Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh nắm vững nội dung định lý Viét, ứng dụng của định lý viét trong việc giải các dạng toán có nội dung liên quan, từ đó dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát và các ứng dụng khác cho học sinh.
Trang 1 I. PHẦN MỞ ĐẦU : I.1. Lý do chọn đề tài : Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và mơn tốn nói riêng Trong chương trình tốn học lớp 9 thì phương trình bậc hai là một nội dung rất quan trọng, bài tập về chương này rất phong phú và đa dạng. Đây cũng là một nội dung thường xun có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào các trường chun … mà đặc biệt là các bài tốn về ứng dụng của định lý Viét. Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và có kĩ năng giải các dạng tốn này một cách thành thạo nhằm phát huy khả năng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tơi viết chun đề về “ Ứng dụng của định lý Viét trong giải tốn về phương trình bậc hai ” I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài : Giúp học sinh nắm vững nội dung định lý Viét, ứng dụng của định lý viét trong việc giải các dạng tốn có nội dung liên quan, từ đó dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp, khái qt và các ứng dụng khác cho học sinh. Rèn luyện cho học sinh tính độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập và phát hiện nội dung kiến thức mới Trang 2 Giúp cho các giáo viên có thể tham khảo nghiên cứu và áp dụng trong từng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh I.3. Đối tượng nghiên cứu : Do đặc điểm học sinh ở các lớp khơng đồng đều về nhận thức cũng như học lực nên tơi đã áp dụng phương pháp này ở lớp 9A2. Là lớp mà tơi đang trực tiếp giảng dạy. I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu : Tổ chức nghiên cứu chun đề này áp dụng tốt cho cả học sinh trung bình yếu; học sinh khá giỏi trong việc hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức chuẩn bị cho kiểm tra 45 phút, học kỳ II, ơn luyện học sinh giỏi, ơn thi vào THPT I.5. Phương pháp nghiên cứu : Qua tài liệu tham khảo, chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Qua thực tế giảng dạy Qua trao đổi học hỏi đồng nghiệp II. PHẦN NỘI DUNG : II.1. Cơ sở lý luận : Tốn học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trị vơ cùng quan trọng trong đời sống kinh tế, xã hội. Tốn học là cơ sở, là phương tiện để nghiên cứu các ngành khoa học khác. Với mục tiêu giáo dục phổ thơng là giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo của học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề rèn luyện thực hiện kĩ năng vào thực tế tạo hứng thú học tập cho học sinh. Trang 3 Dựa trên cơ sở đó giáo viên cần kết hợp giữa phương pháp dạy học truyền thống với các phương pháp dạy học hiện đại như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ Hạn chế tối đa việc áp đặt kiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trị là người hướng dẫn, gợi mở giúp học sinh tự khám phá kiến thức mới, học sinh cần thấy được việc áp dụng kiến thức mới trong cuộc sống như thế nào Trong mơn Đại số lớp 9 THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà tốn học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Viét (F. Viete) (1540 1603) tìm ra được mang tên ơng: Định lý Viét. Có thể nói định lý Viét và các ứng dụng của nó là một chìa khố quan trọng mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài tốn có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Việc vận dụng hệ thức Viét vào giải tốn đã gây được hứng thú giải bài tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những ý tưởng phong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài tốn có liên quan đến phương trình bậc hai II.2. Thực trạng : a Thuận lợi khó khăn : * Thuận lợi : Nhà trường rất quan tâm đến việc giảng dạy bộ mơn tốn và ln tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên và học sinh. Tập thể giáo viên tổ, nhóm chun mơn nhiệt tình thường xun dự giờ góp ý để có được các bài dạy tốt hơn. Có tập thể học sinh đồn kết, ngoan ngỗn và say mê học tập. Bản thân tơi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm các đồng nghiệp trong q trình giảng dạy * Khó khăn : Trang 4 Một số học sinh các em chưa có ý thức tự giác học, mà cịn mang tính ỷ lại lười suy nghĩ chưa độc lập trong việc tiếp thu kiến thức. Gia đình các em đa số làm nơng nghiệp, kinh tế cịn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến các em. Các em chỉ học ở trên lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập và thực hành nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ năng thực hành kém. Bên cạnh đó cũng có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về kiến thức trong cùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên b Thành cơng hạn chế : Việc giúp học sinh hiểu và biết vận dụng định lý viét vào giải các dạng tốn liên quan, góp một phần khơng nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểm tra, kì thi đặc biệt là kì thi vào THPT sắp tới. Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu chỉ trong một nội dung nhỏ nên chưa bao qt được tổng thể tất cả các nội dung, nhưng đó cũng là nền móng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu các dạng tốn cao hơn sau này c Mặt mạnh mặt yếu : * Mặt mạnh : Qua đề tài giúp học sinh + Tạo động cơ học tập định lý + Phát biểu định nghĩa định lý + Bước đầu vận dụng định lý trong bài tập đơn giản + Vận dụng định lý trong bài tập tổng hợp * Mặt yếu : Chưa đưa ra giải pháp khắc phục đối với những học sinh lười học, ham chơi, học sinh có ý thức học kém d Các ngun nhân, các yếu tố tác động : Trang 5 Do thời gian có hạn nên tơi chỉ nêu ra một số dạng tốn về phương trình bậc hai và phương pháp giải các dạng tốn đó, đặc biệt là việc ứng dụng của hệ thức viét trong giải tốn, để từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơn các kiến thức về hệ thức viét và ứng dụng của định lý viét trong giải tốn, giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra một tiết, kiểm tra học kì và các kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT Do chất lượng đầu vào của học sinh cịn thấp nên ảnh hưởng một phần khơng nhỏ đến kết quả học tập của học sinh Do một số học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc học Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, cịn khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em Do cơ sở vật chất của trường cịn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh… II.3. Giải pháp, biện pháp : II.3.1 Tìm hiểu nội dung sách giáo khoa và phát hiện kiến thức mới: a. Định lý Viét Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2+ bx + c=0 (a ≠ 0) thì b a x1+ x2 = x1. x2 = c a b. Tìm hai số biết tổng và biết tích của chúng Nếu 2 số có tổng bằng S, tích bằng P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình : Trang 6 X2 – SX + P = 0 điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0 c. Một số ứng dụng cơ bản của định lý viét : 1. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2 2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2 3. Biết 1 nghiệm suy ra nghiệm kia 4. Tìm 2 số biết tổng và tích 5. Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm d. Phát hiện nội dung kiến thức mới : 1) Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử: Khi (*) có 0 x1, x2 / x1 + x2 = ax2 + bx + c = a x b x a c a b c ; x1 . x2 = thì a a a x ( x x ) x x 1x = a(x2 x1x x2x + x1x2) = a(x x1) (x x2) 2) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 . x2 thay đổi S2 Do S 4P 0 P b S2 P = x1 = x2 = 2a maxP = S S S2 x1 = x2 = (Vì x2 Sx + P = 0 có nghiệm kép) KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Khơng đổi) Cịn S = x1 + x2 (thay đổi) Trang 7 Do: S2 4P 0 S P S P S P 0 ; S = P x1 = x2 = P KL: 2 số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng 3) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) S b ;P a c a Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P 0 ; x1 + x2= ; x1.x2 = 3 c/ Δ = 14.5.2 = 39 phương trình (1) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 23 b Ta có a b + c= 14 ( 40) + ( 54) = 14 + 40 54= 0 => phương trình (2) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 54 14 Ví dụ 2: Dùng hệ thức Viét tính nhẩm nghiệm phương trình a. x2 – 8x + 12 = 0 (1) b. x2 + 8x + 12 = 0 (2) Giải: a Ta có 2 + 6 = 8 và 2.6 = 12 nên phương trình có nghiệm x1=2; x2=6 b Ta có (2) + (6) = 8 và (2).