Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
0,91 MB
Nội dung
http://toanlihoasinh.blogspot.com/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút 2x − x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm có hồnh độ x = Câu 2.(1,0 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn: π tan α < α < π sin α = Tính A = + tan α b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + i ) z + (3 − i ) z = − 6i Tính mơđun z Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log ( x + 2) = − log x Câu 4.(1,0 điểm) Giải bất phương trình: x2 + x + x − ≥ 3( x − x − 2) Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ (2 x + ln x) dx Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AC = 2a, ACB = 30o , Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có đỉnh A B thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 12 = điểm K (6; 6) tâm đường trịn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm ∆ cho AC = AO điểm C, B nằm khác phía so với điểm A Biết điểm C có hồnh độ 24 , tìm tọa độ đỉnh A, B Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0) B (1; 1; − 1) Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống Câu 10.(1,0 điểm) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: = 32 + +1 + 2 + 3− + +3 - HẾT - http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com + 3+ +3 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN CÂU Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,0 điểm) Tập xác định: D = ℝ \ {−1} ● Giới hạn tiệm cận: lim + y = − ∞ , lim − y = + ∞ ; lim y = lim y = ● x → ( −1) x → −∞ x → ( −1) x → +∞ 0,25 Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = − tiệm cận ngang đường thẳng y = ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y' = > ∀x ∈ D ( x + 1) 0,25 Suy ra, hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( −1; + ∞ ) - Cực trị: Hàm số cho khơng có cực trị Lưu ý: Cho phép thí sinh khơng nêu kết luận cực trị hàm số - Bảng biến thiên: x –∞ + y' y ● +∞ –1 +∞ 0,25 + –∞ Đồ thị (C): 0,25 − − http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ b) (1,0 điểm) Tung độ y0 tiếp điểm là: y0 = y (1) = 0,25 0,25 ( x − 1) + ; 0,25 Suy hệ số góc k tiếp tuyến là: k = y '(1) = Do đó, phương trình tiếp tuyến là: y = x− 4 a) (0,5 điểm) Câu (1,0 điểm) Ta có: A = tan α = tan α.cos α = sin α.cos α = cos α + tan α hay y = 0,25 (1) 0,25 16 cos α = − sin α = − = 25 5 π Vì α ∈ ; π nên cos α < Do đó, từ (2) suy cos α = − 2 12 Thế (3) vào (1), ta A = − 25 b) (0,5 điểm) (2) 0,25 (3) Đặt z = a + bi, ( a , b ∈ ℝ ); z = a − bi Do đó, kí hiệu (∗) hệ thức cho đề bài, ta có: (∗) ⇔ (1 + i )( a + bi ) + (3 − i )( a − bi ) = − 6i ⇔ (4a − 2b − 2) + (6 − 2b)i = ⇔ { { 4a − 2b − = a=2 ⇔ − 2b = b = Do | z | = Câu (0,5 điểm) 0,25 0,25 2 + = 13 Điều kiện xác định: x > (1) ● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) phương trình cho, ta có: (2) ⇔ log ( x + 2) + log x = ⇔ log ( x ( x + 2)) = log 3 ● 0,25 ⇔ x + x − = ⇔ x = (do (1)) 0,25 ● Điều kiện xác định: x ≥ + Câu đó, ký hiệu (2) bất phương trình cho, ta có: (1,0 điểm) ● Với điều kiện (2) ⇔ x + x − + x ( x + 1)( x − 2) ≥ 3( x − x − 2) ⇔ ⇔ (1) 0,25 x ( x − 2)( x + 1) ≥ x ( x − 2) − 2( x + 1) ( x ( x − 2) − ( x + 1) Do với x thỏa mãn (1), ta có (3) ⇔ )( x ( x − 2) + x ( x − 2) + ) ( x + 1) ≤ (3) 0,50 ( x + 1) > nên x( x − 2) ≤ ( x + 1) ⇔ x − 6x − ≤ (4) ⇔ − 13 ≤ x ≤ + 13 Kết hợp (1) (4), ta tập nghiệm bất phương trình cho là: 1 + ; + 13 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 2 Câu I = x d x + Ta có: ∫ ∫ ln xdx (1,0 điểm) 0,25 (1) 2 Đặt I1 = ∫ x dx I = ∫ ln xdx Ta có: 1 0,25 15 I1 = x = 2 2 I = x.ln x − ∫ xd(lnx) = ln − ∫ dx = ln − x = ln − 2 1 0,50 13 V ậ y I = I1 + I = + ln 2 Câu (1,0 điểm) AC = a SH ⊥ mp(ABC) Xét ∆v ABC, ta có: BC = AC cos ACB = a.cos 30o = 3a Theo giả thiết, HA = HC = 0,25 1 AC.BC.sin ACB = 2a 3a.sin 30o = a 2 1 6a3 Vậy VS ABC = SH S ABC = 2a a = 3 Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) (1) Gọi N trung điểm AB, ta có HN đường trung bình ∆ABC Do HN // BC Suy AB ⊥ HN Lại có AB ⊥ SH nên AB ⊥ mp(SHN) Do mp(SAB) ⊥ mp(SHN) Mà SN giao tuyến hai mặt phẳng vừa nêu, nên mp(SHN), hạ HK ⊥ SN, ta có HK ⊥ mp(SAB) Vì d(H, (SAB)) = HK Kết hợp với (1), suy d(C, (SAB)) = 2HK (2) Do S ABC = Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN Xét ∆v SHN, ta có: 1 1 = + = + 2 HK SH HN 2a HN 3a Vì HN đường trung bình ∆ABC nên HN = BC = 2 1 11 66a Do = + = Suy HK = HK 2a 3a 6a 11 Thế (3) vào (2), ta d ( C , ( SAB ) ) = 66a 11 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 (3) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Câu (1,0 điểm) Trên ∆, lấy điểm D cho BD = BO D, A nằm khác phía so với B Gọi E giao điểm đường thẳng KA OC; gọi F giao điểm đường thẳng KB OD Vì K tâm đường trịn bàng tiếp góc O ∆OAB nên KE phân giác góc OAC Mà OAC tam giác cân A (do AO = AC, theo gt) nên suy KE đường trung trực OC Do E trung điểm OC KC = KO Xét tương tự KF, ta có F trung điểm OD KD = KO Suy ∆CKD cân K Do đó, hạ KH ⊥ ∆, ta có H trung điểm CD Như vậy: + A giao ∆ đường trung trực d1 đoạn thẳng OC; (1) + B giao ∆ đường trung trực d đoạn thẳng OD, với D điểm đối (2) xứng C qua H H hình chiếu vng góc K ∆ 24 Vì C ∈ ∆ có hồnh độ x0 = (gt) nên gọi y0 tung độ C, ta có: 24 12 + y0 − 12 = Suy y0 = − 5 6 12 Từ đó, trung điểm E OC có tọa độ ; − đường thẳng OC có 5 phương trình: x + y = Suy phương trình d1 là: x − y − = Do đó, theo (1), tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = x − y − = { Giải hệ trên, ta A = (3; 0) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,50 0,25 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Gọi d đường thẳng qua K(6; 6) vng góc với ∆, ta có phương trình d là: x − y + = Từ đây, H giao điểm ∆ d nên tọa độ H nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = 3x − y + = { 12 12 36 Giải hệ trên, ta H = ; Suy D = − ; 5 5 18 Do đó, trung điểm F OD có tọa độ − ; đường thẳng OD có 5 phương trình: x + y = Suy phương trình d là: x − y + 12 = Do đó, theo (2), tọa độ B nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = x − y + 12 = 0,25 { Giải hệ trên, ta B = (0; 4) Câu 1 3 Gọi M trung điểm AB, ta