SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Tác giả sáng kiến: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Mã sáng kiến: 05.52 Vĩnh Yên BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc đứng tốp đầu nước chất lượng thi ĐH-CĐ thi THPT Quốc gia Là trường đà phát triển, trường THPT Nguyễn Thái Học nỗ lực để trì nâng cao chất lượng giáo dục mặt nhà trường Nhiệm vụ vừa trách nhiệm, vừa niềm vinh dự giáo viên Là giáo viên ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạy lớp mũi nhọn khối A trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển tốn lớp 11, tơi nhận thấy phải có trách nhiệm giúp em học sinh đạt điểm số cao khả em “DÃY SỐ” kiến thức hay khó chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Trong đề thi khảo sát chuyên đề trường có khơng ít câu hỏi trắc nghiệm dãy số đã gây khó khăn học sinh Đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số ln xuất câu khó nhiều học sinh Trong dạng tốn phở biến dãy số dạng tìm công thức số hạng tổng quát dãy số( CTTQ) tình giới hạn dãy số Để giúp học sinh THPT đặc biệt học sinh lớp giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học gải quyết số dạng tập liên quan đến dãy số, chọn viết đề tài: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tởng qt cách tính giới hạn số dãy số cho bằng công thức truy hồi Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0977604246 - E_mail: thuyduongnth@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0977604246 - E_mail: thuyduongnth@gmail.com Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học mơn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11ở trường THPT bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng năm 2016 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến gồm phần: PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN 4: KẾT QUẢ PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN I Cơ sở thực tiễn Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy, việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh củng cố kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp em bước vượt qua khó khăn, thử thách cách nhẹ nhàng Muốn học tốt mơn Tốn, em phải nắm vững tri thức khoa học ở mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể ở việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học nghiên cứu mơn Tốn cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, biết cách đưa toán phức tạp toán đơn giản, biết cách biến “không thể” thành “có thể” II Cơ sở lý thuyết DÃY SỚ 1 Định nghĩa: u a) Mỗi hàm số xác định tập số tự nhiên ¥* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) u : ¥* → ¡ Kí hiệu: n a u (n) u1; u2 ; u3 ; ; un ; Dạng khai triển: Trong ta gọi: u1 số hạng đầu, un = u ( n ) số thứ n hay số hạng tổng quát dãy số b) Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1;2;3; ; m} với m∈¥* gọi dãy số hữu hạn 1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm a) Dãy số b) Dãy số (un ) gọi tăng nếu (un ) gọi giảm nếu un+1 > un n∈¥* với un+1 < un với n∈¥* 1.3 Dãy số bị chặn a) Dãy số b) Dãy số c) Dãy số tồn số (un ) gọi bị chặn nếu tồn số (un ) (un ) gọi bị chặn nếu tồn số M m cho cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ * un ≥ m, ∀n ∈ ¥ * gọi bị chặn nếu vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức m, M cho m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ¥ * CẤP SỐ CỘNG 2.1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai) 2.2 Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1) d uk = 2.3 Tính chất số hạng: với n ≥ uk −1 + uk +1 với k ≥ S n = u1 + u2 + + un = 2.4 Tổng n số hạng đầu tiên: n(u1 + un ) = n [ 2u1 + (n − 1)d ] CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: (un) cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N* (q:công bội) Số hạng tổng quát: un = u1.q n−1 3 Tính chất số hạng: với n ≥ uk2 = uk −1.uk +1 Tổng n số hạng đầu tiên: với k ≥ với q =  Sn = nu1  n  S = u1 (1 − q ) với q ≠  n 1− q PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ I Thuận lợi: + Bản thân giáo viên đã trường lâu năm, Ban giám hiệu phân công đứng lớp chọn phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn bao quát toàn cấp học + Học sinh đã rèn luyện kỹ giải tập cấp số cộng, cấp số nhân tảng để giải toán dãy số + Phương pháp dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số em có ý thức học tập tốt nắm bắt kiến thức tốt II Khó khăn: + Học sinh vẫn quen cách học thụ động, khơng chịu suy nghĩ tìm tòi trước câu hỏi khó, lạ + Thời lượng dạy không nhiều nên nhiều ý tưởng giáo viên chưa truyền tải hết PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Một nội dung thường gặp tốn dãy số xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số cho bởi cơng thức truy hồi Có nhiều phương pháp để giải quyết yêu cầu Tuy nhiên phương pháp thường gặp biến đổi để qui dãy số đặc biệt chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Dạng 1.1 Xác định CTTQ dãy (un) xác định : u1 = x0  un = aun−1 + b , ∀n ≥ a, b hằng số Dãy số kiểu xuất nhiều tập dãy số cũng câu hỏi trắc nghiệm Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất: Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách tập đại số giải tích 11) : Tìm cơng thức số hạng TQ dãy (un) xác định sau : u1 = (un ) :  un +1 = un − Lời giải: Bài tốn giải bằng cách khác nhau: Cách 1: Dự đoán SHTQ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học Ta có: u1 = = − 1; u2 = = − 2; u3 = = − 3; u4 = −1 = − Dự đoán: un = − n Dễ dáng chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp tốn học Cách 2: Từ cơng thức truy hồi cấp số cộng, với: u1 =  d = −1 un+1 = un − Khi đó: suy ra: un+1 − un = −1 suy dãy số un = u1 + ( n − 1)d = + (n − 1)(−1) = − n (un ) Ví dụ 2: Xác định SHTQ dãy số ( un ) xác định bởi: u1 =  un = 2un −1; n ≥ Lời giải: Tương tự ví dụ 1, giải ví dụ bằng cách dự đốn công thức SHTQ rối chứng minh bằng quy nạp Tuy nhiên từ cơng thức truy hồi ta thấy dãy số CSN với: u1 =  q = từ suy ra: un = 3.2n−1 * Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy tốn giải qút dễ dàng bởi dãy số đã cho chính dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) cấp số nhân (CSN) Tuy nhiên dãy số cũng CSC hay CSN Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách tập đại số giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số u1 = (un ) :  un+1 = 3un + 10 n un Hãy điền số thích hợp vào bảng sau đây: Lời giải: Dãy số CSC hay CSN, nhiên ta biến đởi CSC, CSN dãy trung gian khác Thật vậy: Từ công thức truy hồi: CSN Tức là: Ta có: vn = un + c  vn+1 = kvn un+1 = 3un + 10 , ta sẽ tìm dãy ta biến đởi dãy ( ) k = k = un+1 + c = k (un + c) ⇒  ⇔ kc − c = 10 c = ( ) cho ( ) Như dãy số v1 = (vn ) :  vn+1 = 3vn nên ( ) = un + với cấp số nhân xác định sau: Ta thấy (vn) lập thành CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3 = v1.q n−1 = 6.3n−1 = 2.3n Vậy ta có bảng sau: un = 2.3n − suy n un 49 481 4369 *Từ ví dụ ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng : u1 = x0  un = aun−1 + b , ∀n ≥ sau: Cách giải: + Nếu + Nếu a =1 a ≠1 (un) cấp số cộng với công sai d=b : Ta sẽ phân tích b = k − ak k= nên b 1− a b= hay b b −a 1− a 1− a Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: un = au n−1 +b ⇔ un = au n−1 + b b b b −a ⇔ un − = a (u n−1 − ) 1− a 1− a 1− a 1− a = un + c = un + Từ ta có dãy un − Suy ra: CSN có cơng bội q=a b b = a n−1 (u1 − ) 1− a 1− a un = a n−1u1 − hay b a −1 b (a n−1 − 1) 1− a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho dãy số: u1 =  un +1 = 3un + 10, n ≥ a Chứng minh dãy số = un + CSN b Tính tổng 100 số hạng đầu dãy số ĐS: Bài 2: Tìm cơng thức SHTQ dãy số sau: a b u1 =  un = 2un−1 + 3, n ≥ u1 =  un+1 = 6un − 1, n ≥ ĐS: un = 2n +1 − un = ; ĐS: n −1 − 5 Dạng 1.2: Xác định CTTQ dãy (un) xác định sau : u1 = x0 (un ):  un = aun−1 + f (n) , Trong f ( n) đa thức bậc k với n, a hằng số Cách giải: Ta phân tích f ( n ) = g ( n ) − ag ( n − 1) TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) đa thức bậc k+1 có hệ số tự bằng TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) đa thức bậc k Khi ta viết công thức truy hồi dãy sau: Ta tìm CTTQ dãy (un) là: un − g (n) = a(un−1 − g (n − 1)) un = [ u1 − g (1)] a n −1 + g (n) Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số giải tích 11) Cho dãy (un) xác định bởi u1 =  un+1 = un + 3n − Lời giải: Tìm CTTQ dãy (un) Cách 1: u1 = u1 = ⇔  un+1 = un + 3n − un = un −1 + 3n − Giải sử: g ( n) = an + bn ⇒ g (n − 1) = a(n − 1) + b(n − 1) Khi ta phân tích: 3n − = g (n) − g ( n − 1) ⇔ 3n − = an + bn − a( n − 1) − b( n − 1) ⇔ 3n − = 2an + b − a Đồng hệ số  a =  3 = 2a ⇔  −5 = b − a b = −  Khi ta xác định hàm g(n): g (n) = n − n 2 Từ công thức truy hồi dãy (un) ta có: un − g (n) = un−1 − g (n − 1) Hay u n = u1 − g (1) + g (n) = Cách 2: 3n − n + 14 u1 =  un+1 = un + 3n − Từ công thức truy hồi Un+1-Un= 3n-2 ta thay giá trị n=1,2,… u2 − u1 = 3.1 − u3 − u2 = 3.2 − …………… un − un−1 = 3.( n − 1) − 10 ( un ) Câu Cho dãy số xác định bởi −un + 2017 n + 2018 = A 2018 Câu Cho dãy số Tính tổng A C 2017 C Khơng có xác định sau: S = u2018 − 2u2017 n D 1009 S = 2015 + 3.4 2017 Câu Cho dãy số để u1 =    un+1 + 4un = − 5n ( n ≥ 1) S = 2016 − 3.42018 (un ) n Giá trị B ( un ) u1 =  un+1 = un + 2n + 1, n ≥ B D xác định bởi S = 2016 + 3.4 2018 S = 2015 − 3.42017 u1 =  u = u − 6, ∀ n ≥ n  n+1 Tìm chữ số hàng đơn vị u2019 A B Câu Cho dãy số ( un ) với C u1 =  2n un+1 = un + ( −1) D Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A un = − n Câu 9: Cho dãy A B un = + ( −1) u1 =  n (un )  1 un+1 = un +  ÷ ∀n ≥    B 2n Tính C un = n D un = + n lim un C 22 D Câu 10 Cho dãy số ( un ) với u1 =  un+1 − un = 2n − un Số hạng tổng quát dãy số số hạng đây? un = − ( n − 1) A C un = + ( n + 1) Câu 11: Cho dãy số có A C B D u1 = n∈ N*) (  un = 2un−1 + 3un−2 un +3 = 2un + + 3un+1 B un+3 = 2un −2 + 3un+1 (un ) Câu 12 Cho dãy số u5 = −17 A Câu 13 Cho dãy số ( un ) un = + n D un = + ( n − 1) với C u1 =  un +1 = un + n Khi số hạng thứ n+3 là? un+3 = 2un + + 3un un+3 = 2un+ + 3un −1 u1 = 3, u2 =  un+ = 2un+1 − 3un , ∀n ≥ xác định bởi u5 = −12 B u5 = −19 Tìm u5 D Số hạng tổng quát un u5 = −13 dãy số số hạng đây? un = + A un = + C n ( n − 1) ( 2n + ) n ( n + 1) ( 2n − ) un = + B un = + D 23 n ( n − 1) ( 2n − 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) Câu 14 Cho dãy số ( un ) xác định bởi n nhỏnhất cho n = 2020 A n = 2019 u1 =  * un+1 = un + n , ∀n ∈ ¥ un − ≥ 2039190 B n = 2018 C Tìm số nguyên dương n = 2017 D S = + 2.2 + 3.22 + 4.23 + + 2018.22017 Câu 15 Tính tổng A C S = 2019.22018 + S = 2017.22018 B D S = 2017.22018 + S = 2018.22018 + DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỜI Dạng 2.1 Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ dãy số Nếu biết CTTQ dãy số việc tính giới hạn khơng còn khó khăn Để tìm CTTQ dãy số có nhiều cách Trong dạng ở chuyên đề đã đưa số cách để xác định Các ví dụ sau dùng phương pháp đã biết ở dạng để tìm CTTQ dãy số Ví dụ Cho dãy số: u1 = 10   u = un + 3, ∀n ≥ n +  lim un Tính Lời giải: n −3 Áp dụng dạng 1.1 ta tìm CTTQ cảu dãy số là: lim un = Do đó: 15 24 1 un =  ÷  5 + 15 Ví dụ 2: Cho dãy số: u1 =  n  1 un+1 = un +  ÷ , ∀n ≥    lim un Tính n −1 Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm CTTQ cảu dãy số là: Do đó: lim un = Ví dụ 3: Cho dãy số: u0 = 1; u1 =  un+ − 3un+1 + 2un = 0, ∀n ≥ lim Tính un 3.2n Lời giải: Áp dụng dạng 1.5 ta tìm CTTQ dãy số là: Do đó: 1 un = −  ÷ 2 (HSG Bắc Giang) un = 5(2n − 1) 5− n un 5(2n − 1) = lim n = lim = lim n 3.2 3.2 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho dãy số: Bài 2: Cho dãy số: u1 = −5   un+1 = un + 6, ∀n ≥ u1 =  un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ lim un = −18 lim un Tính lim Tính un 22 n ĐS: lim ĐS: un = 22 n Nhận xét: Nhiều toán việc tìm CTTQ khó khăn, ta tìm giới hạn dãy số theo cách khác dễ Dạng 2.2: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn Để tìm giới hạn theo cách ta cần nắm tính chất sau dãy số: Dãy số tăng bị chặn dãy số giảm bị chặn có có giới hạn hữu hạn 25 (un ) Nếu dãy số thỏa mãn điều kiện lim un un ≤ M , ∀n tồn lim un ≤ M Nếu dãy số (un ) Giải sử dãy số Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn điều kiện (un ) (un ) un ≥ m, ∀n lim un ≥ m lim un tồn lim un = lim un+1 có giới hạn hữu hạn xác địn bởi: u1 =  un+1 = + un , ∀n ≥ lim un Tìm Lời giải: Ta sẽ chứng minh dãy (un ) tăng bị chặn Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp sau: - Với n=1 ta có: - Giả xử u2 = + u1 = + > = u1 uk +1 > uk Hay dãy số (un ) , uk + = + uk +1 > + uk = uk +1 tăng nê sẽ bị chặn bởi Vậy un+1 > un , ∀n ≥ Ta sẽ chứng minh dãy số chặn bởi bằng quy nạp, thật vậy: - Khi n=1 ta có - Giả sử , u1 = < uk < 2, ∀k ≥ Vậy dãy số (un ) bị chặn bởi Do dãy số lim un = a Giả sử , uk +1 = + uk < + = a≥ Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có: 26 (un ) có giới hạn hữu hạn (un ) bị  a = −1(l ) lim un+1 = lim + un ⇔ a = + a ⇔ a = a + ⇔  a = lim un = Vậy Ví dụ : Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh dãy số (un ) u1 >  1 2  u = u +  ÷, ∀n ≥ n + n  u n    có giới hạn tìm