Ngày 21/3/2022 Buổi 54 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nhắc lại dấu giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số a, kí hiệu |a|, định nghĩa sau: |𝑎| = { 𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑎 ≥ −𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑎 < Giải số phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối VD: Giải phương trình |2𝑥| = 𝑥 + BG: ĐKXĐ: 𝑥 + ≥ ⇔ 𝑥 ≥ −1 |2𝑥| = 𝑥 + 𝑥=1 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥=1 2𝑥 − 𝑥 = 𝑥=1 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[𝑥 = − ( 𝑇𝑀) 2𝑥 = −(𝑥 + 1) 2𝑥 = −𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = −1 3𝑥 = −1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Rút gọn biểu thức: 1) A = | − 3𝑥| + 7𝑥 – 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≤ Vì 𝑥 ≤ 𝑛ê𝑛 − 3𝑥 ≥ ⇒|−3𝑥| = −3𝑥 ⇒ 𝐴 = |−3𝑥| + 7𝑥 – ⇒ 𝐴 = −3𝑥 + 7𝑥 − = 4𝑥 − 2) 𝐵 = – 4𝑥 + |𝑥 − 6| 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < Vì 𝑥 < 𝑛ê𝑛 𝑥 − < ⇒ |𝑥 − 6| = −(𝑥 − 6) = − 𝑥 ⇒ 𝐵 = – 4𝑥 + |𝑥 – 6| ⇒ 𝐵 = − 4𝑥 + − 𝑥 ⇒ 𝐵 = 11 − 5𝑥 3) 𝐴 = 3𝑥 + + |5𝑥| hai trường hợp: 𝑥 ≥ 𝑣à 𝑥 < TH1: 𝑥 ≥ ta có 5𝑥 ≥ 𝑛ê𝑛 |5𝑥| = 5𝑥 𝐴 = 3𝑥 + + |5𝑥| = 3𝑥 + + 5𝑥 = 8𝑥 + TH 2: 𝑥 < ta có 5𝑥 < 𝑛ê𝑛 |5𝑥| = −5𝑥 𝐴 = 3𝑥 + + |5𝑥| = 3𝑥 + − 5𝑥 = −2𝑥 + 4) 𝐵 = | − 4𝑥| − 2𝑥 + 12 hai trường hợp: 𝑥 ≤ 𝑣à 𝑥 > TH1: 𝑥 ≤ ta có − 4𝑥 ≥ nên | − 4𝑥| = −4𝑥 𝐵 = |−4𝑥| − 2𝑥 + 12 = −4𝑥 − 2𝑥 + 12 = −6𝑥 + 12 TH2: 𝑥 > ta có − 4𝑥 < nên | − 4𝑥| = −(−4𝑥) = 4𝑥 𝐵 = |−4𝑥| − 2𝑥 + 12 == 4𝑥 − 2𝑥 + 12 = 2𝑥 + 12 5) 𝐶 = |𝑥 − 4| − 2𝑥 + 12 𝑥 > Vì 𝑥 > ta có 𝑥 – > ℎ𝑎𝑦 𝑥 − > 𝑛ê𝑛 |𝑥 − 4| = 𝑥 − 𝐶 = |𝑥 − 4| − 2𝑥 + 12 = 𝑥 − − 2𝑥 + 12 = −𝑥 + 6) 𝐷 = 3𝑥 + + |𝑥 + 5| 𝑇𝑎 𝑐ó |𝑥 + 5| = 𝑥 + 𝑘ℎ𝑖 𝑥 + ≥ ⇒ 𝑥 ≥ |𝑥 + 5| = −(𝑥 + 5)𝑘ℎ𝑖 𝑥 + < ⇒ 𝑥 < −5 Với 𝑥 ≥ 𝐷 = 3𝑥 + + 𝑥 + = 4𝑥 + Với 𝑥 < −5 𝐷 = 3𝑥 + – (𝑥 + 5) = 3𝑥 + – 𝑥 – = 2𝑥 – Bài 2: Giải phương trình sau: 1) |2𝑥| = 𝑥 – ĐK: 𝑥 ≥ 2𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 = −6 ⇔[ ⇔[ ⇔[ 2𝑥 = −(𝑥 − 6) 2𝑥 = −𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥 = −6 ( 𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 = −6 ⇔[ ⇔[ 𝑥 = (𝑙𝑜ạ𝑖) 3𝑥 = Vậy phương trình vơ nghiệm 2) | − 3𝑥| = 𝑥 – ĐK: 𝑥 ≥ −3𝑥 = 𝑥 − −3𝑥 − 𝑥 = −8 ⇔[ ⇔[ −3𝑥 = −(𝑥 − 8) −3𝑥 = −𝑥 + −4𝑥 = 𝑥 = −2 𝑥 = −2 ⇔[ ⇔[ ⇔[ (𝑙𝑜ạ𝑖) −3𝑥 + 𝑥 = −2𝑥 = 𝑥 = −4 Vậy phương trình vơ nghiệm 3) |4𝑥| = 2𝑥 + 12 ĐK: 𝑥 ≥ −6 4𝑥 − 2𝑥 = 12 4𝑥 = 2𝑥 + 12 2𝑥 = 12 𝑥=6 ( 𝑇𝑀) ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 4𝑥 + 2𝑥 = −12 4𝑥 = −2𝑥 − 12 6𝑥 = −12 𝑥 = −2 Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 𝑣à 𝑥 = −2 4) | − 5𝑥| − 16 = 3𝑥 16 ⇔|−5𝑥| = 3𝑥 + 16 ĐK: 𝑥 ≥ − −5𝑥 = 3𝑥 + 16 −5𝑥 − 3𝑥 = 16 −8𝑥 = 16 𝑥 = −2 ( 𝑇𝑀) ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ −5𝑥 = −3𝑥 − 16 −5𝑥 + 3𝑥 = −16 −2𝑥 = −16 𝑥=8 Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = −2 𝑣à 𝑥 = 5) |𝑥 − 7| = 2𝑥 + ĐK: 𝑥 ≥ − 𝑥 = −10 (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 − 2𝑥 = + 𝑥 − = 2𝑥 + −𝑥 = 10 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 𝑥 = ( 𝑇𝑀) 𝑥 + 2𝑥 = −3 + 𝑥 − = −2𝑥 − 3𝑥 = Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 6) |𝑥 + 4| = 2𝑥 – ĐK: 𝑥 ≥ 𝑥 = ( 𝑇𝑀) 𝑥 + = 2𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 = −5 − −𝑥 = −9 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 𝑥 = ( 𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 + = −2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = − 3𝑥 = Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 7) |𝑥 + 3| = 3𝑥 – ĐK: 𝑥 ≥ 𝑥 = 2( 𝑇𝑀) 𝑥 + = 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 = −1 − −2𝑥 = −4 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 𝑥 + = −3𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 = − 4𝑥 = −2 𝑥 = − (𝑙𝑜ạ𝑖 ) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 8) |𝑥 − 4| + 3𝑥 = 5 ⇔|𝑥 – 4| = − 3𝑥 ĐK: 𝑥 ≤ 𝑥 = ( 𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 + 3𝑥 = + 4𝑥 = 𝑥 − = − 3𝑥 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 