có M = ; ; − (1,0 điểm) 2 2 Vì (P) mặt phẳng trung trực AB nên (P) qua M AB = (−1; 1; − 1) vectơ pháp tuyến (P) 3 1 1 Suy ra, phương trình (P) là: (−1) x − + y − + (−1) z + = 2 2 2 hay: x − y + z − = Ta có d (O , ( P)) = | −1| 22 + (−2)2 + 22 = Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là: x + y + z = 0,25 0,25 0,25 12 0,25 hay 12 x + 12 y + 12 z − = Câu Không gian mẫu Ω tập hợp gồm tất cặp hai câu hỏi, mà vị trí (0,5 điểm) thứ cặp câu hỏi thí sinh A chọn vị trí thứ hai cặp câu hỏi thí sinh B chọn cách chọn câu hỏi từ 10 câu hỏi thi nên theo quy Vì A B có C10 ( ) 0,25 tắc nhân, ta có n(Ω) = C10 Kí hiệu X biến cố “bộ câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống nhau” Vì với cách chọn câu hỏi A, B có cách chọn câu hỏi 3 giống A nên n ( Ω X ) = C10 = C10 Vì P ( X ) = n (Ω X ) n( Ω) = C10 10 (C ) = 1 = C10 120 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với số thực x, xét điểm A( x ; x + 1) , (1,0 điểm) 1 1 B ; − C − ; − 2 2 OA OB OC Khi đó, ta có P = + + , a = BC, b = CA c = AB a b c 0,25 Gọi G trọng tâm ∆ABC, ta có: OA.GA OB.GB OC.GC OA.GA OB.GB OC.GC P= + + = + + , a.ma a.GA b.GB c.GC b.mb c.mc ma , mb mc tương ứng độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C ∆ABC 0,25 Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực khơng âm, ta có a.ma = 3a 2b + 2c − a 2 2 2 3a + 2b + 2c − a a + b2 + c ≤ = 2 3 a2 + b2 + c a2 + b2 + c2 c.mc ≤ Bằng cách tương tự, ta có: b.mb ≤ 3 ( ) ( Suy P ≥ ) 3 ( OA.GA + OB.GB + OC.GC ) a + b2 + c 0,25 (1) Ta có: OA.GA + OB.GB + OC.GC ≥ OA.GA + OB.GB + OC.GC (2) OA.GA + OB.GB + OC.GC = OG + GA GA + OG + GB GB + OG + GC GC ( ) ( ( ) ( ) ) = OG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC a2 + b2 + c2 ma + mb2 + mc2 = Từ (1), (2) (3), suy P ≥ = ( ) Hơn nữa, kiểm tra trực tiếp ta thấy P = x = Vậy P = http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 (3) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ S GIÁO D C VÀ ÀO T O PHÚ N CHÍNH TH C KÌ THI TH THPT QU C GIA 2015 MƠN:TỐN Ngày thi: 02/4/2015 Th i gian: 180 phút (không k th i gian giao đ ) Câu 1 (2,00 đi m) Cho hàm s y = x 3 − 3x − 2 . a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s b) G i A, B là các đi m c c tr c a đ th hàm s đã cho. Hãy tìm t a đ đi m M thu c đ th (C) sao cho tam giác MAB cân t i M. Câu 2 (1,00 đi m) Gi i ph ng trình log ( x − 2) + 3log8 (3 x − 5) − = 0 trên t p h p s th c. 3 2 Câu 3 (1,00 đi m) Tính tích phân: I = ∫ 2 dx . x + 3x − 2 1 Câu 4. (1,00 đi m) M t l p h c có 33 h c sinh, trong đó có 10 h c sinh gi i, 11 h c sinh khá và 12 h c sinh trung bình. Ch n ng u nhiên trong l p h c 4 h c sinh tham d tr i hè. Tính xác su t đ nhóm h c sinh đ c ch n có đ h c sinh gi i, h c sinh khá và h c sinh trung bình. Câu 5. (1,00 đi m) Cho t di n SABC có đáy ABC là tam giác vng cân t i A, SA vng góc v i m t ph ng đáy. Tính th tích t di n bi t đ ng cao AH c a tam giác ABC b ng a và góc gi a m t ph ng (SBC) và m t ph ng (ABC) là 60 0 . Câu 6. (1,00 m) Trong m t ph ng Oxy cho hình vng ABCD có M, N l n l t là trung m c a các c nh BC, CD. Tìm t a đ đ nh B, m M bi t N(0;2), đ ng th ng AM có ph ng trình x +2y – 2 = 0 và c nh hình vng b ng 4. Câu 7 (1,00 đi m) Trong khơng gian Oxyz cho đi m A(4;2;4) và đ x = −3 + 2 t y = − t (t ∈ ℝ ). z = −1 + 4 t Vi t ph ng trình đ ng th ng d : ng th ng D đi qua A, c t và vng góc v i đ Câu 8 (1,00 đi m) Gi i h ph ng th ng d. 27 x3 + x + ( y − ) − y = 0 ( x, y ∈ ℝ ) . ng trình: x 2 109 2 y x 0 + + − − = 81 3 Câu 9. (1,00 đi m) Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P = 52 x + 5 y , bi t r ng x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 . H t C m n th y D ng Bình Luy n( duongbinhluyen@phuyen.edu.vn) đã g i t i www.laisac.page.tl http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ H NG D N CH M THI (G m có 04 trang) 1. H ng d n chung N u thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà v n đúng thì cho đ đi m t ng ph n nh h ng d n quy đ nh. Vi c chi ti t hóa thang đi m (n u có) so v i thang đi m ch m ph i b o đ m không sai l ch v i h ng d n ch m và đ c th ng nh t th c hi n trong H i đ ng ch m thi. i m bài thi khơng làm trịn s 2. áp án và thang đi m CÂU 1 ÁP ÁN I M 2,00 đ Cho hàm s y = x − 3x − 2 a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s T p xác đinh: ℝ S bi n thiên: 3 1,00 đ x = −1 + Chi u bi n thiên: y ' = x − = 3( x 2 − 1). y ' = ⇔ 3( x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 1 Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ( −∞; − 1) (1; +∞ ) ; Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( − 1;1) . + C c tr và gi i h n: H/s đ t c c đ i t i x = − 1; yC = y ( −1) = 0 . 0,25 đ f(x) 8 6 H/s đ t c c ti u t i x = 1; yCT= y (1) = − 4 . 4 Các gi i h n: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ f(x)=x^33x 2 2 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + B ng bi n thiên: x −∞ 1 1 + ∞ y’ + 0 0 + 0 + ∞ y ∞ 4 th đi qua các đi m (2;0), (0;2):nh hình v b) Tìm t a đ đi m M thu c đ th (C) sao cho DMAB cân t i M. M(x;y) c n tìm là giao đi m c a đ ng trung tr c c a đo n AB và đ th (C). Ta có các đi m c c tr là A(1;0), B(1;4), trung đi m c a đo n AB là I(0;2). uuur ng trung tr c đo n AB nh n AB = (2; −4) làm vtcp có p/t x − y − = 0 . x − 4 Hoành đ giao đi m c a M là nghi m c a ph ng trình: x 3 − x − 2 = 2 7 Gi i ra ta đ c x = ± và x = 0 (lo i). 2 14 − 8 14 − 8 V i x = ⇒ y = , ta có đi m M 1 ; ; 4 4 − 14 − 8 − 14 − 8 ⇒ y = , ta có đi m M 2 − ; V i x = − 4 4 0,25 đ 2 4 6 8 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 2 Gi i ph ng trình log ( x − 2) + 3log8 (3 x − 5) − = 0 1,00 đ x − > 0 i u ki n ⇔ x > 2 . − > x 0 Ph ng trình t ng đ ng: log ( x − 2) + log 2 (3x − 5) = 2 0,25 đ 0,25 đ ⇔ log 2 [ ( x − 2)(3 x − 5) ] = ⇔ x 2 − 11x + = 0 . 3 Gi i pt trên và đ i chi u đi u ki n ta tìm đ 3 2 Tính tích phân I = ∫ 2 dx 1 x + x − 2 3 2 Ta có: I = ∫ dx = (2 x − 1)( x + 2) 1 0,25 đ 0,25 đ c nghi m pt đã cho là x = 3 . 1,00 đ 3 2 1 dx − dx ∫ ∫ 2x −1 x + 2 1 0,50 đ 3 d (2 x − 1) d ( x + 2) = ∫ −∫ 2x −1 x + 2 1 = 4 0,25 đ 2 3 ln | x − 1| − ln | x + | 1 = ln 3 . 5 ( ) 0,25 đ G i A là bi n c : “4 HS đ c ch n có đ HS gi i, HS khá và HS trung bình”. 