Tài liệu Dẫn nhiệt ổn định_chương 2 pptx

Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt lượng δ2Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng quảng đường tự do trung bình các phân tử, tro

CHƯƠNG 2

DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH

2.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT

2.1.1 Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt

Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn

nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và gr a dt

Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt

lượng δ2Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử

khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng

quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong

thời gian d τ, như hình H2

Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ωcủa các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng:

τω

6

in

Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là

τω

=

6

1kT2

indEE

1 1

τω

=

6

1kT2

1ndEE

2 2

trong đó 1,3806.10 J/K

02217,6

8314N

phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí

Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng:

τω

ind)EE(

2 1 2

x

TT

v A

0 A

0

3

1 R 2

i N

n 3

1 N

R n 6

i k

=

x

Tq

Ss

Qx

2

∂

∂λ

−

=

=τδ

δ

Đây là dòng nhiệt theo phương x Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua

z

Tky

Tjx

Ti

∂

∂+

∂

∂λ

−

=

2.1.2 Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier

Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ gradien nhiệt độ

Biểu thức dạng vectơ là q = − λ gr a dt, dạng vô hướng là

) M ( t gradt

q = − λ = − λ n Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau

Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q gradt.dS

q gradt

Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu

Với chất khí, theo chứng minh trên, có

m

TkRd3

C2pd2

kTm

kT8CRT

p3

1xC3

=

λ

Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí,

µ

= R µ

R , tăng đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí

Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm

và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo Ví dụ, trị trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2

0,74 0,70 0,13 0,055 0,035 0,026

Bảng 2 Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

2.2.1 Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN

PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt

cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên

Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV

bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V,

có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv

, dòng nhiệt qua M là q

Hình 3 Cân bằng nhiệt cho dV

Định luật bảo toăn năng lượng cho dV phât biểu rằng:

[Độ tăng enthalpy của dV] = [hiệu số nhiệt lượng (văo - ra)dV]+[lượng nhiệt sinh ra trong dV]

Trong thời gian 1 giđy, phương trình năy có dạng :

dVqdV.qdiv

1 t

v p

− ρ

= τ

∂

∂Theo định luật Fourier q = − λ gr a dt, khi λ = const ta có

t z

t z y

t y x

t x )

dt a gr ( div q

−

= λ

−

=

),(r,cầuđộ toạ trong,

z),(r, trụđộ toạTrong

(xyz)góc vuôngđộ tạo

∂

∂+θ

∂θ

θ+θ

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

2

2 2 2

2

2

2

2 2 2

2 2

2

sinr

tt

sinr

cosr

tr

tr

2rt

z

tr

tr

tr

1rt

)Trong

(z

ty

tx

tt

gọi lă toân tử Laplace của hăm t(M)

PTVPDN lă phương trình kết hợp 2 định luật nói trín, có dạng:

qC

p

, với

p C

a ρ

V P

λ

−

−ρ

=τ

∂

∂

sẽ có dạng đơn

giản hơn, khi cần đâp ứng đủ câc điều kiện đặc biệt sau đđy:

1) Vật V không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì div( gr a dt)

C

1 t

p

λ ρ

= τ

3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V, t =0

τ

∂

∂ ∀M∈V, thì ∇2t=04) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :

t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo 0

dx

td2

1dr

td2

2

=+

t(r) trong tạo độ cầu tìm theo 0

dr

dtr

2dr

td2

2

=+

2.3 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ

Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn

là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ) Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn Để xác định duy nhất nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các điều kiện đơn trị Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình

2.3.1 Phân loại các điều kiện đơn trị

Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau

1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thước vị trí của hệ vật V

2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M

−

=

các điều kiện biên có dạng:

= λ

−

=

τ

= λ

V W M )) M ( t , , M ( q ) M ( t

) , M ( t t n

Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước trong mọi bài toán Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có chứa biến thời gian τ

2.3.2 Các loại điều kiện biên

Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ

Bảng 3 Các loại điều kiện biên

mô tả hình học hay

đồ thị (t-x)

Trường hợp đặc biệt

α = ∞ ↔t(M3)

=tf W3 biến thành W1 Khi(λ,α,tf) = const

− tn( M4)

