đến B theo cung � AB AB đường thẳng TH1 Lực F không đổi,� Giả sử Khi TH2 Tổng quát cung AB đường cong trơn Chia nhỏ cung AB thành n phần Trên phần coi ko đổi với thuộc cung Cung = coi đoạn thẳng Khi Định nghĩa � AB •Cho   hàm số xác định B1: Chia cung � AB thành cung nhỏ điểm chia độ dài đại số hình chiếu � Ai 1 Ai lên trục tọa độ � B2: Trên cung nhỏ Ai 1 Ai chọn tùy điểm , B3: Lập tổng tích phân: n I n  �P  xi , yi  xi  Q  xi , yi  yi i 1 B4: Nếu cho mà hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia cung � cách chọn điểm AB gọi tích phân đường loại hai � hàm số cung AB Kí hiệu I P  x, y  dx  Q  x, y  dy � � AB Nhận xét Tích phân đường loại có đầy đủ tính chất giống với tích phân xác định Điều kiện khả tích: Nếu hàm số xác định liên tục cung trơn � khả tíchAB cung Tích phân đường loại phụ thuộc vào chiều lấy tích phân Pdx +Qdy   � Pdx +Qdy � � AB � BA AB đường cong kín kí hiệu Trong trường hợp cung L = � I � Pdx +Qdy  L I � Pdx +Qdy L Trong đó, chiều dương quy ước chiều mà người dọc L theo chiều miền giới hạn L nằm phía bên tay trái + + + Cách tính I  P  x, y  dx  Q  x, y  dy � � AB • TH1 Nếu dạng tham số � AB I tB P  x, y  dx  Q  x, y  dy  �  P( x(t ), y (t )) x '(t )  Q( x(t ), y (t )) y '(t ) dt � � AB tA  TH2 I � AB có phương trình xB P  x, y  dx  Q  x, y  dy  �  P( x, y ( x))  Q ( x, y ( x)) y '(t ) dx � � AB  TH3 I xA � AB có phương trình yB P  x, y  dx  Q  x, y  dy  �  P( x( y ), y ) x '( y )  Q( x( y ), y ) dy � � AB yA Các ví dụ Ví dụ Tính tích phân đường I �  x  y  dx   x  y  dy C 1) Trong nối từ đến 2) Trong nối từ đến Ví dụ 2 2 I � x  y dx  x  y     dy C 3) chu tuyến tam giác với Ví dụ Cho � AB nửa nối từ đến Tính I xdx  ydy � � AB Mối liên hệ tích phân đường loại kép – Cơng thức Green •Định   lí (Cơng thức Green) Giả sử đạo hàm riêng liên tục miền đóng D có biên đường cong kín L Khi đó, �� Q � P� I � P  x, y  dx  Q  x, y  dy  � dxdy �  � � � x � y� D � L Chứng minh TH1 D miền đơn liên đường thẳng song song với trục tọa độ cắt L nhiều điểm (hình vẽ) x2 ( y ) d � Q � Q dxdy  � dy � dx � � � x � x D c x1 ( y ) d d � Q( x, y ) x ( y ) dy  �  Q( x2 ( y), y)  Q( x1 ( y ), y ) dy x2 ( y ) c  Q ( x, y )dy �Q( x, y)dy  �Q( x, y)dy  � � ENF Tương tự Vậy c � FME � P dxdy   � P( x, y )dx � � � y D L �� Q � P� I � P  x, y  dx  Q  x, y  dy  � dxdy �  � � � x � y� D � L L TH tổng quát Nếu D miền bất kỳ, ta đưa trường hợp cách chia nhỏ miền D Ví dụ Tính tích phân ( xy  x  y )dx  ( xy  x  y )dx � L Trong đó, L đường ellip 2 2 I � x  y dx  x  y     dy C chu tuyến tam giác với Ví dụ Tính tích phân ( x  y )dx  ( x  y )dy Trong đó, L đường trịn 2 � x  y  L không xác định nên không áp dụng công thức Green Điều kiện để tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường lấy tích phân •   lí (4 mệnh đề tương đương) Định Cho hàm số xác định liên tục đạo liên tục miền D đóng, bị chặn, đơn liên Khi mệnh đề sau tương đương 1) Py'  Qx' 2) �Pdx  Qdy  L 3) Pdx  Qdy tồn phụ thuộc vào điểm A B, không phụ � � AB thuộc vào đường nối từ A đến B 4) Tồn hàm cho D Chứng minh : Định lí Green Phải chứng minh M A �Pdx  Qdy  �Pdx  Qdy � AMB � �Pdx  Qdy  �Pdx  Qdy  � AMB � � ANB � ANB �Pdx  Qdy  �Pdx  Qdy  � AMB � BNA Đúng AMBNA đường cong kín nên B N Ta cần tồn hàm xong Lấy thuộc Chọn Tích phân khơng phụ thuộc đường lấy nên Tương tự B M A Vậy suy Chú ý Trong mệnh đề trên, điều kiện (1) dễ kiểm tra nên thường dùng để làm điều kiện cần đủ cho mệnh đề lại Nếu (1) thỏa mãn tồn cho hay nói cách khác biểu thức vi phân hoàn chỉnh Nếu tồn (4) hàm thỏa mãn nên không (1) (2) chọn tùy ý cho P(x,y) Q(x,y) có nghĩa •Ví  dụ 1)Tính  ( x2  y ) I � e L (cos2 xydx  sin xydy ), L đường tròn lấy theo chiều kim đồng hồ 2 I  y  xy dx  xy  x     dy 2) Tính tích phân � L đường cong nối đến •3)  Cho biểu thức (2 x  xy  y )dx  (2 x  x y  y ) dy 2 Chứng minh biểu thức vi phân tồn phần hàm số u(x, y) Tìm u