PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014-2015 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài1: (6 điểm) Cho biểu thức: P a) Rút gọn P x 1 x2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q chứng minh biểu thức : x P A ( 1) 2 12 18 128 số nguyên Bài 2: (4đ) Tìm cặp số x; y ,sao cho y nhỏ thỏa mãn: x y y xy Cho x 0, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A xy x y xy Bài 3: (4đ) Giải phương trình: 36 x2 28 x y y 1 Cho a,b,c ba số thỏa mãn: abc=1 chứng minh 1 1 2 a 2b b 2c c 2a 2 Bài 4(6đ) cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) Kẻ hai tiếp tuyến AB,ACvà cát tuyến ADE tới đường trịn (B,C tiếp điểm D nằm A E.Gọi H giao Điểm AO BC 1.Chứng minh điểm A,B,O,Ccùng thuộc 1đường tròn 2.Chứng minh AH.AO=AD.AE 3.Tiếp tuyến D (O)cắt AB,AC theo thứ tự M,N biết OA=6cm ;R=3,6cm 4.Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB,AC I,K Chứng minh MI NK IK ˆ Bài (1đ) Cho tam giác ABC vuông A, cạnh BC cố định, ACB Tìm giá trị lớn biểu thức S 3Sin 4Cos HẾT ThuVienDeThi.com PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014-2015 Mơn: Tốn Nội dung Bài Bài (6đ) Điểm 1.Tìm điều kiện: x 0, x a) Rút gọn P b) Q 0,5đ x x x 1 1,5đ 2x x x2 x 2 x x x 2 P x x x 1đ Áp dụng bất đẳng thức Cô Si MaxQ 2 2 0,5đ 0,5đ Chỉ dấu xảy x 0,5đ 0,5đ 18 128 18 (4 2) 2.Tính 12 18 128 ( 1) 0,5đ 0,5đ 2 ( 1) A ( 1)( 1) Bài (4đ) Biến đổi: x y y xy x xy y y y x y y y (1) Vì x y 0x, y nên y y y y y 1 y 3 3 y mà y Z y nhỏ nên y 3 Thay y 3 vào (1) ta x 6 Vậy y nhỏ - với cặp số x, y 6; 3 xy xy 2 x y xy xy xy x y xy 1 Áp dụng BĐT với a, b Dấu xảy a b a b ab Tách A 0,5đ 0,5đ 1đ 0,25đ vào toán ta có: 1 4 x y xy x y 2 (1) xy xy 1 xy 5 xy x y xy Áp dụng BĐT Cô Si ta có Vì x y x y 2 Từ (1);(2);(3) A 11 Vậy MinA 11 x y ThuVienDeThi.com (2) 0,5đ 0,5đ (3) 0,5đ 0,25đ Bài 4đ 1.Giải phương trình: đk : x>2 ,y>1 Biến đổi pt dạng x2 x2 y 1 y 1 0,25đ 28 1,25đ Áp dụng BĐT si vói hai số dương VT 28 (2) Để có (1) dấu sảy (2) x2 x2 y 1 y 1 Khi 0,25đ Từ tìm x=11 y=5 (thỏa mãn ) 0,25đ 0,5đ 0,5đ a 2b (a b ) (b 1) 2ab 2b b 2c 2bc 2c c 2a 2ac 2a 1 1 1 ) ( 2 a 2b b 2c c 2a ab b bc c ac a 1 1 1 ) ( ab b 1 1 a a ab b 0,5đ 0,25đ 0,25đ Dấu sảy a=b=c=1 I Bài4 B M E D A H O N C K Chứng minh OB AB, OC AC (theo tính chất tiếp tuyến) OBA OCA 90 B C thuộc đường tròn đường kính OA điểm A, B,O, C thuộc đường tròn ThuVienDeThi.com 1,25đ 0,75đ Chứng minh OB AB Chứng minh OA BC H AB2 = AH.AO (1) Chứng minh ABD đồng dạng với AEB 0,75đ 0,25đ 0,5đ AB AD AB2 = AE.AD (2) AE AB Từ (1) (2) AH.AO = AE.AD 0,25đ Tính AB = 4,8cm Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt suy AB = AC, MD = MB, ND = NC Chu vi AMN là: AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN = AM +AN + MB + NC = AB + AC = 2AB = 9,6cm Chứng minh IK//BC Và AB = AC AI = AK AIK cân A AIK AKI OI = OK = Theo t/c hai tiếp tuyến cắt suy ra: 0,75đ 0,5đ IK 0,5đ NMI MNO ONK MNK NMO OMI Tứ giác MNKI có IMN MNK NKO KIM 360 2IMO 2ONK NKO 360 IMO ONK NKO 180 Đồng thời NOK có: NOK ONK NKO 180 IMO NOK MIO đồng dạng với OKN MI OI IK MI NK OI OK OK NK MI NK MI NK Áp dụng BĐT Cosi: MI NK IK Bài 1đ IK IK HS chứng minh BĐT ax by a b x y Dấu xảy ay bx Áp dụng BĐT vào tốn ta có: S 3Sin 4Cos 9 16 Sin 2 Cos 2 25 S Dấu xảy 3Cos 4Sin tan Vậy MaxS tam giác ABC có: 0,25đ 0,5đ AB 3 hay tan C AC 4 Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,25đ ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014-2015 Mơn: Tốn Nội dung Bài Bài (6đ) Điểm 1.Tìm điều kiện:... ? ?9 16 Sin 2 Cos 2 25 S Dấu xảy 3Cos 4Sin tan Vậy MaxS tam giác ABC có: 0,25đ 0,5đ AB 3 hay tan C AC 4 Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com... AB, OC AC (theo tính chất tiếp tuyến) OBA OCA 90 B C thuộc đường trịn đường kính OA điểm A, B,O, C thuộc đường tròn ThuVienDeThi.com 1,25đ 0,75đ Chứng minh OB AB Chứng minh OA