(6) = 12 nên phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = 6 * Bài t ập tương tự : 1. Tính nhẩm nghiệm các phương trình a, 1,5x2 – 1,6x + 0,1= 0 (1) b, x2 – (1 )x – 1= 0 (2) c, (2 )x2 + 2 x – (2+ ) = 0 (3) d, (m1)x2 – (2m+3)x + m +4 = 0 m≠ 1 (4) e, x2 10x + 16 = 0 (5) f, x2 7x + 10 = 0 (6) g, (m+1)x2 + 3mx +2m 1 = 0 m≠ 1 (7) Ví dụ 3: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và tìm nghiệm cịn lại Giải: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có nghiệm x1=1 nên thay x1 vào phương trình có 3.12 + 7.1 + m = 0 m = 10 Trang 11 Với m = 10 phương trình trở thành: 3x2 + 7x 10 = 0 Có a.c = 3(10) = 30 1.x2 = 10 10 => x2 = 3 *Bài tập tương tự 1. Phương trình 0,1x2 x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng 1, xác định số k và tìm nghiệm cịn lại 2. Phương trình 15x2 + bx 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng 1/3 xác định số b và tìm nghiệm cịn lại *Dạng 3: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng *Phương pháp giải: Từ hệ thức cho trước của x, y tìm tổng S = x + y; P = x.y x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 Ví dụ : Tìm 2 số u,v trong mỗi trường hợp sau: a u + v = 32 ; u.v = 231 b u + v = 2 ; u.v = 9 c u – v = 5 ; u.v = 24 Giải: a/ u, v là nghiệm của phương trình X2 – 32X + 231 = 0 (1) Δ’ = 162 – 231 = 25 > 0 ' = 5 Phương trình (1) có 2 nghiệm X1= 16 + 5 = 21; X2 = 16 – 5 = 11 Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21 b/ u, v là nghiệm của phương trình X2 – 2X+ 9 = 0 (2) Δ = (2)2 – 4.9 = 32 0 = 11 Phương trình (3) có 2 nghiệm X1 = 8; X2 = 3 Vậy u = 8; t = 3 hoặc u = 3; t = 8 Do đó u = 8; v = 3 hoặc u = 3; v = 8 *Bài tập tương tự : Tìm 2 số u, v trong mỗi trường hợp sau: a/ u + v = 8 ; u.v = 105 b/ u + v = 42 ; u.v = 441 c/ u + v = 42 ; u.v = 400 Dạng 4: Phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử *Phương pháp giải Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì: ax2 + bx + c = a(xx1)(xx2) Ví dụ : Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1, x2 thì tam thức ax2 + bx + c = 0 phân tích thành nhân tử như sau: ax2 + bx + c = a(xx1)(xx2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử a/ 2x2 5x + 3 b/ 3x2 + 8x + 2 Giải: Biến đổi vế phải: a(xx1)(xx2) = ax2 a(x1 + x2) + a.x1.x2 b a c a = ax2 – a( )x + a = ax2 + bx+ c Áp dụng: a/ Phương trình: 2x2 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 Trang 13 Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 3 Vậy 2x2 5x + 3 = 2(x 2)(x ) b/ Phương trình 3x2 + 8x + = (*) có Δ’ = 2 – = 10 > 0 ' 10 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1= Vậy 3x2 + 8x + 2 = 3(x 10 ). (x + 10 10 ; x2= 10 ; ) Dạng 5 : Lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó *Phương pháp giải: tính tổng 2 nghiệm S= x1 + x2 và tích 2 nghiệm P = x1.x2 Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 là X2 – SX + P = 0 Ví dụ: 1/ Lập phương trình bậc2 có 2 nghiệm là cặp số 1 + và 1 Ta có S = x1 + x2 = (1 + ) + ( 1 ) = 2 P= x1.x2 = (1 + ).( 1 ) = 1 – 3 = 2 Vậy 1 + và 1 là nghiệm phương trình bậc hai X2 – 2X 2 = 0 2/ Lập phương trình bậc hai có hệ số ngun và có 1 nghiệm là Ta có x1 = 5 = 2 15 Ta chọn nghiệm thứ 2 là x2 sao cho x1+x2; x1.x2 là nghiệm nguyên Chọn x2 = 4 + 15 Khi đó S= x1+x2= 8 P= x1.x2= (4 + 15 ).( 4 15 ) = 1 Vậy x1, x2 là nghiệm phương trình X2 – 8X+ 1 = 0 Dạng 6 : Dấu nghiệm số của phương trình bậc 2 5 Trang 14 *Phương pháp giải: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c= 0 (a≠0) có 2 nghiệm x1; x2 và S = x1 + x2; P = x1.x2 Khi đó : * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Δ > 0 P 0 * Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt Δ > 0 P > 0 S > 0 * Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt P S Ví dụ: Cho phương trình x2 – 2(m1)x + m +1= 0 Xác định m để: a Phương trình có 2 nghiệm trái dấu b Có 2 nghiệm dương phân biệt c. Có đúng 1 nghiệm dương Giải: Δ’ =(m1)2 – ( m+1) = m2 – 3m = m (m3) S = 2(m1) P =( m +1) a/ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Δ’> 0 m 0 m >1 P > 0 2(m1) > 0 Trang 15 S > 0 ( m +1) > 0 c/ Có đúng 1 nghiệm dương có các trường hợp xảy ra: * x2 – 2(m1)x + m +1= 0 có nghiệm kép dương Δ’= m (m3) = 0 m (m3) = 0 m = 3 S = 2(m1) > 0 m1 > 0 *Phương trình x2 – 2(m1)x + m +1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu P