Đang tải... (xem toàn văn)
Các chuyên đề giải tích luyện thi TN THPT QG Toán học lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các câu hỏi và bài tập được giải chi tiết các dạng bài tập đầy đủ về các dạng bài tập. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo trong việc giảng dạy phần đại số trên lớp hay ôn thi đại học và học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về toán học lớp 12 và ôn thi đại học.
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa : K f K Giả sử khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số xác định gọi : x1,x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • K Đồng biến • với ∀x1,x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) K Nghịch biến với Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : f I Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng • Nếu hàm số f đồng biến khoảng • I f '( x) ≥ với f'( x) ≤ x∈ I f I x∈ I Nếu hàm số nghịch biến khoảng với Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : I f I Giả sử khoảng nửa khoảng đoạn , hàm số liên tục I I có đạo hàm điểm ( tức điểm thuộc đầu mút I ) Khi : f '( x) > • x∈ I f I Nếu • • Nếu f '( x) < f '( x) = với với Nếu Chú ý : với • f f Nếu hàm số đồng biến hàm số x∈ I x∈ I hàm số hàm số đồng biến khoảng f f nghịch biến khoảng không đổi khoảng I f '( x) > a;b liên tục a;b I có đạo hàm ( a;b) khoảng hàm số • f • Nếu hàm số f f '( x) < a;b liên tục có đạo hàm ( a;b) khoảng hàm số a;b nghịch biến Ta mở rộng định lí sau f '(x) ≥ f I ∀x ∈ I Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng Nếu với f '(x) ≤ f '(x) = ∀x ∈ I I f ( với ) số hữu hạn điểm hàm số đồng I biến (hoặc nghịch biến) Chú ý Vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình P(x) Q(x) *Nếu hàm số f hàm đa thức (không kể hàm số hằng) f(x) = (trong P(x) đa thức bậc hai , Q(x) đa thức bậc P(x) không chia hết cho Q(x) hàm số f ⇔ ∀x ∈ K ,f '(x) ≥ (f '(x) ≤ 0) đồng biến (nghịch biến ) K f(x) = *Nếu hàm số f hàm biến , ax + b cx + d với a,b,c,d số thực ad – bc ⇔ ∀x ∈ K ,f '(x) > 0(f '(x) < 0) ≠ hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề Xét tính đơn điệu hàm số Phương pháp B1.Tìm tập xác định hàm số f f '( x0 ) x0 B2 Tính đạo hàm f ’(x) tìm điểm định cho f '( x0 ) = không xác f '(x) B3 Lập bảng xét dấu nghịch biến hàm số ,dựa vào định lí ,nêu kết luận khoảng đồng biến , Ví dụ 1.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y = x3 − 2x2 + x − y = x3 − 6x2 + 9x − 3 Lời giải TXĐ: D=¡ y' = 4x2 − 4x + = ( 2x − 1) Ta có: x= ∀x ∈ ¡ : y' = với lim y = −∞ x→−∞ Giới hạn: Bảng biến thiên: x y' > với lim y = +∞ x≠ x→+∞ −∞ +∞ y' y + + +∞ − 17 −∞ 1 −∞; 2 y Vậy : hàm số đồng biến nửa khoảng ¡ Từ suy hàm số đồng biến TXĐ: 1 ; +∞ ÷ D=¡ y' = 3x2 – 12x + Ta có: x = 1,y ( 1) = y' = ⇔ x = 3,y ( 3) = −3 ∀x ∈ ¡ : lim y = −∞ lim y = +∞ x→−∞ Giới hạn: Bảng biến thiên: ∞ x – ∞ + y’ + x→+∞ + – y + – ∞ ∞ ( −∞;1) y Vậy : hàm số ( 1;3) –3 ( 3; + ∞ ) đồng biến khoảng , nghịch biến khoảng Ví dụ 2.