-λ2t2n(M4)

t2 = const↔W4biến thành W1

(λ1, λ2

)=const↔gó c γ=const

− tn(M5)

) M ( t

W5 di động vớitốc độ hoá rắnbằng

độ Tc –

λTn(M6) =

εδ0[T2(M6

)-Tc2]

εδ0[T4(M7) - T4k ]

Quy ra trao đổi nhiệt phức hợp-λTn(M7)=αph

[t(M7)- Tk]

Mô tẳ toân học cho mỗi loại điều kiện biín lă phương trình cđn bằng câc dòng nhiệt

ra văo điểm M bất kỳ trín biín Phương trình mô tả câc điều kiện biín loại 2, 3, 4, 5

lă câc phương trình vi phđn tuyến tính cấp 1 đối với t vă tn Phương trình mô tả điều kiện biín loại 6 vă 7 lă những phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết

2.3.3 Mô hình băi toân dẫn nhiệt

Ở dạng tổng quât, băi toân dẫn nhiệt có thể

được mô tả bởi hệ phương trình vi phđn (t) gồm

phương trình vi phđn dẫn nhiệt vă câc phương trình

mô tả câc điều kiện đơn trị như đê níu tại mục 2.3.,

+

−α

4 k 7

4 0 k 7 7

n

6 6 6

4 0 6

n

5 5

5 c 5 n n 5

n

4 4 4

2 2 4

n

3 3 f

3 3

n

2 2 2

2

n

1 1 1

v 2

WM],T)M(T[]t)M(t[)

M

(

t

WM),M(T)

M

(

t

WM,d

dxr)M(t)

M

(

t

WM),M(t)

M

(

t

WM],t)M(t[)

M

(

t

WM),,M(q)

M

(

t

WM),,

M

(

t

VM,

qt

xác

Miền

Giải băi toân dẫn nhiệt lă tìm hăm phđn bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mên mọi phương trình của hệ (t) nói trín Việc năy gồm có 2 bước chính lă tích phđn phương trình vi phđn dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quât, sau đó xâc định câc hằng

số theo câc phương trình mô tả câc điều kiện đơn trị

Hình 4 Mô hình tổng quât băi toân dẫn nhiệt t(x,y,z,τ)

2.4 DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG

Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại sau đây

2.4.1 Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3

2.4.1.1 Phát biểu bài toán

Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn,

làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt

λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất

lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số

toả nhiệt vào ra vách là α1, α2

Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách

= δ λ

=

) 3 ( ] t ) ( t [ ) ( t

) 2 ( ) 0 ( t )]

0 ( t t [

) 1 ( 0

dx

t d

2 f 2

x

x 1

f 1 2 2

x(

=

α

λ+δ+αλ

=λ

]K[,Ct

C

]m/K[,)tt(C]

tCC[C

C]

Ct[

1 2 1 f 2

2 1

2 f 1 f 1

2 f 2 1 2 1

1 2

1 f 1

Hình 6 Trường t(x) trong vách

phẳng có 2W3

Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 - t t ( x )

1 2

1

2 f 1 f

α

λ + α

λ + δ + α λ

−

Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách

Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ + λ/α2, tf2) như hình H

2.4.1.3 Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có

q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay

2 1

2 f 1 f 1 1

t t q

α

+ λ

δ + α

−

Nếu gọi

2 1

11

R

α

+λ

δ+α

= , [m2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có

VV

Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau:

−

=

α

λ+δ

2

2 f 1 W

2

2 f 1 W

1

1

ttq

ttW1tt(x)

=

2 f 1 W

2

q

xttW1tt(x)

2.4.3 Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ

Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng

dt ) t ( t t

2 1

1

t t b a dt ) bt a ( t t

1

3

t t t t c 2

t t b a dt ) ct bt a ( t t

2 2 1

2 1 2 1 2

t

1 t

2

1 2

+ + +

+ +

= +

α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi Tìm dòng nhiệt q qua vách, nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân

bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp

2 f n 1

i

λδ

− +

Hình 7 Vách phẳng n lớp

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti,

δ+α

δ+

=α+

,1i1

ttq

0)1n(i,qt

t

qt

t

i 1 i i i i

i

i 1 i i 2 2 f n

λ = const vào các công thức trên

2.5 DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU

2.5.1 Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3

2.5.1.1 Phát biểu bài toán

Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng,

bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt

r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2

tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 Tìm

phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng

= λ

= +

) 3 ( ] t ) r t [ ) r t

) 2 ( ) r t )]

r t t [

) 1 ( 0

dr

dt r

1 dr

t d

)

t

(

2 f 2 2 2 r

1 r 1

1 f 1

2 2

rdr

)ur(drdr

dt r

C u2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3):

λ+

=

α

λ++αλ

=λ

]K[),rlnr(CtC

]K[,rr

rlnr

)tt(C

]tCrlnC[r

C

r

C]

CrlnCt

[

1 1 1 1 1 f 2

2 2 1

2

1 1

2 f 1 f 1

2 f 2 2 1 2 2

1

1

1 2

1 1 1

λ + +

α λ

−

−

=

1 1 1 2 2 1

2

1 1

2 f 1 f 1

f

r r

r ln r r

r ln r

t t t

q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ

2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu ql , định nghĩa là:

ql = lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l, [W/m]

r , const C

2 r 2 r

C r

2 ).

r q

l l l

2 2 1

2

1 1

2 f 1 f

r2

1r

rln2

1r

2

1

ttq

απ

+πλ

+απ

dln2

1d

1R

2 2 1

+πλ

−

=

α

λ+

−

−

=

2 2 1

2

2 f 1 w

1 2 2 1 2

2 f 1 w 1

w

r2

1r

rln21

ttq

r

rlnrr

rln

ttt

)(t

2 f 1 w

1

1 2

2 W 1 w 1 w

r

rln21

ttq

r

rlnr

rln

ttt)(t

l

2.5.3 Vách trụ n lớp

2.5.3.1 Phát biểu bài toán

Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi

không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng

có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có

tf2, α2 không đổi

Tìm lượng nhiệt ql, nhiệt độ ti tại các

mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i,∀i=1÷n

i

1 i

r

rln21

t

πλ

−+ +

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn ql và (n+1) ẩn ti

Bằng cách khử các ti để tính ql, sau đó tìm ti theo ql và xác định ti(r) như vách có 2W1, sẽ thu được:

−

=απ

−

=

απ

+πλ

+απ

−

=

+ +

rlnr

rln

ttt)(t

n1i,r

rln2

qt

t

;r2

qt

t

r2

1r

rln2

1r

21

ttq

i

i

1 i

1 i i i i

1 i

i

i 1

i i 1 1 1

f 0

2 n

n

1

1 i

i 1

1

2 f 1 f

l l

l

2.5.4 Dẫn nhiệt qua vách cầu

2.5.4.1 Phát biểu bài toán

Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định

bởi hệ phương trình (t) sau:

Hình 10 Phân bố t(r) trong vách cầu

= λ

= +

) 3 ( )]

t r t [ t

) 2 ( ) r t )]

r t t [

) 1 ( 0

dr

dt r

2 dr

t d

)

t

(

2 f 2 r

1 r 1

1 f 1

2 2

2

2 ) (r

du0r

u2

−α

=λ

]K[r

1rCtC

]Km[r

1r

1r

1r

1

ttC

tCr

Cr

C

r

CC

r

Ct

1

2 1 1 1 1 f 2

2 1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f 1

2 f 2 1

1 2 2

2

1

2 1

1 2

1

1 1 f 1

λ+α

2 1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f 1

f

r

1r

1r1

r

1r

1r

r1

ttt

λ

− f11 1

1 r , t R

và ⎜⎜⎝⎛ +αλ f 2⎟⎟⎠⎞

2 2

1r

14

1r

1r

14

1

ttQ

2 1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f

141

ttQ

=

÷

=

∀ +

πλ

−

= π

− α

=

+

+ , ( i 1 n ) ( t t ) 4 r

1 r 1

4 ) t t ( r 4 ) t t (

1 i i

i 1 i i 2 0 0 f 1 f

sẽ tìm được:

]w[,r

1r

14

1r

1r

14

1

ttQ

n

1

2 2 2

2 1 1

2 f 1 f

−

=

Nhiệt độ các mặt ti và trường ti(r) trong các lớp được xác định như trên

2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI

Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh, làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều

2.6.1 Phát biểu bài toán

Chô một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết

diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh

tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa

nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là

phân bố đều, tại gốc là t0 > tf , mặt x = l tỏa

nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số

tỏa nhiệt α2

Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh

và lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh

2.6.2 Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

2.6.2.1 Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W3 tức không có điểm trong, nên phương trình 2

ta

tτ = ∇ cần được thay bằng phương trình cân bằng nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng:

Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx

Nếu gọi θ(x) t(x) t= − thì phương trình trên có dạng: f

Udxf

dx

ddx

df

1)Các hằng số C1, C2 sẽ được tìm theo các điều kiện biên W1 tại x=0 và W3

[ ]

0

ch m(l x)(x)

f

Ux1ch

2) tính nhiệt lượng dẫn qua gốc cánh

Nhiệt lượng qua gốc cánh chính là nhiệt lượng tỏa ra cánh, và bằng

)ml(thm1

m)ml(

thfmf0Q

2

2

0 x

0

λ

α+

λ

α+θ

λ

=λθ

−

=

Nếu f<<ul và coi α2 = 0 thì Q0 = mλfθ0th(ml)

Khi thanh dài vô hạn thì C1,C2 tìm theo điều kiện

θ

=+

0 2 1

C

0C0

ttCxlim

CC0

hay Q0 =θ0 α.u.f.λ =(t0 −t ).f α.u.f , Wλ [ ]

Trong thực tế khi thanh trụ có u.l 100

f ≥ thì có thể coi là thanh dài vô hạn

2.7 DẪN NHIỆT TRONG VẬT CÓ NGUỒN NHIẸT PHÂN BỐ ĐỀU

Vật có nguồn nhiệt với công suất qv = const, ⎡⎣W/m3⎤⎦ , được gọi là vật có nguồn nhiệt phân bố đều Một thanh kim loại đang dẫn điện, một khối bê tông đang đông kết, một vật đang có phản ứng sinh nhiệt ổn định, là các ví dụ về vật có nguồn nhiệt phân bố đều

2.7.1.1.Phát biểu bài toán

Cho tấm phẳng dày sδ, rộng vô hạn, có λ và

nguồn nhiệt trong qv= const, hai mặt ngoài tiếp xúc

cùng một chất lỏng có tf, α không đổi

Tìm phân bố nhiệt độ t(x) và tính nhiệt tỏa ra

môi trường

Mô tả hình học như Hình 12, trường t(x) trong

tấm đối xứng qua mặt x=0,tại đo tx(0) = 0 Do đó theo

toán học, cần tìm hàm t(x) như nghiệm cảu hệ phương

trình (t) như sau:

2.7.1.2.Tìm luật phân bố nhiệt độ và truyền nhiệt qua tấm

1) tích phân phương trình (1)sẽ được

f 2

1

2 1 2 v 1

v

1 x

2

qq

tC

0Ctf

CC2

qC

q

0C0

λ+δα+ có dạng đường parabol đối xứng qua x=0 như hình 12

2)Nhiệt lượng Q2F tỏa ra từ 2 phía của tấm phẳng rộng F, ⎡⎣m2⎤⎦ là

=δλ

−

=λ+

00t

ttt

0

qdx

td

t

x

f x

v 2

Lượng nhiệt 2.F.q δ =Vqv v chính là tổng công suất phát nhiệt của tấm phẳng

có thể tích V=2.δ.F,⎡⎣m3⎤⎦

2.7.2.1.Phát biểu bài toán

Cho thanh trụ dài vô cùng bán kính r0 có λ, qv

=const, mặt trụ tỏa nhiệt ra chất lỏng có tf và α không đổi

Tìm t(r) trong thanh và ql qua 1 m trụ

Do đối xứng qua tâm, tr(0) = 0, nên hệ phương trình cho t(r) có dạng

q r q rt

=λ

−

=λ++

00t

trtr

t

0

qrdr

dtdr

td

t

r

f 0

x

v 2

W,2

rqt)rtLượng nhiệt tỏa ra 1 m trụ là

ql = q.2Πr0= Π 2

0

r qv ⎢⎣⎡m⎥⎦⎤

W