𝑥 − 3𝑥 = −5 + −2𝑥 = −1 𝑥 − = 3𝑥 − 𝑥 = ( 𝑇𝑀) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 9) |5𝑥| − 3𝑥 – = ⇔|5𝑥| = 3𝑥 + 2 ĐK: 𝑥 ≥ − 𝑥 = ( 𝑇𝑀) 5𝑥 − 3𝑥 = 2𝑥 = 5𝑥 = 3𝑥 + ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 𝑥 = − ( 𝑇𝑀) 5𝑥 + 3𝑥 = −2 8𝑥 = −2 5𝑥 = −3𝑥 − Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 𝑣à 𝑥 = − 10) 𝑥 – 5𝑥 + |−2𝑥| − = ⇔|−2𝑥| = 4𝑥 + ĐK: 𝑥 ≥ − 𝑥 = − ( 𝑇𝑀) −2𝑥 = 4𝑥 + −2𝑥 − 4𝑥 = −6𝑥 = ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ −2𝑥 = −4𝑥 − −2𝑥 + 4𝑥 = −3 2𝑥 = −3 𝑥 = − ( 𝑙𝑜ạ𝑖) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = − 2 11) |3 – 𝑥| + 𝑥 – (4 + 𝑥)𝑥 = ⇔|3 – 𝑥| = −𝑥 + (4 + 𝑥)𝑥 ⇔|3 – 𝑥| = −𝑥 + 4𝑥 + 𝑥 ⇔|3 – 𝑥| = 4𝑥 ĐK: 𝑥 ≥ 𝑥 = ( 𝑇𝑀) −𝑥 − 4𝑥 = −3 − 𝑥 = 4𝑥 −5𝑥 = −3 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ −𝑥 + 4𝑥 = −3 − 𝑥 = −4𝑥 2𝑥 = −3 𝑥 = − (𝑙𝑜ạ𝑖) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 12) (𝑥 – 1) + |𝑥 + 21| − 𝑥2 – 13 = ⇔|𝑥 + 21| = 𝑥 + 13 − (𝑥 − 2𝑥 + 1) ⇔|𝑥 + 21| = 𝑥 + 13 − 𝑥 + 2𝑥 − ⇔|𝑥 + 21| = 2𝑥 + 12 ĐK: 𝑥 ≥ −6 𝑥 = (𝑇𝑀) 𝑥 + 21 = 2𝑥 + 12 𝑥 − 2𝑥 = 12 − 21 −𝑥 = −9 ⇔[ ⇔[ ⇔[ ⇔[ 𝑥 = −11 (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 + 21 = −2𝑥 − 12 𝑥 + 2𝑥 = −12 − 21 3𝑥 = −33 Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = Bài 3: Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số 1) 5𝑥 − ≥ 2𝑥 +3 ⇔5𝑥 − 𝑥 ≥ + 23 ⇔ 𝑥≥4 ⇔𝑥 ≥ 20 23 Vậy BPT có nghiệm 𝑥 ≥ 20 23 2) ⇔ 3𝑥+5 −1≤ 3(3𝑥+5)−6 ≤ 𝑥+2 +𝑥 20 23 2(𝑥+2)+6𝑥 ⇔9𝑥 + 15 − ≤ 2𝑥 + + 6𝑥 ⇔9𝑥 + ≤ 8𝑥 + ⇔9𝑥 − 8𝑥 ≤ − ⇔𝑥 ≤ −5 Vậy bất phương trình có nghiệm 𝑥 ≤ −5 -5 3) ( 2𝑥 − )( 𝑥 + ) − 3𝑥 + ≤ ( 𝑥 − )( 𝑥 + ) + 𝑥 − ⇔2𝑥 + 6𝑥 − 𝑥 − − 3𝑥 + ≤ 𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 − + 𝑥 − ⇔2𝑥 + 2𝑥 − ≤ 2𝑥 + 2𝑥 − ⇔2𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 ≤ −8 + ⇔ 0𝑥 ≤ −6 ( 𝑣ơ 𝑙ý) Vậy bất phương trình vơ nghiệm 4) (𝑥 + 2) (𝑥 – 3) > (2 − 𝑥) (6 − 𝑥) ⇔ 𝑥 − 3𝑥 + 2𝑥 − > 12 − 2𝑥 − 6𝑥 + 𝑥 ⇔ 𝑥 − 𝑥 − > 𝑥 − 8𝑥 + 12 ⇔ 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 > 12 + ⇔7𝑥 > 18 ⇔𝑥 > 18 Vậy bất phương trình có nghiệm 𝑥 > 18 5) 𝑥+3 5−𝑥 −3 𝑥+3>0 { { 𝑥>5 𝑥>5 ⇔[ − 𝑥 < 0⇔[ ⇔[ 𝑥 + < {𝑥 < −3 𝑥 < −3 { 5−𝑥 >0 𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 < −3 -3 Dạng bài: Giải phương trình |A(x)| + |B(x)| = C(x) Phương pháp giải Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối |A(x)| + |B(x)| = C(x): - Chia khoảng nghiệm để xác định dấu biểu thức (lập bảng xét dấu) - Căn vào xét dấu, chia khoảng để giải phương trình (kiểm tra điều kiện tương ứng) Bài 4: Giải phương trình 1) |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| = 2𝑥 − Ta thấy 𝑥 + = ⇔ 𝑥 = −1 𝑥−3=0⇔𝑥 =3 TH1: Nếu 𝑥 < −1, phương trình trở thành −𝑥 − − 𝑥 + = 2𝑥 − ⇔ −2𝑥 + = 2𝑥 − ⇔ −2𝑥 − 2𝑥 = −1 − ⇔ −4𝑥 = −3 ⇔ 𝑥 = ( 𝐾𝑇𝑀) TH2: Nếu −1 ≤ 𝑥 ≤ 3, phương trình trở thành 𝑥 + − 𝑥 + = 2𝑥 − ⇔ = 2𝑥 − ⇔ 2𝑥 = 5 ⇔𝑥= TH3: Nếu 𝑥 > 3, phương trình trở thành 𝑥 + + 𝑥 − = 2𝑥 − ⇔ 2𝑥 − = 2𝑥 − ⇔ 2𝑥 − 2𝑥 = −1 + ⇔ 0𝑥 = ( 𝑣ơ 𝑙ý) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 2) |𝑥 + 5| − |1 − 2𝑥| = 𝑥 Ta có 𝑥 + = ⇔ 𝑥 = −5 1 − 2𝑥 = ⇔ 𝑥 = TH1: 𝑁ế𝑢 𝑥 < −5, phương trình trở thành −𝑥 − − + 2𝑥 = 𝑥 ⇔𝑥−6=𝑥 ⇔𝑥−𝑥 =6 ⇔ 0𝑥 = ( 𝑣ơ 𝑙ý) Vậy phương trình vơ nghiệm TH2: Nếu −5 ≤ 𝑥 ≤ , phương trình trở thành 𝑥 + − + 2𝑥 = 𝑥 ⇔ 3𝑥 + = 𝑥 ⇔ 3𝑥 − 𝑥 = −4 ⇔ 2𝑥 = −4 ⇔ 𝑥 = −2( 𝑇𝑀) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = −2 TH3: Nếu 𝑥 > , phương trình trở thành 𝑥 + − 2𝑥 + = 𝑥 ⇔ −𝑥 + = 𝑥 ⇔ −𝑥 − 𝑥 = −6 ⇔ −2𝑥 = −6 ⇔ 𝑥 = ( 𝑇𝑀) phương trình có nghiệm 𝑥 = −2 𝑥 = Bài 5: Hai bể nước chứa 800 lít nước 1300 lít nước Người ta tháo lúc bể thứ 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút Hỏi sau số nước lại bể thứ 𝟐 số nước lại bể thứ hai? 