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y = − x4 − x2 + y = − x4 + x3 − 4x + 4 Lời giải TXĐ: D=¡ y' = −x3 − 3x = −x(x2 + 3) ⇒ y' = ⇔ x = Ta có: Bảng xét dấu: x −∞ +∞ y' + (−∞;0) y Vậy, hàm số TXĐ: − đồng biến khoảng (0; +∞) , nghịch biến D=¡ y' = −x3 + 3x2 − ⇒ y' = ⇔ x = −1,x = Ta có: lim y = −∞ lim y = −∞ x→−∞ Giới hạn: Bảng biến thiên x→+∞ x −∞ -1 +∞ y' − y + −∞ −∞ − (−∞; −1) y (−1; +∞) Vậy, hàm số đồng biến khoảng , nghịch biến khoảng Ví dụ 3.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: x− 2x − y= y= x−1 x−1 Lời giải D = ¡ \ { 1} TXĐ: y' = (x − 1)2 > 0,∀x ∈ D Ta có: y' , khơng xác định ( −∞;1) y Vậy, hàm số đồng biến khoảng khoảng xác định ) D = ¡ \ { 1} x=1 ( 1;+∞ ) y ( hay hàm số nghịch biến TXĐ: y' = −1 (x − 1)2 < 0,∀x ∈ D Ta có: y' , y x=1 không xác định ( −∞;1) ( 1;+∞ ) y Vậy, hàm số nghịch biến khoảng ( hay hàm số nghịch biến khoảng xác định ) Ví dụ 4.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y= x2 + 4x + x+1 y= Lời giải D = ¡ \ { −1} 4x2 + 5x + x+ 1 TXĐ: y' = x2 + 2x (x + 1)2 ⇒ y' = ⇔ x = −2,x = Ta có: lim y = −∞ Giới hạn: Bảng biến thiên x lim y = −∞ lim y = +∞ x→−∞ , −∞ lim y = +∞ x→−1− x→+∞ x→−1+ −2 −1 +∞ y' + + − − 0 y +∞ +∞ −∞ −∞ (−∞; −2) y Vậy, hàm số đồng biến khoảng: (−2; −1) (−1;0) khoảng: D = ¡ \ { −1} (0; +∞) , nghịch biến TXĐ: y' = 4x2 + 8x (x + 1)2 ⇒ y' = ⇔ 4x2 + 8x = ⇔ x = 0,x = −2 Ta có: lim y = −∞ lim y = +∞ x→−∞ Giới hạn: Bảng biến thiên: x x→−1− x→+∞ , −∞ lim y = +∞ lim y = −∞ x→−1+ −2 −1 +∞ y' + y + − − −11 +∞ +∞ −∞ −∞ (−∞; −2) y (0; +∞) Vậy, hàm số đồng biến khoảng: , nghịch biến (−2; −1) (−1;0) khoảng: Ví dụ 5.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y = x2 − 2x − y = x2 − 4x + + 2x + Lời giải D=¡ TXĐ: y = (x2 − 2x − 3)2 Ta có: ⇒ y' = 2(x − 1)(x2 − 2x − 3) (x2 − 2x − 3)2 y' = ⇔ x = x = −1,x = , hàm số khơng có đạo hàm ( Bạn đọc xem tác giả giải thích ý ) Bảng xét dấu: x −∞ −1 +∞ − y' || + + (−1;1) y − (3; +∞) || (−∞; −1) Vậy, hàm số đồng biến khoảng , nghịch biến (1;3) Nhận xét: • Bài tốn xét tính đơn điệu hàm số chuyển toán xét dấu biểu y' thức ( ) y = f(x) • Khi tính đạo hàm hàm số có dạng y = f (x) thức TXĐ: Ta có: Khi x Khi x D=¡ ta chuyển trị tuyệt đối vào f(x) = , điểm mà hàm số khơng có đạo hàm x2 − 4x + + 4x + = x2 + x ≤ 1∨ x ≥ y= 2 − x + 4x − + 4x + = − x + 8x 1≤ x ≤ ∈ (−∞;1) U (3; +∞ ) y' = 2x ⇒ y' = ⇔ x = ∈ (−∞;1) U (3; +∞) : y' = −2x + ⇒ y' = ⇔ x = 4∉ (1;3) ∈ (1;3) : f '(1+ ) = − f '(1 ) = Tại x = ,ta có: f '(1+ ) ≠ f '(1− ) Vì f '(3+ ) = ⇒ f '(3) − f '(3 ) = nên f’(1) không tồn Tại x = ,ta có : khơng tồn y (0; +∞) (−∞;0) Vậy, hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng Ví dụ 6.