Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán sinh viên Phần Giải tích

Trường Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Kinh tế Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn sinh viên Phần Giải tích TS Lê Phương (chủ biên) ThS Bùi Thị Thiện Mỹ Tài liệu tham khảo - Lưu hành nội Lời nói đâu Olympic Tốn sinh viên thi học thuật thường niên phối hợp tổ chức Hội toán học Việt Nam Bộ Giáo dục đào tạo dành cho sinh viên trường đại học cao đẳng nước Ke từ lần đầu tổ chức vào nam 1993, thi trải qua chặng đường 25 nam Cuộc thi góp phần quan trọng việc thúc đẩy phong trào dạy học toán trường đại học, cao đẳng nước với tỉ lệ không nhỏ sinh viên đạt giải đến từ trường khơng có chun ngành tốn Đã có nhiều sách giáo trình biên soạn nhằm phục vụ cho thi Có thể kể đến “Tốn Olympic cho sinh viên” Trần Lưu Cường [2, 3], “Những tốn giải tích chọn lọc” Tơ Van Ban [4], “Bài tập giải tích” Kaczkor - Nowak [5, 6], với kỷ yếu thức từ Ban tổ chức thi [8] Tuy nhiên nhìn chung tài liệu phù hợp với đối tượng sinh viên học ngành toán kinh qua thi học sinh giỏi phổ thông Khi đọc lời giải tốn tài liệu trên, phần đơng sinh viên khơng hiểu tác giả lại tìm lời giải Do khó để sinh viên tự đọc tài liệu mà khơng có phân tích, giảng giải từ phía giảng viên có kinh nghiệm Tài liệu tham khảo đúc kết từ kinh nghiệm thực tế tác giả với tư cách người tham gia dự thi tham gia huấn luyện đội tuyen Olympic Toán trường Đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh Tài liệu đời với hi vọng giúp sinh viên tự học, tự ơn luyện để nắm bắt phương pháp giải tốn giải tích Thơng qua ví dụ cụ thể, sinh viên tiếp cận với dạng toán thường xuất thi Với toán, không cung cấp lời giải chi tiết mà cịn phân tích ý tưởng cách thức suy nghĩ đe tìm lời giải cách tự nhiên Từ giúp sinh viên rèn luyện phương pháp suy nghĩ logic tư sáng tạo vốn cần thiết cho sinh viên không phạm vi thi mà học tập cơng việc tương lai TP Hồ Chí Minh, tháng nam 2019 Các tác giả Mục lục • • Chương Kiến thức sở 1.1 Giải b ài toán Olympic n Phân tích tốn 10 Giải tốn thơng qua suy luận logic, ta biến đổi giả thiết ban đầu thành kết luận tốn Do đó, đinh hướng giải tốn biến đổi tốn P ban đầu thành toán đơn giản P1, P , , P để từ thu kết luận 11 toán P n Bài toán P Bài toán P1 Bài toán P n Kết luận 12 Các tốn trung gian, ví dụ tốn (P1), có dạng: Tưìng đưìng với tốn P ban đầu (P1 , P): tốn P giải tốn P1 giải Ta tự tin tập trung vào việc giải toán P1 đìn giản hìn tốn ban đầu Bài tốn ban đầu hệ toán P1 (P1 ) P): trường hợp ta cần dự phòng tình tốn P1 sai (khơng thể giải được), ta phải tìm cách tiếp cận khác 13 Trong trình tìm lời giải tốn, ta vận dụng linh hoạt phưìng pháp suy luận cì sau: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta giả sử P sai từ suy điều vơ lí Phương pháp qui nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n, ta chứng minh rằng: P(0) P(n) P (n + 1) Phương pháp chia trường hợp: Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta có the viết mệnh đề P thành tích mệnh đề đơn giản hơn: P = PiP ■ ■ ■ P chứng minh tất mệnh đề P1, P , , P 2 n n 14 Mục tiêu tài liệu tham khảo hướng dẫn sinh viên cách suy luận để tìm lời giải tốn giải tích thường xuất thi Olympic Tốn sinh viên 15 Trình bày lời giải 16 Q trình phân tích tốn để tìm lời giải thường khơng phải q trình suy luận logic chặt chẽ, mà dựa nhiều kinh nghiệm trực giác Do ta khơng ghi ta phân tích vào lời giải mà ta ghi suy luận chặt chẽ mặt logic mà Ta viết lời giải ta khơng cần viết lí ta lại tìm lời giải Ví dụ: để giải tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số truy hồi, ta tính toán thử số phần tử dãy để dự đốn cơng thức tổng qt, sau cố gắng chứng minh dự đốn qui nạp tốn học Bước tính tốn thực nghiệm để dự đốn cơng thức tổng qt bước phân tích tiến hành ngồi nháp, khơng đưa vào giải Trong giải ta cần ghi “Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh cơng thức ” sau ghi phần chứng minh mà khơng cần lí giải cách ta tìm cơng thức Một lời giải tốt cần đọng, súc tích đầy đủ bước suy luận Để lời giải đỡ nặng nề dễ đọc, ta không nên lạm dụng kí hiệu V, 3, , mà nên sử dụng mệnh đề logic thay “với mọi”, “tồn tại”, “khi khi” 1.2 Hằng đẳng thức 17 Cho số thực a, b số tự nhiên n, ta có đẳng thức sau: Khai triển nhi thức Newton: 18 (a + b)n = k=0 X ck a b ~ k n k Chương 11.3 Bất đẳng thức 1.3 Bất đẳng thứcChương Hiệu lũy thừa bậc: 19 an - bn = (a - b) n^ a b ~ ~ k n k ìk= Tổng lũy thừa bậc n số tự nhiên đầu tiên: (a) P k = 21 20 k=1 22 Pk 23 (c) P k (b) k=1 k=1 n(n+1)(2n+1) 24 25 n(n+1) Lê Phương, Bùi Thi Thiện LêMỹ Phương, - Hướng Bùidẫn Thiơn Thiện thi Olympic Mỹ - Hướng Tốndẫn ơn thi Olympic Toán Chương 1.3 Bất đẳng thức 26 1.3 Bất đẳng thức 27 Dưới bất đẳng thức sử dụng thi 28 Định nghĩa 1.1 Hàm số f : D ! R gọi lồi D với x,y D với a (0; 1) ta có 29 f (ax + (1 - a)y) < af (x) + (1 - a)f (y) 30 31 Nếu dấu xảy x = y thỉ f gọi lồi chặt (a, b) Hàm số f gọi lõm (chặt) D —f lồi (chặt) khoảng 32 Định lí 1.1 Cho f hàm số khả vi hai lần (a,b) thỉ f lồi (chặt) (a,b) f"(x) > (tương ứng f"(x) > 0) với x (a,b) 33 Định lí 1.2 Nếu f : [a,b] ! R hàm lồi thỉ liên tục (a,b) 34 35 Định lí 1.3 (Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm số lồi f, số thực a , a ; ; n a số thực dương x ; x ; ; X thỏa mãn 52 x = Ta có bất đẳng k=1 n n k 36 thức 37 ! (n 38 n y.Xk ak 39 I < X f (a ) k k=1 k k=1 40 Nếu f lồi chặt thỉ dấu xảy a = a = ■ ■ ■ = a 41 Ắp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f (x) = — In x, ta có: 42 n Định lí 1.4 (Bất đẳng thức trung bình tổng quát) Cho số thực dương n a ,a , ,a số thực dương A , A ; ; An thỏa mãn ^2 A = Ta có k=1 43 n 2 k 44 bất đẳng thức 45 46 47 X nn n a k k k> k k=1 k=1 A a 48 Dấu xảy a = a = ■ ■ ■ = a 49 Đặt biệt A = A = ■ ■ ■ = An = n n = ta có bất đẳng thức quen thuộc 1 n Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn Chương 11.3 Bất đẳng thức 1.3 Bất đẳng thứcChương sau: 50 Định lí 