Các phương pháp phân tích quá độ Phương pháp tích phân kinh điển Phương pháp toán tử Laplace Phương pháp biến trạng thái Phương pháp tích phân Duhamel và hàm Green Phương pháp
Trang 1miền thời gian
6.1 Giới thiệu
6.2 Phương pháp tích phân kinh điển
6.3 Phương pháp toán tử Laplace
6.4 Phương pháp biến trạng thái
6.5 Hàm truyền đạt
6.1 Giới thiệu
Khái niệm về bài toán xác lập và quá độ của mạch
Các bài toán quá độ thường gặp
Các phương pháp phân tích quá độ
Khái niệm về bài toán xác lập và
quá độ của mạch
Bài toán xác lập DC:
U cxl = 12 V.
_
2 K
2 F
+
- Bài toán xác lập AC :
Bài toán xác lập AC : Từ mạch phức : Nên :
Và biểu thức xác lập :
_
2 K
2 F
12cos(250t) V
ucxl
+
-6
2 250.2
j C
2
o Cxl
j K
K j K
cxl
Bài toán quá độ :
Bài toán quá độ :
Trước khi đóng khóa K:
mạch xác lập và ta có :
U cxl1 = 12 V
Sau khi đóng khóa và mạch
xác lập : U cxl2 = 6 V.
Dạng tín hiệu u c (t) khi t > 0
là lời giải của chương 6
_
2 K
2 F
+
- 2 K
t=0
K
Các bài toán quá độ thường gặp
Bài toán quá độ do thông số mạch thay đổi (Bài toán có khóa)
Bài toán quá độ do tác động lên mạch biến thiên đột ngột (Bài toán xung).
_
2 K
2 F
12 V uc (t)
+
- 2 K
t=0 K
_
2 K
2 F e(t) uc (t)
+
- 2 K
0
12 V e(t)
t
1 ms
Trang 2 Các phương pháp phân tích quá độ
Phương pháp tích phân kinh điển
Phương pháp toán tử Laplace
Phương pháp biến trạng thái
Phương pháp tích phân Duhamel và hàm
Green
Phương pháp hình ảnh pha
Phương pháp số
6.2 Phương pháp tích phân kinh điển
6.2.1 Phương trình mạch và nghiệm phương trình vi phân
6.2.2 Điều kiện đầu (Sơ kiện) 6.2.3 Phương trình đặc trưng của mạch quá độ 6.2.4 Khảo sát quá độ bằng tích phân kinh điển trên một số mạch đơn giản
6.2.5 Một số ví dụ khác.
6.2.1 Phương trình mạch và nghiệm
phương trình vi phân
Hệ phương trình vi tích phân viết theo các luật
Kirchhoff cho mạch (hệ phương trình mô tả mạch) tại
một thời điểm bất kỳ.
Rút gọn hệ phương trình mô tả mạch theo một biến
y(t) nào đó , ta có phương trình vi phân tổng quát bậc
n như sau :
(1)
1
Nghiệm theo tích phân kinh điển
Nghiệm của phương trình (1) theo cách giải phương trình vi phân cổ điển có dạng : y(t) = ycb(t) + ytd(t)
Trong đó :
y cb (t) : nghiệm cưỡng bức (nghiệm xác lập y xl (t) )
y td (t) : nghiệm phương trình thuần nhất (nghiệm
tự do).
Xác định nghiệm xác lập yxl(t)
Với vế phải của phương trình vi phân (1) có dạng bất
kỳ, nghiệm này thường xác định theo phương pháp hệ
số bất định
Với tác động lên mạch là tín hiệu DC, AC hay xếp
chồng của chúng : ta có thể áp dụng các phương pháp
giải mạch xác lập đã học trong môn học Mạch điện I.
Xác định nghiệm tự do ytd(t)
Về mặt toán học , nghiệm này được xác định từ phương trình đặc trưng của mạch Phương trình đặc trưng (PTĐT) xác định từ (1) có dạng :
(2) Các trường hợp nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ cho ta biểu thức của nghiệm tự do Các trường hợp đó là :
1
Trang 3 Các trường hợp nghiệm PTĐT
Nghiệm thực , phân biệt :
p 1 ,p 2 …, p n
Nghiệm bội : p 1 bội r , còn lại là thực, đơn.
Nghiệm phức: p 1,2 = - j, còn lại là thực, đơn.
1
n
p t
i
1 1
1
n
p t
p t r
i r
3
n
p t t
i
3
n
p t t
i
6.2.2 Điều kiện đầu (Sơ kiện)
Với phương trình đặc trưng bậc n, các hệ số K i có thể xác định nếu ta biết được các điều kiện đầu (sơ kiện) : y(0 + ) ; y’(0 + ) ; … ; y (n-1) (0 + ) ø.
Sơ kiện có hai loại:
Sơ kiện độc lập : u c (0 + ) và i L (0 + )
Sơ kiện phụ thuộc : các sơ kiện còn lại.
Xác định sơ kiện độc lập : Bài toán
chỉnh
Bài toán chỉnh : dùng luật liên tục của dòng qua cuộn
dây và áp trên tụ , còn gọi là luật đóng mở (switching
laws) :
Các giá trị tại t = 0 - được xác định từ việc giải mạch khi t
< 0 :
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )
0 0
(0 ) lim ( ) : 0 (0 ) lim ( ) : 0
t
t
Xác định sơ kiện độc lập : Bài toán
không chỉnh
Xuất hiện “vòng điện dung” hay “tập cắt cảm” : dùng luật liên tục của từ thông (loop) và điện tích (node) :
Xuất hiện hỗ cảm với k = 1 , dùng 1 trong hai phương trình:
Xác định sơ kiện phụ thuộc
Thông thường xác định từ ba cơ sở :
Sơ kiện độc lập.
Giá trị tác động tại t = 0 +
Hệ phương trình mô tả mạch tại t = 0 +
Quan hệ các sơ kiện phụ thuộc và độc lập.
Sơ đồ tương đương mạch tại t = 0+dùng để tính
sơ kiện.
Quan hệ giữa các sơ kiện phụ thuộc
Các sơ kiện đạo hàm còn lại chủ yếu đạo hàm các pt KCL và KVL.
C
L
(0 )
R
u
R
e t
j t
L
u i
L
C
i u
C
Trang 4 Bài toán xác định sơ kiện
1 Dựa vào điều kiện làm việc của mạch ở t < 0
(trạng thái năng lượng trước đó ) , xác định các
giá trị u C (0 - ) và i L (0 - )
2 Xác định sơ kiện độc lập.
3 Xác định sơ kiện phụ thuộc.
0 0
0 0
(0 ) lim ( )
(0 ) lim ( )
t
6.2.3 Phương trình đặc trưng mạch
Phương pháp rút gọn hệ phương trình mô tả mạch :
Viết hệ phương trình vi tích phân
Rút gọn theo biến y(t) cần tìm, ta có phương trình vi phân (1)
Suy ra phương trình đặc trưng
NX: Phương pháp tuy phức tạp và đòi hỏi kinh nghiệm rút gọn mạch nhưng tổng quát cho tất cả các dạng mạch.
phương trình đặc trưng
Triệt tiêu nguồn độc lập
Thay thế : L -> pL ; M -> pM ; C -> 1/pC
Do tác động của sơ đồ đại số là 0, nhưng nghiệm tự
do phải khác không , nên đòi hỏi:
Z v (p) của một nhánh bằng 0 : đối với dòng điện.
Y v (p) giữa hai nút bằng 0 : đối với điện áp.
Z ml (p) hay Y n (p) bằng 0 : đối với các dòng mắc lưới hay
thế nút.
Đây chính là phương trình đặc trưng.
sơ đồ để tìm phương trình đặc trưng
Nếu PTĐT có bậc nhỏ hơn bậc quá độ mạch : chỉ dùng cho áp hay dòng đó.
Nếu PTĐT có bậc bằng bậc quá độ mạch : dùng được cho tất cả các tín hiệu trong mạch
Không dùng cho các mạch có khớp nối và không tương hỗ (do không thỏa mãn nguyên lý lập luận của phương pháp này)
Không dùng cho các tín hiệu : dòng qua dây dẫn hoặc áp trên cửa.
6.2.4 Khảo sát quá độ bằng tích phân
kinh điển trên một số mạch đơn giản
1 Mạch quá độ cấp I - RC
Đóng nguồn áp DC , giá trị E , tại t
= 0 , vào tụ điện C thông qua điện
trở R Tìm điện áp trên tụ u C (t) và
dòng qua tụ i C (t) khi t > 0 ?
Giải
Khi t < 0 :
Ta có u C (0 - ) = 0
Khi t > 0 :
u Cxl = E
_ t=0
C
E
+
-uC(t)
iC(t)
Mạch quá độ cấp I – RC (tt)
Y v (p), ta có PTĐT :
u Ctd (t) = K 1 e (-t/RC)
u C (t) = E + K 1 e (-t/RC)
Sơ kiện : u C (0 + ) = u C (0 - ) = 0
Tìm K 1 : u C (0 + ) = E + K 1 = 0 -> K 1 = -E Vậy :
u C (t) = E - E e (-t/RC)
i C (t) = C.du C /dt = (E/R) e (-t/RC)
uC(t)
iC(t)
R
1/pC
Yv(p)
E
0
E/R
0
t
t
Trang 5 Nhận xét trên mạch cấp I - RC
Hằng số thời gian (thời hằng)
mạch RC :
= RC
[s] = [].[F]
Thời gian quá độ t qđ :
Về mặt lý thuyết , t qđ bằng
nhưng trên thực tế người ta
chấp nhận :
t qđ = 3
u
C (t)
uC(t)
E
0
E
0
t
t
1 < 2
0,95E
3
2 Mạch quá độ cấp I - RL
Đóng nguồn áp DC , giá trị E vào mạch RL tại t = 0 , ta có :
u L (t) = Ee (-t/)
i L (t) = E/R(1- e (-t/) )
Với = L/R = thời hằng của mạch RL Và thời gian quá độ cũng là :
tqđ = 3
uL(t)
iL(t)
_
t=0
E
+
-uL(t)
iL(t)
E
0
E/R
0
t
t L
3 Mạch quá độ cấp II–RLC nối tiếp
Đóng nguồn áp DC , giá trị
E , tại t = 0 , vào mạch RLC
nối tiếp , tìm điện áp trên tụ
u C (t) và dòng qua tụ i C (t) khi
t > 0 ?
Giải
Khi t < 0 :
Ta có u C (0 - ) = 0 ; i L (0 - ) = 0
Khi t > 0 :
u Cxl = E
uC(t)
iC(t)
_ t=0
E
+
-L
C
Mạch quá độ cấp II–RLC (tt)
Nghiệm tự do : Đại số hóa sơ đồ , ta có PTĐT :
p2 + (R/L)p + 1/LC = 0 Giả sử PTĐT có 2 nghiệm : Trong đó : ’ = (R/2L) 2 – 1/LC
uC’(0 + ) = K1p1 + K2p2 = 0
2
R p L
C
'
C
u
Dạng tín hiệu ở mạch quá độ cấp II
Ta giải ra :
Nghiệm bài toán quá độ :
K K
( )
( )
p t p t C
p t p t C
C
E
u t E p e p e
dt L
2
0
1
1
ln
2 '
p
t
p
Nhận xét trên mạch cấp II - RLC
Điện trở tới hạn Rth ():
Các chế độ của mạch cấp II
R th )
Chế độ tới hạn (R = R th )
Chế độ dao động (R < R th )
2
th
L R C
Trang 6 Đo điện trở tới hạn Rth
bên:
mạch ở chế độ dao
động.
Tăng dần dần VR để có
dạng sóng tới hạn Giá
trị điện trở tới hạn :
R th = VR
VR
C
Máy phát sóng
Dao động ký
L
6.2.5 Một số ví dụ khác
trên hình ,khóa K đóng lúc t
< 0 và mở ra tại t = 0 , xác định và vẽ dạng điện áp u c (t) khi t > 0 ?
Giải
Khi t < 0:
Ta có u c (0 - ) = 45x(4/6) = 30 v
Khi t > 0 :
Nghiệm xác lập:
ucxl = 0
PP TPKĐ : Ví dụ 1 (tiếp theo 1)
Nghiệm tự do : PTĐT
1/pC + 6 + 4 = 0 , với C = 0,02 F
=> p = -1/(0,02.10) = -5 (1/s)
u ctd = K1e -5t
u c (t) = u cxl + u ctd = K 1 e -5t
Sơ kiện:
u c (0 + ) = u c (0 - ) = 30 (V)
Xác định K 1 :
K 1 = 30
u c (t) = 30e -5t (v).