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y= 4x + y= 4x2 − Lời giải D = ¡ \ { −1;1} 12x + y= 12x2 + 2 3x2 − x + x2 − x + TXĐ: y' = −16x2 − 40x − 16 ( 4x − 4) 2 ⇒ y' = ⇔ x = −2 Ta có: x= − ( −2;−1) , y 1 −1; − ÷ Vậy, hàm số đồng biến khoảng − ;1 , −∞ ; − , ( ) ÷ ( 1;+∞ ) khoảng D=¡ TXĐ: y' = nghịch biến −36x2 − 6x + ( 6x + 1) 2 ∀x ∈ ¡ : y' = ⇔ x = − Ta có: Bảng xét dấu: Với x= x − −∞ +∞ y' − + 1 − ; ÷: y' > ⇒ y Trên khoảng 1 −∞; − ÷ 2 Trên khoảng 1 ; +∞ ÷ 3 D=¡ TXĐ: y' = Ta có: − 1 − ; ÷ 3 đồng biến khoảng ; 1 ; +∞ ÷: 3 y' < ⇒ y nghịch biến khoảng −2x2 + 4x (x ) − x+ ∀x ∈ ¡ : y' = ⇔ x = Với x= 1 −∞; − ÷ 2 ( 0;2) : Trên khoảng ( −∞;0) ( 0;2) y' > ⇒ y đồng biến khoảng ; 2; +∞ : ( ) y' < ⇒ y ( −∞;0) ( 2;+∞ ) nghịch biến khoảng Trên khoảng Ví dụ 7.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: y = ( 2x + 1) − x2 y = x + 2x − x2 Lời giải D = 0;2 y = x2 − x − 20 TXĐ: y' = 1+ Ta có: 1− x 2x − x2 2x − x2 + 1− x = 2x − x2 x ≥ x ≥ y' = ⇔ 2x − x2 = x − ⇔ ⇔ ⇔ x = 1+ 2 2 2x − x = (x − 1) 2x − 4x + = 2 0;1+ ÷ ÷ y Vậy, hàm số đồng biến D = −3;3 TXĐ: y' = − x2 − x( 2x + 1) − x2 = ;2÷ 1+ ÷ nghịch biến −4x2 − x + 18 − x2 Ta có: x = −3 x= Hàm số cho khơng có đạo hàm ∀x ∈ ( −3;3) : y' = ⇔ x = − x= Với Bảng biến thiên: x − −3 y' y − + − y Vậy, hàm số giảm khoảng D = (−∞; −4]U [5; +∞) TXĐ: y' = Ta có: 9 −3; − ÷ 4 − ;2÷ ( 2;3) , tăng khoảng 2x − = x = ⇒ y' = ⇔ ⇔ x < −4 ∨ x > x < −4 ∨ x > x2 − x − 20 2x − y' = Nên phương trình vơ nghiệm y (5; +∞) −∞; −4) Vậy, hàm số đồng biến khoảng nghịch biến ( Ví dụ 8.1.1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) hàm số: π π x∈ − ; ÷ x ∈ 0; π y = 2sinx + cos2x y = sin2x − 2cosx − 2x 2 Lời giải với với 0; π Hàm số cho xác định đoạn y' = 2cosx( 1− 2sinx) Ta có: ( 0;π ) y' = Ta cần tìm nghiệm phương trình khoảng cosx = π π 5π y' = ⇔ x ∈ ( 0; π ) : ⇔ x = ,x = ,x = sinx = 6 Bảng biến thiên: x π π 5π π y' + − + − y π 0; ÷ 6 Dựa vào bảng biến thiên suy : hàm số đồng biến khoảng π π 5π ; ÷ ;π ÷ 2 nghịch biến khoảng π 5π ; ÷ 2 , ⇔ (C m ) Hàm số cho có hai cực trị trái dấu (C m ) Phương trình hồnh độ giao điểm cắt Ox ba điểm phân biệt Ox: x − (4m + 3)x + (m + 2)x + 3m = ⇔ (x − 1)[x − 2(2m + 1)x − 3m] = x2 − 2(2m + 1)x − 3m = (∗) ⇔ x=1 ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt khác −7 + 33 −7 − 33 , m< m > 8 ∆ ' = (2m + 1)2 + 3m > 4m2 + 7m + 1> ⇔ m ≠ − ⇔ ⇔ 1− 2(2m + 1) − 3m ≠ −7m − ≠ Yêu cầu toán giá trị cần tìm (C m ) Đồ thị cắt Ox ba điểm phân biệt có điểm có hồnh độ ycd yct < y(0) > ⇔ âm hàm số có hai cực trị đồng thời (1) y' = 3[x2 − 2(m + 1)x + m] ⇒ y' = ⇔ x2 − 2(m + 1)x + m = (∗) Ta có: ⇔ (∗) Hàm số có hai cực trị có hai nghiệm phân biệt 2 ⇔ ∆ ' = (m + 1) − m > ⇔ m + m + > y y' Chia cho ta được: x1 x2 ∀m y = (x − m − 1)y'− 2(m2 + m + 1)x + m2 + (∗) Gọi , hai nghiệm Ta có: y1 = (x1 − m − 1)y'(x1) − 2(m2 + m + 1)x1 + m2 + = −2(m2 + m + 1)x1 + m2 + y2 = −2(m + m + 1)x2 + m2 + Tương tự 2 ⇒ y1.y2 = 4(m + m + 1) x1x2 − 2(m + m + 1)(m2 + 1)(x1 + x2) + (m2 + 1)2 = (m + 1)(m3 − m2 − m − 3) (m + 1)(m3 − m2 − m − 3) < (1) ⇔ m < Nên (2) g(m) = m − m − m − 