giới hạn Lời giải : 1 2 u1 > 0, un+1 =  un + ÷ > 0, ∀n ≥ 2 un  1 2 un+1 =  un + ÷ ≥ un = 2, ∀n ≥ 2 un  un Áp dụng bất đẳng thức CôSi : ⇒ un ≥ 2, ∀n ≥ hay dãy số (un ) bị chặn bởi Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh Thật : - Xét hiệu : Do 1 2  u2  un+1 − un =  un + ÷− un = 1 − n ÷ 2 un  un  2 un2 un2 un ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ ⇒ un+1 < un 2 Như dãy số (un ) hay dãy số giảm giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = a (a>0) ⇒ lim un+1 = a Ta có phương trình: 27 a = 1 2 a =  a + ÷⇔  2 a  a = − 2(l ) lim un = Vậy Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định sau: lim( Tìm: u1 = 2019 (n ∈ N *)  u = 2019 u + u n n  n+1 u1 u2 u3 u + + + + n ) u u3 u un+1 Lời giải: Dễ dàng chứng minh dãy tăng vì: chặn bởi u1=2019 hay un+1 − un = 2019un2 > ∀n un ≥ 2019, ∀n ≥ Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn a( a>2019) : suy dãy số khơng có giới hạn hữu hạn hay Ta có : Vậy : lim un = +∞ 1 1 lim( − )= 2019 n→+∞ u1 un+1 20192 Ví dụ : Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh dãy số (un ) u1 >  1 2  un+1 =  un + u ÷, ∀n ≥ n    có giới hạn tìm giới hạn Lời giải : Ta có : a = 2019a + a ⇒ a = < 2019 un un2 (u − u ) 1 = = n+1 n = ( − ) un+1 un+1un 2019un+1un 2012 un un+1 S= suy dãy số bị 1 2 u1 > 0, un+1 =  un + ÷ > 0, ∀n ≥ 2 un  28 Áp dụng bất đẳng thức CôSi : ⇒ un ≥ 2, ∀n ≥ hay dãy số 1 2 un+1 =  un + ÷ ≥ un = 2, ∀n ≥ 2 un  un (un ) bị chặn bởi Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh Thật : - Xét hiệu : Do 1 2  un2  un+1 − un =  un + ÷− un = 1 − ÷ 2 un  un  2 un2 un2 un ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ ⇒ un+1 < un 2 Như dãy số (un ) hay dãy số giảm giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = a (a>0) ⇒ lim un+1 = a Ta có phương trình: a = 1 2 a =  a + ÷⇔  2 a  a = − 2(l ) lim un = Vậy Ví dụ 4: lim Cho dãy số (un ) xác địn bởi: u1 = 30  un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ un+1 un (Đề HSG Quảng Bình) Lời giải: Ta có: un > ∀n ∈ ¥ * un+1 = 30un2 + 3un + 2011 > 30un2 > un2 = un∀n ∈ ¥ * 29 nên (un ) dãy số tăng Tìm Giả sử ( Ta có: un ) dãy số bị chặn có giới hạn hữu hạn a = 30a + 3a + 2011 ⇔ 29a + 3a + 2011 = nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy ( lim Ta có: un lim un = a > phương trình vơ nghiệm ) khơng bị chặn Do đó: lim un = +∞ un+1 2011 = lim 30 + + = 30 un un un BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh rằng Bài 2: Cho dãy số u1 Tính lim( u n→+∞ + (un ) (un ) có giới hạn tính giới hạn u2 u + + n ) u3 un+1 (un ) u1 =   un u = + un  n+1 2009  ; ∀n ≥ Bài 3: Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh dãy số u1 = 2019 (n ∈ N *)  u − u u + 2020 = n n +1  n+1 xác định bởi :  < un <   un+1 (1 − un ) > , ∀n ≥ tăng tìm giới hạn dãy số Dạng 2.3 Tính giới hạn dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp Để áp dụng phương pháp ta nhắc lại nguyên lý kẹp sau: (un ),(vn ),(w n ) < un < w n , ∀n Cho dãy số: thỏa mãn điều kiện: va lim = lim wn = a lim un = a thì Sau ta xét số ví dụ minh họa phương pháp này: 30 Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 1) lim sin(2n + 1) n 2) lim cos(n + 2n − 1) 2n + Lời giải: sin(2n + 1) ≤ ⇒ ≤ 1) Ta có: 1 sin(2n + 1) ≤ n n cos(n + 2n − 1) ≤ ⇒ ≤ 2) Ta có: lim