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM) Trung bình cộng số thực không âm a ; ■ ■ ■ ,a khơng bé trung bình nhãn số đó, nghĩa n 51 52 53 Dấu xảy a = a = ■ ■ ■ = a 54 Bất đẳng thức AM-GM gọi bất đẳng thức Cauchy 55 Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Young) Cho số thực dương a, b;P q thỏa mãn p + q n = Ta có q 56- -aa-> , bab _ 1- 57 Dấu xảy a = b p q 58 Định lí 1.7 (Bất đẳng thức Holder) Cho số thực không âm a ,a ; ; a , b ;b ; ;b , số thực dương p q thỏa p + q = 1, ta có 59k=1 60 Ẻ ak=1 k kb < (± ap y /p n 2 n ) (± ■ k=1 Dấu xảy số a b tỉ lệ với k k 61 Chứng minh Nếu vế phải bất đẳng thức không a = b = với k = 1; ; n bất đẳng thức trở thành đẳng thức Do ta cần xét trường hợp vế phải k k bất đẳng thức khác không Đặt 62 ( ^k \1/ ; Ck 63 64 65 ( nk P dk p P a kl p k=1 \ 1/q k=1 Ắp dụng bất đẳng thức Young ta có 66 68 XX C d k k < XX f c+' ì=1XX c +1XX d =1+1=1 k 67 k=1 \ p q) p ,P v / k=1 k q pq k=1 69 điều phải chứng minh Từ suy □ 70 Đặc biệt p = q = ta có bất đẳng thức quen thuộc 71 Định lí 1.8 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho số thực a ,a , ; a , bi,b , ,bn, n ta có Lê Phương, 10 Bùi Thi Thiện LêMỹ Phương, - Hướng Bùidẫn Thiơn Thiện thi Olympic Mỹ - Hướng Tốndẫn ơn thi Olympic 10 Tốn 2401 x!0 2402 Câu Phương trình cho tương đương với + 2406 lim f (x) = lim l nxx 2403 , , ,, lnx ln a 2404 2405 = lim x = Do f có bảng biến thiên sau: 2407 2408 x 01 2410 f 2409 2411 2412 + + 2413 - 2417 2414 e +1 2418 e-1 % & 2415 f ( x) 2419 % 2416 2420 2421 Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có tối đa hai nghiệm dương Phương trình có nghiệm dương 2422 f (a) = —a (—1, 0] u {e- } , a (0; 1] u {e} 2423 a 2424 Cũng từ bảng biến thiên ta có lim s(a) = 2425 a!+i 2426 Câu Áp dụng bất đẳng thức cho với x [0; I] y = x + ta có f (x) + f (x + 2) > với x [0; 2] Do 2427 2428 f(x) dx = ỊQ f (x) + f (x + 2)} dx > Ịữ dx = | | Đẳng thức xảy với hàm số f (x) = x — Thật vậy, 2429 2430 I f (x) dx = I x — — dx + I x — — dx Jo Jo J1/2 2431 2432 = í / (1 - x ^ dx + í (x 2 ^ dx = ! Jo \ J J1/2\ ) 2433 Mặt khác f (x) + f ( y) = +y -2 2434 2435 2436 nên f thỏa mãn điều kiện toán = lx y| 6.4 Đề thi chọn đội tuyển năm 2018 2437 Câu Cho số thực a dãy số (u ) xác đinh sau n 2438 u = a, 2439 Un+1 = u2 + 2u ; với n > n n a) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số b) Tìm giá tri a để dãy số có giới hạn hữu hạn tính giới hạn 2440 Câu Cho hàm số f : R ! R thỏa mãn: 2441 2442 f (y + f ơ(X))) + X + y = với X; y R a) Chứng minh f (X) — f (2X) = X với X R b) Tìm tất hàm số liên tục f thỏa mãn điều kiện 2443 2444 Câu Tìm số thực a nhỏ thỏa mãn > X với X > a Câu Cho số thực dương a b Tính tích phân x 2445 b px/a _ pb/x 2446 dX 2447 X 2448 Câu Công ty sữa muốn sản xuất hộp sữa hình trụ có dung tích lít Cho biết giá cm vật liệu để làm đáy gấp k lần giá cm vật liệu để làm bề mặt xung quanh hộp sữa Hỏi công ty nên lựa chọn tỉ lệ chiều cao : đường kính đáy hộp để tiết kiệm vật liệu nhất? 2 2449 Đáp án 