4 =40920. S ph n t khơng gian m u: W = C33 Ta có các tr ng h p đ c ch n sau: 1 (1) Có 2 HS gi i, 1 HS khá và 1 HS trung bình. S cách ch n là: C102 C11 C12 = 5940 1,00 đ 0,25 đ 1 (2) Có 1 HS gi i, 2 HS khá và 1 HS trung bình. S cách ch n là: C10 C112 C12 = 6600 2 (3) Có 1 HS gi i, 1 HS khá và 2 HS trung bình. S cách ch n là: C10 C111 C12 = 7260 . 0,25 đ Ta đ c W A = 5940 + 6600 + 7260 = 19800. Do đó P ( A) = 5 WA W = 0,25 đ 15 31 0,25 đ DABC vuông cân t i A nên BC = 2AH = 2a. 1 T đó S ABC = AH BC = a.2 a = a 2 (đvdt). 2 Vì SA⊥(ABC) và AH ⊥ BC suy ra SH⊥ BC · = 60 0 Do đó ((SBC),(ABC))= SHA Suy ra SA = AH tan 600 = a 3 . 1,00 đ S 0,25 đ A 1 a 3 (đvtt). V y VSABC = SA.S ABC = a 3. a 2 = 3 3 G i I =AM ∩ BN DBIM đ ng d ng DABM suy ra AM⊥BN nên BN: 2x y +c = 0. N(0;2) ⇒ c = −2 ⇒ BN: 2x y 2 = 0. T a đ đi m I là nghi m h pt: 0,25 đ H 3 6 0,25 đ C 0,25 đ B 1,00 đ y A 0,25 đ B 2 1 I 2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 1 O 1 1 2 M x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 6 x = + − = x y 2 0 2 5 ⇔ ⇒ I ; 5 2 x − y − = y = 2 5 AB.BM 4 = T DABM vuông : BI = 2 5 AB + BM x − y − = 0 B ∈ BN 2 T a đ đi m B(x;y) th a mãn 4 ⇒ 16 . = BI − + − = x y 5 5 5 2 x = x = 2 −6 5 , suy ra B (2; 2) ( lo i ; ). Gi i h ta đ c và 5 y = 2 y = −6 5 x + y − = 0 M ∈ AM 2 ⇒ T a đ đi m M(x;y) th a 6 2 4 . 2 x y − + − IM = BM − BI = 5 5 5 2 x = x = 2 4 5 , suy ra M (2; 0), M 2 ; Gi i h ta đ c và 5 y = 0 y = 4 5 7 0,25 đ 0,25 đ 1,00 đ Do D đi qua A và vng góc v i d nên D ph i n m trong m t ph ng (P) đi qua A và vng góc v i d. r M t ph ng (P) nh n vtcp u = (2; −1; 4) c a d làm vtpt, đi qua A(4;2;4) có ph ng trình : 2x y + 4z 10 = 0. G i M là giao đi m c a d và (P) thì M(3 + 2t;1 t;1 + 4t) ∈ d và M∈D. Ta c ng có M∈(P) ⇔ 2(3 + 2t) (1 t) + 4(1 + 4t) – 10 = 0 ⇔ 21t – 21 = 0 ⇔ t = 1.V y M(1;0;3). uuuur Khi đó AM = (3; 2; −1) , đ ng th ng D qua A và M có ph ng trình: x + y + z − 4 = = − 1 8 0,25 đ 27 x3 + x + ( y − ) − y = (1) Gi i h ph ng trình: x 2 109 2 y x (2) + + − − = 81 2 V i đi u ki n: x ≤ , y ≤ , (1) vi t l i là: x 2 + 3x = ( − y + 1) − 9 y 3 ( 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,00 đ ) 0,25 đ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ t u = x, v = − 9 y , ta có: ( u + 1) u = ( v 2 + 1 ) v Xét h/s: f (t ) = ( t 2 + 1 ) t có f '(t ) = 3t 2 + > 0 nên h/s luôn đ ng bi n trên ℝ , x ≥ 0 Suy ra u = v ⇔ x = − 9 y ⇔ 2 2 y = 3 − x (3) 2 109 x 2 = 0 (4). Th (3) vào (2) ta đ c: + − x 2 + − x − 3 81 2 Nh n xét: x = 0, x = không ph i là nghi m c a (4). 3 0,25 đ 2 109 x 2 + − x 2 + − 3 x − 3 81 2 Ta có: g '( x) = x x 2 − − < 0, ∀x ∈ 0; 2 − 3 x 3 2 Nên hàm s g(x) ngh ch bi n trên 0; 1 5 1 5 D th y x = là nghi m c a (4), suy ra y = nên h có nghi m duy nh t ; 3 9 2 x y Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c P = + 5 , bi t x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 5 Do x + y = ⇒ y = 1 − x , nên P = 52 x + 51− x = 5 2 x + x 5 x t t = 5 thì ≤ t ≤ 5 (do ≤ x ≤ 1 ). 