3, m < Xét hàm số m= − g'(m) = 3m2 − 2m − 1⇒ g(m) = ⇔ m = Có g(m) < ∀m < Lập bảng biến thiên ta thấy m + > ⇒ (2) ⇔ ⇔ −1 < m < m < giá trị cần tìm ( Cm ) Phương trình hồnh độ giao điểm y = −1: đường thẳng x − ( 3m + 2) x + 3m = −1 ⇔ x − ( 3m + 2) x + 3m + = 4 t = x2 , t ≥ 0; Đặt phương trình trở thành : t − ( 3m + 2) t + 3m + = ⇔ t = t = 3m + 0 < 3m + 1< ⇔ − < m < m ≠ 3m + ≠ Yêu cầu toán: giá trị cần tìm Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) Ox x2 = m − x4 − 2mx2 + m2 − = ⇔ x2 = m + Đồ thị (Cm) cắt Ox bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ m − 1> ⇔ ⇔ 1< m < m + 1< Bài 8: (C m ) Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox ba điểm A,B,C suy phương trình x1 < x2 < x3 x + 3x + (4m − 1)x + 2m − = (∗) có ba nghiệm phân biệt A(x1;0), B(x2 ;0), C(x3;0) 2 ⇒ AB = BC ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 ⇔ x1 + x3 = 2x2 (1) 2 x + 3x + (4m − 1)x + 2m − = (x − x1)(x − x2)(x − x3) Măt khác: = x3 − ax2 + bx − c a = x1 + x2 + x3;b = x1x2 + x2x3 + x3x1;c = x1x2x3 Với So sánh hệ số a = −3 ⇔ x1 + x2 + x3 = −3 x2 ta có: 3x2 = −3 ⇒ x2 = −1⇒ (∗) Từ (1) (2) suy (2) có nghiệm x = −1⇒ −1+ − 4m + 1+ 2m − = ⇔ m = 0,m = Điều kiện đủ: m = ⇒ (∗) ⇔ x3 + 3x2 − x − = ⇔ x(x2 − 1) + 3(x2 − 1) = * ⇔ (x2 − 1)(x + 3) = ⇔ x = −3,x = −1,x = m=0 ba nghiệm thỏa (1) nên toán thỏa yêu cầu m = ⇒ (∗) ⇔ x3 + 3x2 + 7x + = ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 5) = * ⇔ x = −1 ⇒ m = loại m=0 Vậy giá trị cần tìm (C m ) Phương trình hồnh độ giao điểm với Ox x − 2mx + 2m + = t2 − 2mt + 2m + = t = x ,t ≥ Đặt (C m ) ta có: (1) ⇔ (1) cắt Ox bốn điểm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt ∆ ' = m2 − 2m − > ⇔ S = 2m > ⇔ m>3 P = 2m + > (∗) t1 = m − ∆ ', t2 = m + ∆ ' Gọi ( ) ( ) ( A − t2 ;0 , B − t1 ;0 , C Khi ) ( t1 ;0 , D ) t2 ;0 t − t = t 1 ⇒ AB = BC = CD ⇔ ⇔ t2 = t1 2 t1 = t2 − t1 m > ⇔ 2 ⇔ t2 = 9t1 ⇔ m + ∆ ' = 9m − ∆ ' ⇔ ∆ ' = 4m 25(m − 2m − 3) = 16m m > 25 + 10 13 ⇔ ⇔ m= 9m − 50m − 75 = giá trị cần tìm Phương trình hồnh độ giao điểm (C) Ox x3 + px2 + pqx + q3 = ⇔ (x + q)(x2 + (p − q)x + q2) = x2 + (p − q)x + q2 = (∗) ⇔ x = −q ∆ = (p − q)2 − 4q2 = p2 − 2pq − 3q2 = (p + q)(p − 3q) Ta có p,q > p > 3q ⇒ ∆ > Do x1x2 = q2 Nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa x1,−q,x2 Do ba nghiệm ( lập thành CSN t − 10mt + 6m + = (1) t = x2 ( Cm ) ) ⇔ cắt trục Ox điểm phân biệt (1) có hai nghiệm dương phân biệt − 21 + 21 ∨ m> m < 25 25 ∆ ' = 25m2 − 6m − > 1 ⇔ P = 6m − > ⇔ m > ⇔ m> 2 S = 10m > m > t1, t2 ( t1 < t2 ) Gọi hai nghiệm dương phương trình (1) bốn nghiệm phương − t2 , − t1 , t1 , t2 trình cho xếp theo thứ tự lớn dần Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng ( ) ( ) ⇔ t2 − t1 = t1 − − t1 = − t1 − − t2 ⇔ t2 − t1 = t1 ⇔ t = t ⇔ t = 9t 2 t2 = 9t1 Áp dụng định lí Vi-et vào phương trình (1) ,kết hợp với điều kiện t = 9t t1 + t2 = 10m t2 = 9t1 t t = 6m + ⇔ 10t = 10m ⇔ t = m ⇔ m = 1,m = − 12 1 t = 9t 9t = 6m + 9m − 6m − = ,ta có hệ m=1 Vậy, giá trị cần tìm Bài 9: ∆ Phương trình hồnh độ giao điểm (C) 2x = x + m ⇔ 4x = (x + 2m)(x − 1) x−1 x ≠ ⇔ x + (2m − 5)x − 2m = (với ) (1) ⇔ (1) ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A,B có hai nghiệm phân biệt khác ∆ = (2m − 5)2 + 8m > 4m2 − 12m + 25 > ⇔ ⇔ 1+ (2m − 5) − 2m ≠ −4 ≠ ∀m ∈ ¡ ⇒ A(x1; x1 + m), B x2; x2 + m ÷ x1,x2 2 Gọi hai nghiệm (1) ⇒ I trung điểm AB có tọa độ: x1 + x2 − 2m xI = xI = 2 ⇔ y = 1(x + x ) + m y = + 2m I I I ∈ d : 2x + y − = ⇔ Nên − 2m + 2m + − 4= ⇔ m = giá trị cần tìm y = kx Đường thẳng d có phương trình: Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x3 − 3x2 + 6x = kx ⇔ x(x2 − 3x + − k) = ⇔ x = x2 − 3x + − k = (∗) ⇔ (∗) Đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt 15 ∆ = 4k − 15 > k > ⇔ ⇔ 6 − k ≠ k ≠ x1,x2 có hai nghiệm phân biệt A(x1;kx1), B(x2;kx2) ⇒ AB2 = (1+ k2)(x1 − x2)2 = (1+ k2)(4k − 15) Khi khác AB = 17 ⇔ (1+ k2)(4k − 15) = 17 ⇔ 4k3 − 15k2 + 4k − 32 = ⇔ k = Nên Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: ⇔ 2x2 − x + = (x + 2m)(x − 1) 2x − x + = x + 2m x−1 x ≠ ⇔ x − 2mx + 1+ 2m = (với ) (1) x1,x2 ⇔ Đồ thị (C) cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt ∆ ' = m2 − 2m − 1> ⇔ m > 1+ ⇔ m < 1− 1− 2m + 1+ 2m ≠ khác (*) (x1 − 1)(x2 − 1) = x1x2 − (x1 + x2) + = > (1) có hai nghiệm phân biệt Khi Suy ra, hai giao điểm nằm nhánh đồ thị (C) Bài 10: Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục Ox: x3 + mx + = ⇔ x2 + = −m x f(x) = x2 + Xét hàm số Bảng biến thiên 2 ⇒ f '(x) = 2x − ⇒ f '(x) = ⇔ x = x x2 x −∞ +∞ − || +∞ − +∞ + +∞ −∞ ⇔ − m < ⇔ m > −3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán Cách 2: Để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm ta có trường hợp sau: a = 1> TH 1: Đồ thị hàm số (1) khơng có cực trị hàm số (1) đồng biến (do ) R ⇔ y' = 3x2 + m ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ y' = ⇔ x2 = − TH 2: Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị dấu m m ⇔ x=± − 3 m< với y1 = + Hai giá trị cực trị là: ⇒ y1.y2 = + 2m m 2m m − y2 = − − 3 3 ; 4m3 > ⇔ −3 < m < 27 m > −3 Vậy giá trị cần tìm Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) (d) x = ⇔ x[x2 − (m − 2)] = ⇔ 3 − x + mx + 1= 2x + ⇔ x − (m − 2)x = (1) x = m − (2) ⇔ (Cm) cắt (d) ba điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ m− 2> 0⇔ m > phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác B(− m − 2; −2 m − + 1) , C( m − 2;2 − m + 1) Khi BC = 4(m − 2) + 16(m − 2) = 20(m − 2) ( OB2 + OC = (m − 2) + 1− m − ) ( + (m − 2) + 1+ m − ) = 2(m − 2) + + 8(m − 2) = 10(m − 2) + ⇔ OB2 + OC = BC Tam giác OBC vuông O ⇔ 10(m − 2) + = 20(m − 2) ⇔ m = 11 (thỏa mãn điều kiện m > 2) Bài 14: Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox x3 − 3mx2 + (3m − 1)x + 6m − = ⇔ (x − 2)[x2 − (3m − 2)x + 3m − 3] = x2 − (3m − 2)x + 3m − = (∗) ⇔ x= ⇔ (*) (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 4− 4+ ; +∞ ÷ m ∈ −∞; ÷∪ ÷ ÷ ⇔ ∆ = 9m2 − 24m + 14 > ⇔ m ≠ 5 − 3m ≠ x12 + x22 + x23 + x1x2x3 = (x1 + x2)2 + = (3m − 2)2 + Khi ⇔ m = 2,m = − (3m − 2) + = 20 ⇔ 9m − 12m − 12 = Nên ta có : Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d: x3 − 2x2 − (3m − 1)x + m + = (1− m)x + m − ⇔ x3 − 2x2 + = 2mx ⇔ 2m = x2 − 2x + = f(x) x (*) y = f(x) Xét hàm số ta có : f '(x) = 2x − − x2 Bảng biến thiên = 2(x − 2)(x2 + x + 2) x2 x ,f '(x) = ⇔ x = −∞ +∞ − f' − + +∞ f +∞ +∞ −∞ 2m > f(1) = ⇔ m > Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với đường thẳng 4 x − (3m + 2)x + 3m = −1 ⇔ x − (3m + 2)x + 3m + = x2 = 3m + ⇔ x2 = 3m + 1> m > − ⇔ ⇔ 3m + 1≠ m ≠ (Cm) cắt Ox bốn điểm phân biệt x12 + x22 + x23 + x42 + x1x2x3x4 = 3m + Khi x12 + x22 + x23 + x24 + x1x2x3x4 = ⇔ m = Nên Bài 15: y = −1 : ∆ Để hai điểm M, N đối xứng qua O trước hết phải qua O 2b − = ⇔ b = ⇒ ∆ : y = ax Suy ∆ Phương trình hồnh độ giao điểm (C) 3x + = ax ⇔ ax2 + (2a − 3)x − = x+ (*) ⇔ ∆ −2 cắt (C) hai điểm phân biệt M, N (*) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác a ≠ ⇔ ∆ = 4a2 − 4a + > ⇔ a ≠ 4 ≠ ⇔ x1 + x2 = ⇔ 2a − = ⇔ a = M, N đối xứng qua O Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng y=x 3x + = x ⇔ x2 − x − = ⇔ x = −1,x = A(−1; −1),B(2;2) x+ Suy y = x+ m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng 3x + = x + m ⇔ x2 + (m − 1)x + 2m − = x+ (1) y = x+ m ⇔ Đường thẳng cắt (C) hai điểm phân biệt C, D (1) có hai nghiệm phân x1,x2 −2 ⇔ (m − 1)(m − 9) > ⇔ m ∈ (−∞;1) ∪ (9; +∞) biệt khác C(x1;x1 + m),D(x2 ;x2 + m) Khi : uuu r uuur ⇔ AB = DC ⇔ x2 − x1 = ABCD hình bình hành ⇔ ∆ = ⇔ ∆ = ⇔ m2 − 10m + = ⇔ m = 0,m = 10 m=0 Do C, D trùng với B, A nên ta loại m = 10 Vậy giá trị cần tìm Bài 16: Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): 2x + = −x + m x+ ⇔ x2 + (4 − m)x + 1− 2m = (∗) ∆ = m2 − 4m + 12 = (m − 2)2 + > (∗) x = −2 Vì có khơng nghiệm (*) nên (C) d cắt hai điểm phân biệt A,B Gọi x 1, x2 hai (∗) nghiệm A(x1; − x1 + m), B(x2; − x2 + m) Khi : ⇒ AB2 = 2(x1 − x2)2 = 2(x1 + x2)2 − 8x1x2 ⇒ AB = 2[(m − 2)2 + 8] ≥ 16 ⇒ AB ≥ Áp dụng định lí Viét m=2 minAB = Vậy AB ngắn Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox x3 − (2m + 3)x2 + (2m2 − m + 9)x − 2m2 + 3m − = x = ⇔ ⇔ (x − 1)[x2 − 2(m + 1)x + 2m2 − 3m + 7] = x2 − 2(m + 1)x + 2m2 − 3m + = (1) (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt có hai điểm có hồnh độ lớn ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 2 ⇔ ∆ ' = (m + 1) − 2m + 3m − > ⇔ −m + 5m − > ⇔ < m < (a) (1) 1< x1 x − > x1 + x2 > x + x > ⇔ ⇔ ⇔ 1< x2 x2 − 1> (x1 − 1)(x2 − 1) > x1x2 − (x1 + x2) + > 2(m + 1) > m > ⇔ ⇔ ⇔ m > (b) 2 2m − 3m + − 2(m + 1) + > 2m − 5m + > Từ (a) (b) ta có: ⇔ 2< m < Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 2 2 BC = (x1 − x2) = (x1 + x2) − 4x1x2 = 4(m + 1) − 4(2m − 3m + 7) 5 = −4m + 20m − 24 = 1− 4 m − ÷ ≤ 1⇒ BC ≤ 1⇒ BC = ⇔ m = ∈ (2;3) 