PP TPKĐ : Ví dụ 2
trên hình , khóa K mở lúc t < 0 và đóng lại tại t = 0 , xác định và vẽ dạng điện áp u c (t) khi t >
0 ?
Giải
Khi t < 0:
Ta có : i L (0 - ) = 1 (A) ; u c (0 - ) = 0
Khi t > 0 :
Nghiệm xác lập:
ucxl = 1 (V)
PP TPKĐ : Ví dụ 2 (tiếp theo 1)
N ghiệm : p 1 = - 3 ; p 2 = -4 (1/s)
Nghiệm tự do có dạng :
u ctd = K 1 e -3t + K 2 e -4t
Nghiệm quá độ toàn phần sẽ là :
u c (t) = 1+ K 1 e -3t + K 2 e -4t
2
2
1
p
p
PP TPKĐ : Ví dụ 2 (tiếp theo 2)
Sơ kiện:
u c (0 + ) = u c (0 - ) = 0
u c ’(0 + ) = i c (0 + )/C
= (i L (0 + ) -u c (0 + )/1) / C
= i L (0 - )/C = 1/0,5 = 2 (v/s)
Tìm K 1 , K 2 :
u c (0 + ) = 1 + K 1 + K 2 = 0
u c ’(0 + ) = – 3K 1 -4 K 2 = 2
Vậy : u c (t) = 1-2 e -3t + e -4t (V)
Trang 7 PP TPKĐ : Ví dụ 3
Cho khóa K mở lúc t < 0 và
đóng lại tại t = 0 , xác định
và vẽ dạng các dòng điện
i 1 (t) và i 2 (t) khi t > 0 ?
Giải
Khi t < 0:
i 1 (0 - ) = 2 (A) ; i 2 (0 - ) = 0 (A)
Khi t > 0:
Nghiệm xác lập :
i 1xl = i 2xl = 2 (A)
120 V 0,1 H 0,2 H
i2(t)
0,2 H
i1(t)
_
60 t=0 K
60
PP TPKĐ : Ví dụ 3 (tiếp theo 1)
Nghiệm tự do : Đại số hóa sđ
PTĐT:
Vậy nghiệm:
0,1p
0,2 60 (0,2 60) 0,1 (0,2 60) 0,1 0,2 120
Z
2
(0,2 60)(0,2 120) (0,1 60) 0
800 12.10 0
1 2
200 600
p p
PP TPKĐ : Ví dụ 3 (tiếp theo 2)
Sơ kiện :
i 1 (0 + ) = i 1 (0 - ) = 2 A.
i 2 (0 + ) = i 12 (0 - ) = 0 A.
' 1 ' 2
(0 ) 400( / ) (0 ) 800( / )
6 0 0 , 2 0 ,1 1 2 0
6 0 0 , 2 0 ,1 1 2 0
120 V 0,1 H 0,2 H
i2(0 + )
0,2 H
i1(0 + )
_
0, 2 0,1 120 60.2 0
0,1 0, 2 120 60.0 120
PP TPKĐ : Ví dụ 3 (tiếp theo 3)
Tìm K i :
2 0 0 60 0 4 00
2 0 0 60 0 8 0 0
1 2 3 4
1 1 1 1
K K K K
1
200 600 2
t t
t t
PP TPKĐ : Ví dụ 4
Cho K1 chuyển tại t = 0 và
K2 đóng lại t = 0,4(s) ,xác
định u C1 (t) và i 2 (t) khi t > 0 ?
Biết u C1 (0,4s) = -5 V và :
Giải
Khi t < 0: Từ mạch phức
2 H
i
2 (t)
+
-uC1(t)
1
0,5 F
_
_
5
1 F
K
1
t=0
e(t)
10 V
K2 t=0,4 s
( ) 20 2 sin( 45 )o
0
2
20 2 45
4 2 45
5 2 2
o
I
2 2
( ) 4 2 sin( 45 ) (0 ) 4( )
o
PP TPKĐ : Ví dụ 4 (tiếp theo 1)
Khi 0,4s > t > 0:
Nghiệm xác lập : i 2xl = 2 A
Nghiệm tự do : i 2td = K 1 e -2,5t
Sơ kiện : i 2 (0 + ) = i 2 (0 - ) = 4 A
Vậy :
Khi t > 0,4 s:
u C1xl = 10 V ; i 2xl = 2 A.