2t 3 − 5 5 Xét hàm s f (t ) = t 2 + , v i ≤ t ≤ 5 . Ta có f '(t ) = 2 t − = 2 t t t Do đó có b ng bi n thiên: 5 3 t 1 5 2 f’(t) 0 + 6 26 f(t) 25 3 3 4 5 25 V y P = f (t ) = f = 3 ; max P = max f (t ) = f (5) = 26 . 4 1≤t ≤ 1≤ t ≤5 Xét hàm s : g ( x ) = ( 9 ) C m n th y D ng Bình Luy n( duongbinhluyen@phuyen.edu.vn) đã g i t i www.laisac.page.tl http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ TH S C TR C K THI S 6, s 453, tháng 4 n m 2015. (Th i gian làm bài:180 phút) Câu 1 (2,0 đi m). G i ( C m ) là đ th c a hàm s y = x 3 − 3 x + m ( m là tham s th c). a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 2 . b) nh tham s m đ qua đi m u n c a đ th ( C m ) k đ c m t đ ng th ng ( d ) t o v i đ th ( C m ) m t hình ph ng (H) và ( d ) ti p t c ch n trên hai tr c t a đ m t tam giác (T) sao cho di n tích c a (H) và (T) b ng nhau đ u b ng 2 (đvdt) Câu 2 (1,0 đi m). Gi i ph ng trình tan x.cot x = (1 + s inx ) ( 4cos2 x + 4sin x − 5 ) . π 3 ln ( tan x ) Câu 3 (1,0 đi m). Tính tích phân I = ∫ dx . π sin x.ln ( t anx ) Câu 4 (1,0 đi m). a) Trog tr 4 n ng h p khai tri n theo nh th c Newton c a bi u th c (1 + x 2 ) ta có h s ch a x 8 b ng 210 Tính t ng các h s c a các s h ng đ c khai tri n t bi u th c trên theo tr ng h p đó. b) Cho các s ph c z th a mãn z − = 34 và z + + mi = z + m + 2 i nh tham s m ∈ ℝ đ t n t i hai s ph c z1 , z 2 đ ng th i th a mãn hai đi u ki n trên sao cho z1 − z2 là l n nh t. Câu 5 (1,0 đi m). Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, qua hai đi m M (1; −1;1) , N ( 0; − 1;0 ) l p 2 ph ng trình m t ph ng α c t m t c u ( S ) ( x + ) + ( y + 1) + ( z − 1)2 = 5 m t thi t di n đ ng tròn mà di n tích hình trịn sinh b i đ ng trịn đó có di n tích S = π Câu 6 (1,0 đi m). Cho hình chóp t giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vng c nh a, c nh bên SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a. Qua A d ng m t ph ng α vng góc v i SC sao cho α c t SC, SB, SD l n l t t i G, M, N. Tính theo a th tích kh i nón (H), bi t r ng đ ng trịn đáy c a (H) ngo i ti p t giác AMGN và đ nh O c a (H) n m trên đáy ABCD c a hình chóp S.ABCD. Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, hãy tính di n tích tam giác ABC bi t r ng hai m H (5;5) , I ( 5; 4 ) l n l t là tr c tâm và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và x + y − = 0 là ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC c a tam giác. Câu 8 (1,0 đi m). Gi i ph ng trình nghi m th c ( x − ln x ) 2x 2 + = x + 1 Câu 9 (1,0 đi m). Cho ba s d ng x, y, z th a mãn 0 < x < y − 3 , lúc đó 3 nghi m c a ph ng trình (1) là x = 0, x = − k + 3, x = k + 3 . Vì I là tâm đ i x ng c a đ ng cong ( C m ) nên di n tích c a hình ph ng (H) là: S =2 k + 3 ∫ 0 1 1 2 2 3 kx + m − x + x − m dx = 2 ( k + 3 ) ⇒ S = ⇔ 2 ( k + ) = ⇒ k = − 1 (vì k > − 3 ). ng th ng ( d ) vi t l i y = − x + m nên (d) c t hai tr c t a đ t i hai giao đi m Lúc này đ 1 A ( 0; m ) , B ( m ;0 ) . Vì (T) là tam giác vng cân nên di n tích c a (T) là S = m 2 2 theo gi thi t S = ⇒ m = 2, m = − 2 .V y có hai giá c n tìm là m = 2, m = − 2 . cos x ≠ 0 k π Câu 2. i u ki n : ⇒ x ≠ 2 sin x ≠ 0 