mà mà 1 lim = ⇒ lim sin(2n + 1) = n n 5 cos( n + 2n − 1) ≤ 2n + 2n + 5 = ⇒ lim cos( n + n − 1) = 2n + 2n + Nhận xét: Trong Ví dụ 1, dãy số cho bằng CTTQ việc áp dụng giới hạn kẹp dễ hơn, trường hợp dãy số cho bằng công thức truy hồi ta phải sử dụng kỹ đánh giá cao để dùng giới hạn kẹp Sau ta xét ví dụ mà dãy số cho bằng cơng thức truy hồi Ví dụ 2: Cho dãy số a CMR: b) CMR: (un ) xác định bởi :  u1 =    u = u + un ; ∀n ≥ n +1 n   ≤ un ≤ , ∀n un+1 ≤ , ∀n un lim un Tính Lời giải: a) Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh Thật vậy: 31 un ≥ 0, ∀n Ta chứng minh un ≤ , ∀n u1 = Với n=1 Giải sử un ≤ Vậy uk ≤ , ∀k ≥ uk +1 ≤ , ta chứng minh 1 3 ⇒ uk2 ≤ uk ; uk ≤ = 4 4 16 Do đó: Ta có: 1 3 uk +1 ≤ uk + uk = uk < < 4 16 ≤ un ≤ , ∀n un+1 1 = un + ≤ + = , ∀n un 4 b) Từ câu a) suy ra: n −1 Do ta có: u u u 3 3 < un = n n−1 u1 ≤ u1 =  ÷ , ∀n un−1 un−2 u1 4 4 4 lim un = Nên theo nguyên lý kẹp: Ví dụ 3: Cho dãy số a) CMR: un > (un ) xác định bởi :  u =   u = un ; ∀n ≥ n +1 n +1  un+1 ≤ , ∀n un lim un b) Tính Lời giải: 32 Nhận xét: Việc tìm CTTQ dãy số ta đánh giá un+1 un (un ) khó khăn, từ hệ thức truy hồi dễ dàng a) Dễ dàng chứng minh Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: un > 0, ∀n un +1 1 = ≤ , ∀n ≥ un n +1 n b) Từ câu a) ta có: u u u u 1 1 1 < un = n n−1 n−2 u1 ≤ =  ÷ un−1 un− un−3 u1 2 2 2 n mà 1 lim  ÷ = 2 lim un = nên theo nguyên lý kẹp ta có Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) < un+1 + ≤ a) CMR: xác định bởi : a2 + u1 = a  u = un ; ∀n ≥  n+1 un2 +  ( với -1  un ≤ un − un−1; ∀n ≥ 34 a) CMR: un < , ∀n ≥ n lim un b) Tính ( Đề HSG Quảng Ngãi) Khả áp dụng sáng kiến: Đề tài đã thân triển khai giảng dạy lớp 11A6 - khóa 20142017; đội tuyển tốn 11 năm học 2015-2016, lớp 11A1 khóa 2018-2021 đội tuyển tốn 11 năm 2019-2020 trường THPT Nguyễn Thái Học, tính khả thi hiệu đề tài khẳng định Học sinh hứng thú với tập dãy số vốn khơ khó, chất lượng học tập mơn nâng cao rõ rệt Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Đề tài dùng cho tất giáo viên giảng dạy Toán THPT dạy cho học sinh lớp 11 THPT 10 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Năm học 2015-2016 đội tuyển tốn 11 có em thi đã có em đạt giải có giải Nhì; giải ba, giải Khuyến khích Đặc biệt toán “dãy số” tất học sinh đội tuyển giải Năm học 2019 – 2020 áp dụng dạy cho lớp 11A1 đội tuyển tốn em đã giải qút dạng toán dạy số đã học 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa áp dụng sáng kiến Lớp 11A6 ( khóa học 2014-2017) Trường Lớp 11A1 Phạm vi/Lĩnh vực Nguyễn Thái Học ( khóa học 2018-2021) Nguyễn Thị Thùy Trường Dương THPT Môn Đại số Giải Tích 11 THPT Giảng dạy môn Đại số Giải Nguyễn Thái Học Tích 11 35 Ngày tháng năm Ngày tháng năm Ngày 27 tháng 02 năm2020 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Thùy Dương 36 ... đến dãy số, chọn viết đề tài: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho. .. chưa truy? ??n tải hết PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Một nội dung thường gặp toán dãy số xác định công thức số hạng tổng quát dãy số cho bởi công. .. Xác định công thức tổng quát dãy (U n).được cho bởi công thứ : u0 = −1, u1 = (un ) :  un − un −1 + 6un −2 = 0, ∀n ≥ Bài 2: Xác định công thức tổng quát dãy (U n).được cho bởi công thức: