Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §1.. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F.. Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F.. 2 Giao của hữu
Trang 1GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3 Độ Đo Và Tích Phân
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
§1 Độ Đo
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1 Không gian đo được
Định nghĩa :
1) Cho tập X 6= ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau :
i X ∈ F và nếu A ∈ F thì Ac ∈ F , trong đó Ac = X \ A
ii Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F
2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được
; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được đối với F hay F − đo được)
Tính chất
Giả sử F là σ−đại số trên X Khi đó ta có :
1) ø ∈ X
Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F
2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F
3) Nếu A ∈ F , B ∈ F thì A \ B ∈ F
2 Độ đo
Định nghĩa :
Cho một không gian đo được (X, F )
1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu :
i µ(ø) = 0
ii µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa
∀{An}n ⊂ F, (An∩ Am = ø, n 6= m) ⇒ µ(
∞
[
n=1
An) =
∞
X
n=1
µ(An)
2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không gian độ đo
Trang 2Tính chất :
Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F ; các tập được xét dưới đây đều giả thiết
là thuộc F
1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) 2) µ(
∞
S
n=1
An) ≤
∞
P
n=1
µ(An)
Do đó, nếu µ(An) = 0 (n ∈ N∗) thì µ(
∞
S
n=1
An) = 0 3) Nếu An⊂ An+1 (n ∈ N∗) thì µ(
∞
S
n=1
An) = lim
n→∞µ(An) 4) Nếu An⊃ An+1 (n ∈ N∗) và µ(A1) < ∞ thì
µ(
∞
T
n=1
An) = lim
n→∞µ(An) Quy ước về các phép toán trong R
Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞ Ta quy ước :
1) −∞ < x < +∞
2) x + a = a, a + a = a
3) x.a = a , nếu x > 0
−a , nếu x < 0 , a.a = +∞, a.(−a) = −∞
4) x
a = 0
Các phép toán a − a, 0.a, a
0,
x
0,
∞
∞ không có nghĩa.
Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng Ví dụ, từ x + a = y + a không suy ra được x = y (nếu a = ±∞)
Định nghĩa
Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :
1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞
2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {An} ⊂ F sao cho
X =
∞
[
n=1
An, µ(An) < ∞ ∀n ∈ N∗
3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất
(A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F
3 Độ đo Lebesgue trên R
Tồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesgue trên R ) thỏa mãn các tính chất sau :
1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, là (L)−đo được Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞) thì µ(I) = b − a
2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0
Trang 33) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở
G sao cho
F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và :
µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A) 5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn
2 PHẦN BÀI TẬP
1 Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y 6= ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa :
A = {B ⊂ Y : ϕ−1(B) ∈ F } γ(B) = µ(ϕ−1(B)) Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên A
Giải
• Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số :
i Ta có Y ∈ A vì ϕ−1(Y ) = X ∈ F
Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh Bc = Y \ B ∈ A Thật vậy, ta có