2 m= Vậy giá trị tham số cần tìm Bài 17: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x2 + 4x + = kx + x+ ⇔ x2 + 4x + = (x + 2)(kx + 1) x ≠ −2 ⇔ (k − 1)x + (2k − 3)x − = (với ) (1) ⇔ −2 Đồ thị (C) cắt d hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác k − 1≠ ⇔ ∆ = 4k2 − 8k + > ⇔ k ≠ 1 ≠ x1,x2 ⇒ A(x1;kx1 + 1), B(x2;kx2 + 1) Gọi hai nghiệm (1) 2k − x1 + x2 xI = 2(k − 1) xI = ⇒ ⇒ k(x + x ) k(2k − 3) y = +1 + yI = I 2(k − 1) xI = 2x − 2k − ⇒k= I , x ≠1 2k − 2xI − I Với: yI = ,suy ra: y= Vậy quỹ tích trung điểm đường cong A(x0 ;y0 ) (C m ) Xét ⇒ y0 = 2xI2 − 3xI 2x2 − xI − + 1= I 2xI − 2xI − 2x2 − x − 2x − điểm cố định mx0 + x0 + m ⇔ m(x0 − y0) + 1− x0y0 = ∀m ∈ ¡ x = y0 ⇔ ⇔ x0 = y0 = ±1 x0y0 − = ⇒ (C m ) A(−1; −1), B(1;1) qua hai điểm cố định (C m ) m ∈ (−1;1) ⇒ A ,B Vì nằm hai nhánh (C m ) (C) ⇒ A ,B Mặt khác hai điểm ln nằm đường trịn nhánh đồ thị ⇒ (C m ) (C) (C) ln cắt đường trịn hai điểm phân biệt cắt bốn điểm phân biệt Bài 18: Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có ba điểm có hồnh độ nhỏ điểm có hồnh độ lớn Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) trục hồnh x4 − (3m − 1)x2 + 2m2 + 2m − 12 = (1) ≥0 Đặt t = x2 , t t − (3m − 1)t + 2m + 2m − 12 = (2) Phương trình (1) trở thành: ⇔ ⇔ (Cm) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Vì phương trình (2) ln có hai nghiệm t1 = m+3 t2 = (2m – 4) ,do m + ≠ 2m − m ≠ m > ⇔ m + > ⇔ m > −3 ⇔ m ≠ 2m − > m > Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt ± m + , ± 2m − Khi nghiệm (1) ⇔ 2< m < − m + < − 2m − < 2m − < m + * Nếu m+3 > 2m – ta có Trong nghiệm có ba nghiệm nhỏ nghiệm lớn ,điều tương 2m − < 2m − < ⇔ ⇔ −1< m < m + > m + > đương với Giao với điều kiện < m < , ta < m < ⇔ m>7 − 2m − < − m + < m + < 2m − * Nếu 2m – > m + ta có Ba nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2m − > 2m − > m > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m + < m < −2 m + < khơng có giá trị m Vậy < m < Tìm m để (Cm) trục Ox có hai điểm chung B,C cho tam giác ABC với A(0;2) ⇔ (Cm) Ox có hai điểm chung Phương trình (1) có hai nghiệm ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu (2) có nghiệm dương ⇔ (m + 3)(2m − 4) < ⇔ −3 < m < * (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ m + = 2m − > ⇔ m = * (2) có nghiệm dương ⇔ −3 < m < ∨ m = Vậy (Cm) Ox có hai điểm chung − m + 3;0) , C( m + 3;0) Với điều kiện – < m < m+3 > 2m – < suy B( Rõ ràng tam giác ABC cân A O trung điểm BC ,do BC ⇔ AO = ⇔ 2= m+ Tam giác ABC tam giác −5 ⇔ = 3(m + 3) ⇔ m = thỏa điều kiện – < m < − 7;0) , C( 7;0) Khi m = B( ,suy BC = BC ≠ Vì AO nên tam giác ABC khơng m = bị loại Vậy m = - 5/3 Bài 20: a) (d) qua A(-1;0) có hệ số góc m suy phương trình (d) : y = m(x +1) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) x3 − 3x2 + = m(x + 1) ⇔ (x + 1)(x2 − 4x + 4) − m(x + 1) = x = −1 ⇔ (x + 1)(x2 − 4x + − m) = ⇔ g(x) = x − 4x + − m = ⇔ (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A,M,N Phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = m > m > ⇔ ⇔ g(−1) ≠ m ≠ khác – b) xM , xN hai nghiệm phương trình g(x) = , I trung điểm MN suy x + xN = (*) xI = M y = m(x + 1) (do I ∈ (d)) I I Từ (*) suy I thuộc đường thẳng (D): x = y ⇔ m= I Giới hạn yI = m(xI+1) = 3m yI > y > m > ⇔ ⇔ I m ≠ yI ≠ yI ≠ 27 Điều kiện : Vậy tập hợp điểm I phần đường thẳng x = ứng với điểm có tung độ I yI > yI ≠ 27 thỏa Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): 2− x x ≠ −1 x ≠ −1 = m(x − 1) + ⇔ ⇔ 2 x+ 2 − x = m(x − 1) + 2x + mx + 3x − m = (*) ⇔ (d) cắt (C) hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác (C) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 < - < x2 m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ∆ = + 4m > ⇔ ⇔ ⇔ m > (x + 1)(x + 1) < x1x2 + x1 + x2 + < −1− + 1< m Tập hợp trung điểm I MN x +x xI = = − 2m I ∈ (d) ⇒ yI = m(xI − 1) + , Ta có : m = − 2x xI = − I ⇔ 2m 3 y = m(x − 1) + y = − (xI − 1) + = + I I I 2xI 2xI Vậy : y= + 2x ⇒I thuộc đường (L) có phương trình : m > 0⇔ − > ⇔ xI < 2xI Giới hạn : y= Vậy tập hợp điểm I phần đường (L): âm ( C1) Phương trình hồnh độ giao điểm 3 x + 2x + = x + x − mx + ⇔ x + mx − = (1) + 2x ứng với điểm có hồnh độ ( C2 ) : ( C1) ( C2 ) cắt ⇔ hai điểm phân biệt A,B Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m + > ⇔ ∀m ∈ ¡ 4x3 + 4x2 + 3x + Chứng minh trung điểm I AB thuộc đồ thị hàm số y = A(x1;x13 + 2x12 + 1) , B(x2;x32 + 2x22 + 1) Khi (1) x1,x2 I trung điểm AB ,suy : hai nghiệm phương trình x1 + x2 xI = 3 x y = + 2x1 + 1+ x2 + 2x2 + I x13 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2(x1 + x2) = 8xI3 + 6xI Lại có : x1 + x2 = 2xI ,x1.x2 = −1 (do x12 + x22 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = ) 4xI2 + yI = 8xI3 + 6xI + 8xI2 + = 4xI3 + 4x2I + 3xI + Suy y = 4x3 + 4x2 + 3x + Vậy I thuộc đồ thị hàm số Viết phương trình đường thẳng AB y = x3 + 2x2 + y = x3 + 2x2 + (2) ⇔ y = x + x − mx + x + mx − = (3) Tọa độ A,B thỏa hệ Từ phương trình (3) ,suy x2 = – mx Thay vào phương trình (*) ta y = x.x2 + 2x2 + 1= x(1− mx) + 2(1− mx) + = −mx2 + x − 2mx + = −m(1− mx) + x − 2mx + = m2x − 2mx + x + − m = (m − 1)2 x + − m y = (m − 1)2 x + − m Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm AB ... 4.3.1 Giải hệ phương trình: Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2 012 Lời giải Trước hết, toán có nhiều cách giải ( 15 cách giải ) Trong khuôn khổ ứng dụng đạo hàm, tác giả giới thiệu đến bạn đọc cách giải. .. Tìm Lời giải D=¡ TXĐ: để hàm số y' = x2 + 2ax + Ta có đồng biến ¡ ∆ ' = a2 − có Cách 1: Hàm số cho đồng biến ¡ ⇔ y' ≥ ∀x ∈ ¡ , nghĩa ta ln có: ∆ ' = a − ≤ ⇔ −2 ≤ a ≤ Cách : Tham khảo cách giải. .. 23÷ ⇒ Hệ cho có nghiệm Cách 2: x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y ⇔ ( x − 1) − 12x + 23 = ( y + 1) − 12y Ta có: ⇔ ( x − 1) ? ?12( x − 1) = ( y + 1) − 12( y + 1) ( 1) 3 2 1 x