2450 Câu 2451 a) Ta có u + = (un + 1) với n > Ắp dụng cơng thức liên tiếp ta có n+1 2452 Un + = (u -1 + 1) = (Un-2 + 1) = (Un-3 + 1) = • • • n 2453 2454 = (U0 + 1) = (a +1) 2n Do u = (a + 1)2 — n n 2n 2455 b) Từ kết câu a) suy ra: — Nếu \a + 1| > lim u = +1 2456 nu — Nếu \a + 1\ = lim un = 2457 nu — Nếu \a + 1\ < lim u = —1 2458 nu n n 2459 Vậy (u ) có giới hạn hữu hạn chỉkhi \a + \ < , — < a < với giới hạn xác đinh n 2460 2461 Câu Cách 2462 a) Chọn y = x — f(f(x)) ta có f(x) + x + x — f(f(x)) = 0, nghĩa -f(x) + f (f (x)) = 2x 2463 Chọn y = — f (x) ta có f (—f (x) + f (f (x))) + x — f (x) = , kết hợp với dòng bên suy f (2x) + x — f (x) = 0, nghĩa f (x) — f (2x) = x 2464 2465 2466 2/ = H ị) = ••• = H 2n 2467 với n N Cho n ! +1 sử dụng tính liên tục f ta g(x) = g(0) với x R Suy f (x) = c — x với c = g(0) Thay hàm số vào phương trình ban đầu ta tìm c = Do f (x) = —x hàm số thỏa mãn toán 2468 Cách 2469 Chọn y = -f(f (x)) ta có f (0)+x-f(f(x)) = Do f(f (x)) = f (0)+x Thay biểu thức vào phương trình cho ta f (y+f (0)+x)+x+y = Chọn y = —f (0) ta f (x) + x — f (0) = 0, nghĩa f (x) = c — x với c = f (0) Thay hàm số vào phương trình ban đầu ta tìm c = Do f (x) = —x hàm số thỏa mãn toán Hiển nhiên hàm số thỏa mãn câu a) 2470 Câu Đặt f (x) = — x , ta cần tìm a nhỏ cho f (x) > với x > a Vì f (3) = nên ta phải có a > Ta chứng minh a = thỏa toán, nghĩa chứng minh f (x) > với x > Thật vậy, 2471 f (x) = In — 3x , 2472 f (x) = (ln 3) — 6x, 2473 f (x) = (ln 3) — 2474 Với x > f (x) > f (3) > Do f tang (3; +1), suy f (x) > f (3) > Do f tang (3; +1), suy f (x) > f (3) > Do f tang (3; +1), suy f (x) > f (3) = 2475 Vậy a = giá tri nhỏ thỏa mãn toán 2476 Câu Gọi I tích phân cần tính Đổi biến x = a ta có x x 00 x 000 x 000 00 000 00 00 2477 2478 Do 2I = 0, suy I = 2479 Câu Gọi r h (cm) bán kính đáy chiều cao hộp sữa Gọi p giá 1cm vật liệu làm bề mặt xung quanh hộp vr // = 1000 => h = 2480 2481 2482 1000 vr Thể tích hộp sữa: Chi phí vật liệu làm nên hộp sữa: 2483 1000 +——— vr 2vp kp.2%r + 2%rh.p = (kr + 2 rh)2^p = 2484 Ta cần tìm giá tri nhỏ f (r) = kr + 1f (0; +1) Ta có f (r) = , r = qõõ, f0(r) < với r < qõõ f0(r) > với r > qõõ 2485 Do f nhỏ r = q , h = 102 = q 00 " " " l '"''' , suy h = k/ k 2486 Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất, công ty nên lựa chọn tỉ lệ chiều cao : đường kính đáy hộp k 2487 Chương Đề thi cấp quốc gia bảng B mơn giải tích 2488 2489 Trong chương này, liệt kê số đề thi gần để bạn đọc tự luyện nắm bắt xu hướng đề Nhìn chung, đề thi nam gần có xu hướng giảm bớt tính kinh viện, tang tính ứng dụng thực tiễn Mỗi đề có tốn liên quan đến ứng dụng mơ hình thực tế 2490 Về đáp án chi tiết, bạn đọc tìm thấy kỷ yếu ban tổ chức thi [8] 2491 143 7.1 Đề thi năm 2016 Chương 7.1 Đề thi năm 2016 2492 Bài Cho dãy số (u ) xác đinh n 2493 U1 = a, Un+1 = Un + (u - 2016) n Tìm tất giá tri thực a để dãy số (u ) hội tụ n Tìm giới hạn dãy số hội tụ 2494 Bài Cho số thực a hàm số f : [0; 1] ! R xác đinh công thức 2495 xa sin x = 0; x 2496 2497 x = Chứng minh khẳng đinh sau: f liên tục a > f khả vi a > f khả vi liên tục a > 2498 Bài Cho số thực a > hàm số f : R ! R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện • (f (ax)) < a x f (x) với số thực x, • f bi chặn khoảng (—1; 1) 2499 2500 Chứng minh f (x) < x2 với số thực x Bài Cho hàm số f : R ! R khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện 2501 lim hh = 2502 |x|!+1 x 2503 Chứng minh phương trình f" (x) = có nghiệm Bài Cho hàm /x /x số f 2504 : (1; 1) ! R xác đinh cơng thức 2505 2506 Hãy tìm tập tất giá tri f dt In t 7.2 Đề thi năm 2017 2507 Bài Cho dãy số (u ) xác đinh n 2508 U1 = 1; Un+1 = u2 - 1 Chứng minh —1 < u < với n > n 161 Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn 7.1 Đề thi năm 2016 Chương Chứng minh dãy số (u ) hội tụ đến — ự3 n 2509 Bài Cho hàm số f : R ! R xác đinh công thức 2510 x < 0; 2511 x > 0; 2512 a > số thực Chứng minh f hàm số liên tục R f khơng khả vi 2513 Bài Tính tích phân 2514 \J + p1 + xdx 2515 Bài Theo nhà điểu cầm học, bay ngang qua mặt nước, chim phải tiêu tốn nhiều nang lượng so với bay ngang qua đất liền, theo nang, chim ln chọn đường bay tốn nang lượng 2516 Một chim cất cánh từ đảo A cách bờ biển km Hãy xem A điểm, bờ biển đường thẳng gọi B hình chiếu vng góc A lên bờ biển Quan sát cho thấy, trước tiên chim bay đến điểm C bờ biển, sau bay đến tổ D Cho biết tổ chim nằm bờ biển cách B 12 km Đặt r = W, W L nang lượng tiêu tốn km bay chim bay mặt nước chim bay dọc bờ biển Hãy xác đinh vi trí C r = A/2 Giả sử BC = km Tính r Vi trí C thay đổi r biến thiên khoảng (1; 1) 2517 Bài Cho số thực a > Chứng minh tồn số thực C > cho với số thực x > ta có 2518 2519 1(1 + x) - - ax| < Cx a minf2 ’"g + Cx a Kết luận cịn khơng < a < 162 Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn 7.1 Đề thi năm 2016 Chương 7.3 Đề thi năm 2018 2520 Bài Cho dãy số (x ) xác đinh n 2521 X1 , 2017 =2019; x“ = 2018xn + I0ĨẾx“ +1 Chứng minh (x ) dãy số tang ngặt không bi chặn n Chứng minh 2522 2523 2524 2525 n!~ \ X2 - - 1) X3 - 1x +1 x n n x n+1 Bài Cho hàm số 2526 x sin x = 0; x 2527 x = Tính f (x) x = 0 Tính f 0(0) Hàm số f có đạo hàm cấp x = hay không? 2528 Bài Cho hàm số f : [0; 1] ! R hàm số liên tục cho 2529 2531 f (x)dx = xf (x)dx Jo 2530 Chứng minh tồn số thực c (0; 1) cho 2532 f (c) = 2018 í f (x)dx Jo 2533 Bài Một quan sát viên CGiả đứng cách đường đua khoảng xuất phát OC = 1vận (và OC chạy ) hai lúc vận đường viên đua Anhanh , BOt theo nhìn từ C đến hướng Otkm Ođộng Góc 0?viên =Ot\(CA;CB) sử B động ln gọi chạy góc gấp lần A 163 Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn Chương 7.3 Đề thi năm 2018 Xác đinh vi trí vận động viên đường đua để góc nhìn từ C đến họ đạt giá tri lớn 2534 vi, với f dương liên tục, cho 2535 2536 B ài Cho f : [0; +1) hàm số khả ( ) = lìm X!+1 f (x)(1 + X + f (x)) f , n = +1- Chứng minh hàm số f bi chặn Hãy tìm ví dụ hàm số g : [0; +1) khả vi bi chặn trên, với g' dương liên tục, g(0) = 0, cho giới hạm 2537 2538 X!+1 g lìm ,7 w \ ,— (x)(1 + X + g(x)) 2539 tồn hữu hạn 2540 Hãy đề tìmbài ví dụ hàm số f thỏa mãn tất điều kiện 7.4 Đề thi năm 2019 2541 Bài Cho (x ) dãy số xác đinh điều kiện n 2542 2545 xi = 2019; 2543 = ln(1 + xn) 2544 + xn 2x 8nn>xn+1 1 Chứng minh (x ) dãy số không âm n |x n+1 n\ x — cjxn —x_| n 8n > 2 Chứng minh tồn số thực c (0; 1) cho 2546 2547 Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán 164 Chứng minh (x ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn n 25482549 Bài Cho hàm số ln(1 + x ) cos x x = 0; x = Tính f'(x) x = Tính f 0(0) Xét tính liên tục hàm số f điểm x = 2550 Bài Một doanh nghiệp sản xuất ơ-tơ có hàm sản xuất 2551 Q = K L; 2552 với K L số đơn vi vốn tư số đơn vi lao động mà doanh nghiệp th được, cịn Q ký hiệu số ơ-tơ sản xuất Cho biết giá thuê đơn vi vốn tư w = 8, giá thuê đơn vi lao động w = chi phí cố đinh C = 100 Nam 2019 doanh nghiệp dự đinh sản xuất 2000 ô-tô Để chi phí sản xuất thấp nhất, doanh nghiệp cần thuê đơn vi vốn tư đơn vi lao động? 2553 Bài Cho f hàm số khả vi liên tục [0; 1] có f (1) = K L Chứng minh 2554 Ị \f(x)|dx — Ị x|f0(x)|dx Tìm ví dụ hàm số f khả vi liên tục [0; 1] có f (1) = 0, cho 2555 Ị \f(x)|dx < Ị x|f (x)|dx 2556 B ài Cho f : [0; +1) ! [0; +1) hàm số liên tục đìn điệu khơng tang Giả sử tồn giới hạn 2557 2558 2559 lim If(x) + í f (t)dt] < +1 x! +1 Ỳ Jo J Chứng minh 2560 lim xf(x) = 2561 x!+1 Tìm ví dụ hàm số f : [0; +1) ! [0; +1) liên tục đìn điệu khơng tang, cho 2562 lim I f (x) + / f (t)dt] < +1 2563 x!+1 V J0 J x!+1 lim xf (x) = 2564 Tài liêu tham khảo [1] Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Toán cao cấp - Giải tích, NXB Giáo Dục, 2007 [2] Trần Lưu Cường (chủ biên), Toán Olympic cho sinh viên - Tập 1, NXB Giáo Dục, 2002 [3] Trần Lưu Cường (chủ biên), Toán Olympic cho sinh viên - Tập 2, NXB Giáo Dục, 2002 [4] Tơ Van Ban, Những tốn giải tích chọn lọc, NXB Quân Đội Nhân Dân Hà Nội, 2005 [5] W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000 [6] W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001 [7] Van Phú Quốc, Bài tập giải tích, lưu hành nội 2565 Ban tổ Ký yếu kì thi Olympic Tốn sinh viên (2013-2018) , chức, https://www.vms.org.vn/ 2*4 2566 Jo yJo Jo 2567 c M2 2568 (cos tf (sin t) + sin tf (cos t)) dt 2569 x 2570 < [ (xf (x) + (1 - x)f (1 - x)) dx < 3■ (2) 8 2571 Jo o 16 ... 2.41 (Đề thi 2014) Cho dãy số (x ) xác đinh x = px + pxn với n n+2 n+1 Lê Phưìng, 48 Bùi Lê Phương, Thi Thiện Bùi Mỹ Thi - Hướng Thi? ??n Mỹ dẫn- ôn Hướng thi Olympic dẫn ôn thi Toán Olympic Toán 48... } u phần tử thứ n dãy Phần tử thứ n dãy số (u ) cho công thức tường minh n n n 95 u n= ỉ (n); Lê Phương, 12 Bùi Thi Thiện LêMỹ Phương, - Hướng Bùidẫn Thi? ?n Thi? ??n thi Olympic Mỹ - Hướng Tốndẫn... M Nếu (u ) không bị n n n 125 126 nu chặn thỉ limsup u = +1 n Lê Phương, 14 Bùi Thi Thiện LêMỹ Phương, - Hướng Bùidẫn Thi? ?n Thi? ??n thi Olympic Mỹ - Hướng Tốndẫn ơn thi Olympic 14 Toán Chương 1.3