Ta có tan x.cot x = (1 + s inx ) ( 4cos2 x + 4sin x − ) ⇔ tan x.cot x = 3sin x − 4sin 3 x − 1 ⇔ + tan x.cot x = sin x ⇔ Nghi m ph sin x 1 = sin 3x ⇔ sin x − 1 = 0 cos x.sin x cos x.sin 2 x ng trình x y ra : n π ho c sin 3x = 0 ⇔ x = , so v i đi u ki n ph ng trình có nghi m là x = 3 sin x = sin x = −1 ho c sin x.cos x = 1 ⇔ ∀ ⇔ vô nghi m cos x = cos x = −1 π 2 π + mπ , V y nghi m c a ph ng trình trên là x = + mπ , x = 3 π Câu 3. Ta có: I = ∫ π π Tính ln 2.∫ π π 3 π 3 ln + ln ( t anx ) dx dx dx = ln 2. ∫ + ∫ sin x.ln ( t anx ) π sin x.ln ( t anx ) π sin 2 x 4 π π dx ln 3 d ln ( t anx ) ln ln ln 3 ∫ ln ( ln(2 tan x ) ) π3 = ln = = ln 2 sin x.ln ( t anx ) π ln ( t anx ) 2 4 4 π 3 dx 1 = ln(t anx) = ln 3 . π sin x 2 4 V y I = 2 π + mπ 3 ( m ∈ Z ) . Tính ∫ π + mπ , x = π π 4 ln ln 1 ln + ln 3 ln 2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Câu 4 . a) . Khai tri n bi u th c trên có s h ng th (k+1) Cn k x 2 k , ( k 0 ta có ( x − ln x ) 2x 2 + = x + ⇔ ( x − ln x ) = Xét hàm s f(x) = x + 1 ⇒ f / (x) = − x x + 1 2x 2 + 2 ⇒ f / (x) = ⇔ x = 1 (x + 1) 2x + 2 2x + 2 L p b ng bi n thiên ta có f ( x) ≤ 1, ∀x > 0 , đ ng th c x y ra khi x = 1. x − 1 ⇒ g '( x ) = ⇔ x = 1 . Xét hàm s g ( x ) = x − ln x ⇒ g '( x) = − = x x L p b ng bi n thiên ta có g ( x ) ≥ 1, ∀x > 0 , đ ng th c x y ra khi x = 1. V y ph 2 2 ng trình có đúng m t nghi m x = 1. 3 3 x y 2 y z z 15 Câu 9 Ta có P = + + + x y x y x z + + y z y z x a3 b 3 15 + + c 2 + a + b a + b c 3 a b 1 Ta có a3 + b3 ≥ ab ( a + b ) ⇒ + ≥ ab = a + b a + b c 15 16 V y P ≥ + c + = c 2 + = f (c ), ∀c ∈ (1; +∞ ) c c c 16 Ta có f '(c ) = 2c − 2 ⇒ f '(c) = ⇔ c = 2 c x y y z t a = , b = , c = z ⇒ a.b.c = 1, c > 1. x Bi u th c vi t l i P = ( vì a, b > 0 ). L p b ng bi n thiên ta có f (c) ≥ f (2) = 12, khi và ch khi c = ⇒ a = b = V y giá tr nh nh t P = 12 khi và ch khi z = y = 2 x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 1 2 ⇒ z = y = 2 x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Sở giáo dục & đào tạo Thừa thiên huế Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA Năm học 2014-2015 Mụn thi : Toán (120 phút, không kể thời gian giao ®Ò) - Trường THPT 80 Nguyễn Huệ ®Ị chÝnh thøc Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) x2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số(C) Cho đường thẳng d: y 2 x m Chứng minh d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với s ố t h ự c m G ọ i k1 , k l ầ n lư ợ t l h ệ số gó c c t i ếp tu yế n c ủ a (C ) t i A v B Tì m m đ ể P = k1 2014 k 2014 đạt giá trị nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: Giải hệ phương trình: cos 2x sin x cos x 3 xy y x 1 x 2 x (9 y 1) 4( x 1) x 10 900 , Câu III (2,0 điểm) Cho khối chóp S ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, AS B SAC 1200 Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a Chứng minh BSC tam giác AMN vng Tính thể tích S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a Câu IV (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; B 4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho góc AMB 450 Câu V (1,0điểm) Chứng minh x, y số thực dương 1 x 1 y 1 xy - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh Số báo danh http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Câu I Khảo sát tự làm Nội dung Điểm Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) d: x 2 2x 2 x m x2 2 x (6 m) x 2m 0(*) 0,5 Xét phương trình (*), ta có: 0, m R x = -2 không nghiệm (*) nên d 0,5 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m Hệ số góc tiếp tuyến A, B k1 1 , x1 , x2 nghiệm phương trình (*), ta thấy , k2 ( x1 1) ( x2 1) k1 k x1 2 x2 22 Có P = k1 k1 k 2014 k2 2014 x1 x2 x1 x2 42 k1k 2014 4 (k1>0, k2>0) 2015 22015 , dó MinP = 1 ( x1 2) ( x2 2) 2 ( x1 2) ( x 2) x1 , x2 phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - x1 + x2 = - m = - Vậy m = - giá trị cần tìm Câu II Nội dung 0,5 đạt 0,5 Điểm cos 2x sin x cosx cos2 x sin x (co s x sin x) 0,5 (cos x sin x)(cos x sin x 1) 0,5 2.cos x 4 cosx sin x cosx sinx cos x 1 x k x k 3 x k2 x k2 4 k2 x x k2 4 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Nội dung Điểm ĐK: x NX: x = không TM hệ PT Xét x > PT (1) y y y x 1 x x y y (3 y ) 1 x x 0,5 (3) x Từ (1) x > ta có: y > Xét hàm số f(t)= t + t t , t > Ta có: f’(t) = + t2 1 t2 t 1 >0 Suy f(t) đồng biến (0,+∞) 3y = x x PT(3) f(3y)= f 0,5 Thế vào pt(2) ta PT: x x 4( x 1) x 10 Đặt g(x)= x x 4( x 1) x 10 , x > Ta có g’(x) > với x > g(x) hàm số đồng biến khoảng (0,+∞) 0,5 Ta có g(1) = Vậy pt g(x) = có nghiệm x = Với x =1 y = 0,5 KL: Vậy hệ có nghiệm nhất: (1; ) Câu III S Dùng Đlý hàm số Cosin N 0,25 tính được: MN = 2a S A C M A N B M H AM= 2a , AN=2a (Tam giác vng SAC có SC=2SA nên góc ASC = 600) tam 0,25 giác AMN vuông A http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Gọi H trung điểm MN, SA = SM = SN tam giác AMN vng A SH (AMN ) ; tính SH = a 0,5 0,25 2a 3 SM SN VS ABC 2a SB.SC Tính V S AMN VS AMN VS ABC Vậy d (C ;( SAB)) Câu IV 0,25 3VS ABC 6a 2a SSAB 3a Giả sử tọa độ M x; 0 Khi MA 1 x; ; MB x ;3 Theo giả thiết ta có MA.MB MA.MB.cos 450 2 1 x x 1 x x 2 x 5x 10 x x x 8x 25 x x 10 x 2 x x x 25 (do x2 x 10 0) x4 10 x3 44 x 110 x 75 0,5 0,25 0,25 0,25 x 1 x 5 x2 x 15 x 1; x Vậy ta có hai điểm cần tìm M 1; 0 M 5; 0,25 Câu V Do x, y nên bất đẳng thức cho tương đương với 1 x 2 1 y 1 xy 1 x 1 y 2 2 x y x y 1 xy 1 x x 1 y y xy x y xy 1 , bất đẳng thức Dấu xảy x y 2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 ... giáo dục & đào tạo Thừa thi? ?n huế Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA Năm học 2014 -2015 Mụn thi : Toán (120 phút, không kể thêi gian giao ®Ị) - Trường THPT 80 Nguyễn Huệ ®Ị chÝnh...http://toanlihoasinh.blogspot.com/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN CÂU Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,0 điểm) Tập xác định: D = ℝ ... http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ThuVienDeThi.com 0,25 (3) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ S GIÁO D C VÀ ÀO T O PHÚ N CHÍNH TH C KÌ? ?THI? ?TH ? ?THPT? ?QU C? ?GIA? ?2015? ? MƠN:TỐN Ngày? ?thi: 02/4 /2015? ? Th i gian: 180 phút (khơng k