𝟑 BG: Gọi thời gian mở vòi chảy để số nước lại bể thứ số nước bể thứ hai x (phút) (x > 0) Lượng nước chảy khỏi bể thứ 15x (lít) Lượng nước chảy khỏi bể thứ hai 25x (lít) Lượng nước cịn lại bể thứ nhât 800 – 15x (lít) Lượng nước lại bể thứ hai 1300 – 25x (lít) Theo ta có phương trình: 800 – 15𝑥 = (1300 – 25𝑥) ⇔ 2400 – 45𝑥 = 2600 – 50𝑥 ⇔ 5𝑥 = 200 ⇔ 𝑥 = 40 (𝑡𝑚đ𝑘) Vậy sau 40 phút số nước lại bể thứ số nước lại bể thứ hai Bài 6: Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h Sau giờ, xe đuổi theo với vận tốc 50 km/h Hỏi xe chạy đuổi kịp xe đạp? BG: Gọi thời gian xe bắt đầu chạy đến gặp xe đạp x (x > 0) Thời gian xe đạp đến gặp xe x + (h) Quãng đường xe 50x(km), quãng đường xe đạp 20(x + 3) (km) Vì hai xe từ A đến gặp quãng đường hai xe nên ta có phương trình: 50𝑥 = 20(𝑥 + 3) ⇔ 50𝑥 = 20𝑥 + 60 ⇔ 30𝑥 = 60 ⇔ 𝑥 = (𝑡𝑚 đ𝑘) Vậy xe chạy đuổi kịp xe đạp Ngày 21/3/2022 Buổi 54 ĐỀ BÀI Bài 1: Rút gọn biểu thức: 1) A = | − 3𝑥| + 7𝑥 – 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≤ 2) 𝐵 = – 4𝑥 + |𝑥 − 6| 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 3) 𝐴 = 3𝑥 + + |5𝑥| hai trường hợp: 𝑥 ≥ 𝑣à 𝑥 < 4) 𝐵 = | − 4𝑥| − 2𝑥 + 12 hai trường hợp: 𝑥 ≤ 𝑣à 𝑥 > 5) 𝐶 = |𝑥 − 4| − 2𝑥 + 12 𝑥 > 6) 𝐷 = 3𝑥 + + |𝑥 + 5| Bài 2: Giải phương trình sau: 6) |𝑥 + 4| = 2𝑥 – 7) |𝑥 + 3| = 3𝑥 – 8) |𝑥 − 4| + 3𝑥 = 9) |5𝑥| − 3𝑥 – = 10) 𝑥 – 5𝑥 + |−2𝑥| − = 11) |3 – 𝑥| + 𝑥 – (4 + 𝑥)𝑥 = 12) (𝑥 – 1)2 + |𝑥 + 21| − 𝑥 – 13 = 1) |2𝑥| = 𝑥 – 2) | − 3𝑥| = 𝑥 – 3) |4𝑥| = 2𝑥 + 12 4) |−5𝑥| − 16 = 3𝑥 5) |𝑥 − 7| = 2𝑥 + Bài 3: Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số 1) 5𝑥 − ≥ 2𝑥 +3 2) 3𝑥+5 −1≤ 𝑥+2 +𝑥 3) ( 2𝑥 − )( 𝑥 + ) − 3𝑥 + ≤ ( 𝑥 − )( 𝑥 + ) + 𝑥 − 4) (𝑥 + 2) (𝑥 – 3) > (2 − 𝑥) (6 − 𝑥) 𝑥+3 5) 5) 𝐶 = |𝑥 − 7| − 2𝑥 + 12 𝑥 > 6) 𝐷 = 6𝑥 + + |𝑥 + 4| Bài 2: Giải phương trình sau: 6) |𝑥 + 7| = 2𝑥 – 7) |𝑥 + 2| = 𝑥 – 8) |𝑥 − 2| + 2𝑥 = 9) |4𝑥| − 2𝑥 – = 10) 𝑥 – 3𝑥 + |−3𝑥| − = 11) |7 – 𝑥| + 𝑥 – (3 + 𝑥)𝑥 = 12) (𝑥 – 1)2 + |𝑥 + 2| − 𝑥 – 11 = 1) |3𝑥| = 𝑥 – 2) | − 4𝑥| = 𝑥 – 3) |5𝑥| = 3𝑥 + 12 4) |−4𝑥| − 16 = 2𝑥 5) |𝑥 − 11| = 𝑥 + Bài 3: Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số 1) 2𝑥 − ≥ 2𝑥 +1 2) 2𝑥+5 −1≤ 𝑥+3 −𝑥 3) ( 𝑥 − )( 𝑥 + ) − 3𝑥 + ≤ ( 𝑥 − )( 𝑥 + ) − 4) (𝑥 + 2) (𝑥 – 4) > (2 + 𝑥) (−8 + 𝑥) 𝑥−3 5)