2,5
2( ) 2 1 t( )
i
2 (t)
+
-uC1(t)
1
0,5 F
_
_
5
1 F
e(t)
10 V
K2 t=0,4 s
2,5 2
1 2
t
Trang 8 PP TPKĐ : Ví dụ 4 (tiếp theo 2)
RL
Sơ kiện :
i 2 (0,4 + ) = i 2 (0,4 - ) = 2 + 2.e -1 A
u C1 (0,4 + ) = u C1 (0,4 - ) = -5 V
Vậy :
2,5( 0,4)
( 0,4)
t
t C
1 2,5( 0,4) 2
( 0,4 ) 1
t
t C
2 H
1 F
1 1
2
2
15
K
PP TPKĐ : Ví dụ 5
Tìm điện áp trên tụ u C (t) , t > 0 ?
Giải
Khi t < 0 :
u C (0 - ) = -2,5 V.
Khi 10ms > t > 0 :
u Cxl = 2,5 V.
u Ctd = Ke -1000t
1000
( ) 2,5 t( )
C
i(t)
+
-uC(t)
_
1 K
e(t)
e(t) 5
0 -5 10 t(ms)
PP TPKĐ : Ví dụ 5 (tiếp theo 1)
Sơ kiện : u C (0 + ) = u C (0 - ) = - 2,5 V
Vậy :
u C (10ms - ) = 2,5 - 5e -10 V
Khi t > 10ms :
u Cxl = 0
u Ctd = Ke -1000(t-10 ms)
1000
( ) 2,5 5 t( )
C
i(t)
+
-uC(t)
_
1 K
e(t)
e(t) 5
0 -5 10 t(ms)
1000( 10 )
C
PP TPKĐ : Ví dụ 5 (tiếp theo 2)
Sơ kiện :
u C (10ms + ) = u C (10ms - ) 2,5 V
Vậy :
Dòng i(t) = Cdu c /dt :
1000( 10 )
( ) 2,5 t ms( )
C
1000 1000( 10 )
( ) 2,5 5 ( ) 0 10 ( ) 2,5 ( ) 10
t C
t ms C
1000 1000( 10 )
( ) 10 ( ) 0 10
t
t ms
PP TPKĐ : Ví dụ 6
Tìm u C (t) khi t > 0 , biết
Giải
Khi t < 0 :
u C (0 - ) = 0.
Khi t > 0 :
Nghiệm xác lập : Giải mạch phức
-uC(t) e(t)
_ t=0
1 F
4i i
+
_
5 K 1 K
I
.
4I.
E.
-j2 K U.C 5I.
0, 01
o
I
K j
o C
U Ij K
PP TPKĐ : Ví dụ 6 (tiếp theo 1)
Vậy nghiệm xác lập:
Nghiệm tự do : Đại số hóa sơ đồ :
Cxl
6 10
U K I I K
p
500(1 / )
+
I
4I
5I
6
5.10
v U
500
Ctd
500
( ) 100 sin(500 90 )o t( )
C
Trang 9 PP TPKĐ : Ví dụ 6 (tiếp theo 2)
Sơ kiện : u C (0 + ) = u C (0 - ) = 0
Xác định K : K = 100
Ta cũng tính được :
500
( ) 100 sin(500 90 )
100 ( )
o C
t
500
( ) 10 sin(500 )
10 t( )
PP TPKĐ : Ví dụ 7
Tìm dòng i 1 (t) khi t > 0 , biết :
Giải
Khi t < 0: Mạch cộng hưởng
i1(t) i2(t)
_
500
1 F e(t)
t=0
40 mH
10 mH
_
500 j400 j100
-j100
200 0 o
1
2
0 200
2 90 100
200 0
o
o C
I I j U
1 4 2
4
0
200sin(10 )
o
C
i
1 2
(0 ) 0
(0 ) 0
C
i
u
4
PP TPKĐ : Ví dụ 7 (tiếp theo 1)
Khi t > 0 :
4 1
2
5
o xl
_
500 j400 j100
I.1
200 0 o
500 0,04p 0,01p
45
o xl
I
j
4
10
td
4
1
2
5
PP TPKĐ : Ví dụ 7 (tiếp theo 2)
Sơ kiện : Bài toán không chỉnh do có tập cắt cảm.
Và :
Vậy :
1 1(0 ) 2 2(0 ) 1 1(0 ) 2 2(0 )
4
1
2
5
e(0 + )
_
500 0,04 H 0,01 H
L1
L2
1(0 ) 2(0 )
2 2 1
(0 ) (0 )
0, 01( 2)
0, 4( )
0, 05
L i i
A
PP TPKĐ : Ví dụ 8
Tìm i 1 (t) biết k = 1 và :
Giải
Khi t < 0 : Mạch phức
3 ( ) 5 0 sin (1 0 3 0 )(o )
1
2
(0 ) 0, 0915( )
(0 ) 0
i
i1(t)
i2(t)
*
*
_
0,1 H 0,2 H
j141
j100
j200
t=0 K
50 k=1
e(t)
*
*
_
100 I 1
.
50 30 o
15
o
o I
j
3 1
1
o
PP TPKĐ : Ví dụ 8 (tiếp theo 1)
Khi t > 0ø :
Dùng công thức :
1 1
50 30 50 30 (1 4)
0, 4 27,3 100(1 5)
o
V
j I
3
1( ) 0 , 4 sin (1 0 2 7 , 3 )(o )
j141
j100
I.2 j200
I.1
50 30 o
*
*
_
100
50 2
V
j M
R j L
1
100
V
Z
Trang 10 PP TPKĐ : Ví dụ 8 (tiếp theo 2)
Nghiệm tự do : Đại số hóa sđ
1( ) 0 , 4 sin (1 0 2 7 , 3 )o t( )
0,1 100
0, 2 50
Z
200(1/ )
p
0,1p
0,2p pM
*
*
100
50
20 0
td
i t K e
PP TPKĐ : Ví dụ 8 (tiếp theo 3)
Sơ kiện: Bài toán không chỉnh do hệ số hỗ cảm k = 1
Và:
1 1(0 ) 2(0 ) 1 1(0 ) 2(0 )
*
*
L 1 L 2
_
100
e(0 + ) 0,1 H 0,2 H
i 1 (0 + )
i2(0 + )
50 k=1
1 0 0
1 0 0
5 0
1
100 (0 )i L [ 50 (0 )]i e(0 )
M
PP TPKĐ : Ví dụ 8 (tiếp theo 4)
Vậy :
0, 0013
K
4 (0 ) 2 (0 ) 1
( 0 ) 2 (0 ) (0 )
1
1
1 (0 )
5
i
1( ) 0 , 4 sin (1 0 2 7, 3 )o 0, 0 01 3 t( )
6.3 Phương pháp toán tử Laplace
6.3.1 Giới thiệu phương pháp 6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất 6.3.3 Dạng toán tử định luật mạch 6.3.4 Biến đổi ngược Laplace 6.3.5 Aùp dụng cho bài toán quá độ 6.3.6 PP toán tử và bài toán không chỉnh 6.3.7 PP toán tử cho thành phần tự do
6.3.1 Giới thiệu phương pháp
Bài toán
quá độ
Hệ
PTVP
PTVP (1)
Nghiệm xác lập
Nghiệm tự do
y(t) = yxl(t) + ytd(t)
Phương trình
toán tử (biến s)
u c (0 - )
iL(0 - ) kiệnSơ Ảnh Laplace của tín hiệu cần tìm Y(s) y(t) Giải phương
trình đại số
Biến đổi ngược
Biến đổi
Laplace
Toán tử
trực tiếp
sơ đồ
mạch
6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất
Biến đổi Laplace:
F(s) = £{f(t)} = ảnh Laplace của f(t)
(Dùng bảng tra gốc ảnh)
Biến đổi ngược Laplace:
f(t) = £ -1 {F(s)} = hàm gốc của F(s) (Dùng bảng tra gốc ảnh &định lý Heavyside )
Hàm đơn vị 1(t) : Hàm trễ 1(t-t 0 ) :
0
F s f t e dt
2
j st j
f t F s e ds j
1( )
khi t t
khi t
0 0
0
khi t t
t t
khi t t