ϕ−1(Y \B) = ϕ−1(Y )\ϕ−1(B) = X\ϕ−1(B)
ϕ−1(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ−1(B) ∈ F
⇒ ϕ−1(Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A
ii Giả sử Bn ∈ A(n ∈ N∗) và B =
∞
S
n=1
Bn Ta có
ϕ−1(B) =
∞
S
n=1
ϕ−1(Bn)
ϕ−1(Bn) ∈ F (n ∈ N∗)
⇒ ϕ−1(B) ∈ F hay B ∈ A
• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo
Với B ∈ A ta có ϕ−1(B) ∈ F nên số µ[ϕ−1(B)] xác định, không âm Vậy số γ(B) ≥ 0, xác định
i Ta có γ(ø) = µ[ϕ−1(ø)] = µ(ø) = 0
ii Giả sử Bn ∈ A (n ∈ N∗), Bn∩ Bm = ø (n 6= m) và B =
∞
S
n=1
Bn.Ta có
ϕ−1(B) =
∞
S
n=1
ϕ−1(Bn),
ϕ−1(Bn) ∩ ϕ−1(Bm) = ϕ−1(Bn∩ Bm) = ø (n 6= m)
⇒ µ[ϕ−1(B)] =
∞
P
n=1
µ [ϕ−1(Bn)] (do tính σ−cộng của µ)
⇒ γ(B) =
∞
P
n=1
γ(Bn)
Trang 42 Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập An∈ F (n ∈ N∗) Đặt :
B =
∞
S
k=1
∞
T
n=k
An
(Tập các điểm thuộc mọi An từ một lúc nào đó)
C =
∞
T
k=1
∞
S
n=k
An
(Tập các điểm thuộc vô số các An)
Chứng minh
1) µ(B) ≤ lim
n→∞
µ(An)
2) µ(C) ≥ lim
n→∞µ(An) Nếu có thêm điều kiện µ(
∞
S
n=1
An) < ∞
Giải 2) Đặt Ck=
∞
S
n=k
An ta có :
Ck ∈ F (k ∈ N∗), C1 ⊃ C2 ⊃ , µ(C1) < ∞; C =
∞
\
k=1
Ck
Do đó : µ(C) = lim
k→∞µ(Ck) (1) Mặt khác ta có Ck ⊃ Ak
nên
µ(Ck) ≥ µAk ∀k ∈ N∗ và
lim
k→∞µ(Ck) ≥ lim
k→∞µ(Ak) (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm
3 Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ :
µ : F −→ [0, ∞]
thỏa mãn các điều kiện sau :
i µ(ø) = 0
ii Nếu A1, A2 ∈ F, A1∩ A2 = ø thì µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2)
(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)
iii Nếu An ∈ F (n ∈ N∗), A1 ⊃ A2 ⊃ và
∞
T
n=1
An = ø thì lim
n→∞µ(An) = 0 Chứng minh µ là độ đo
Giải
Giả sử Bn ∈ F (n ∈ N∗), Bn∩ Bm = ø (n 6= m) và B =
∞
S
n=1
Bn, ta cần chứng minh
µ(B) =
∞
X
n=1
µ(Bn) (1)
Trang 5Ck =
∞
[
n=k
Bn (k = 1, 2 ),
ta có
Ck ∈ F, C1 ⊃ C2 ⊃ và
B = B1∪ ∪ Bn∪ Cn+1
∞
T
k=1
Ck= ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các Bn)
⇒
µ(B) =
n
P
k=1
µ(Bk) + µ(Cn+1) (2) ( do tính chất ii.) lim
m→∞µ(Cn) = 0 ( do tính chất iii.) Cho n → ∞ trong (2) ta có (1)
4 Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và µ(A) = a > 0 Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số hữu tỷ
Giải
Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {rn}n và đặt An = rn+ A (n ∈ N∗) Ta chỉ cần chứng minh tồn tại n 6= m sao cho An∩ Am 6= ∅ Giả sử trái lại, điều này không đúng Khi đó ta có
µ(
∞
[
n=1
An) =
∞
X
n=1
µ(An) (1) Mặt khác, ta có
µ(An) = µ(A) = a,
∞
[
n=1
An ⊂ [0, 2]
Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý
5 Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0
Giải
Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N∗ta tìm được tập mở Gn ⊃ A sao cho µ(Gn\ A) < 1
n Đặt B =
∞
T
n=1
Gn và C = B \ A
Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được Vì
C ⊂ Gn\ A ∀n = 1, 2, nên ta có :
µ(C) ≤ 1
n ∀n = 1, 2, Vậy µ(C) = 0
Trang 66 Bài 6 : Cho tập L− đo được A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0 Chứng minh:
1) Hàm f (x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1]
2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b
Giải 1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có
f (y) =µ(A ∩ [0, y])
=µ(A ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y])
⇒ f (y) − f (x) = µ(A ∩ (x, y])
⇒ 0 ≤ f (y) − f (x) ≤ y − x
Do đó f liên tục trên [0, 1]
2) Ta có f (0) = 0, f (1) = a và f liên tục nên tồn tại xo ∈ (0, 1) thỏa f (xo) = b hay µ(A ∩ [0, xo]) = b Tập B := A ∩ [0, xo] cần tìm