Đang tải... (xem toàn văn)
Giúp các em học sinh ôn thi THPT QG có tài liệu, bài tập áp dụng để giải quyết các bài toán về nguyên hàm cơ bản. Trong tài liệu này, tôi đã trình bày chi tiết về lý thuyết, ví dụ và ra các bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm để củng cố. Lưu ý: Tài liệu này chỉ đến phần nội dung tìm nguyên hàm bằng các công thức cơ bản. Các nội dung về đổi biến, từng phần được trình bày ở những tài liệu khác.
Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 NGUYÊN HÀM 1.1 Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F (x) = f (x) với x ∈ K Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f (x) K với số C, hàm số G(x) = F(x)+C nguyên hàm hàm số f (x) K Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm f (x) K có dạng F(x) + C, với C số Nếu F(x) + C, C ∈ R họ tất nguyên hàm f (x) K, ta kí hiệu 1.2 Tính chất ngun hàm Å • Tính chất 1: 1.3 f (x)dx = F(x) + C ã f (x)dx f (x)dx = f (x) + C = f (x) • Tính chất 2: k f (x)dx = k • Tính chất 3: [ f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx, với k số thực khác f (x)dx ± g(x)dx Sự tồn nguyên hàm Định lí Mọi hàm số f (x) liên tục K có nguyên hàm K 1.4 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp 0dx = C a x dx = dx = x + C xα dx = α+1 x (α α+1 ax + C (a > 0, a ln a cos xdx = sin x + C −1) sin xdx = − cos x + C dx = ln |x| + C x dx = tan x + C cos2 x e x dx = e x + C dx = − cot x + C sin2 x Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 1) Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Tìm ngun hàm 2.1 Hàm đa thức Phương pháp: • Sử dụng tính chất nguyên hàm để đưa nguyên hàm – Tính chất 2: – Tính chất 3: k f (x)dx = k f (x)dx, với k f (x) ± g(x) dx = f (x)dx ± g(x)dx • Áp dụng cơng thức ngun hàm: * 0dx = C * dx = x + C * xα dx = α+1 x α+1 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: a) f (x) = x2 + 2x c) f (x) = (x − 1)(x + 2) b) f (x) = x4 − 3x3 + 2x + d) f (x) = (2x − 1)3 Giải Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.2 Giải tích 12 Hàm số mũ Phương pháp • Ta biến đổi hàm số mũ cơng thức luỹ thừa để có dạng a x • Sử dụng cơng thức ngun hàm a x dx = ax +C ln a Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: c) f (x) = e x+2 − 23x+1 a) f (x) = x b) f (x) = + 2x 3x d) f (x) = e x + 42x 2x Giải Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.3 Giải tích 12 Hàm số chứa thức Phương pháp: • Đưa thức hàm số luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: • Áp dụng cơng thức ngun hàm xα dx = Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau √ a) f (x) = 2x2 + x b) f (x) = √4 x− √3 x √n f (x) = f (x) n α+1 x +C α+1 c) f (x) = √3 x √ x−2 d) f (x) = x2 Giải Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.4 Giải tích 12 Hàm số lượng giác Áp dụng cơng thức nguyên hàm: * sin xdx = − cos x + C * dx = − cot x + C sin2 x * cos xdx = sin x + C * dx = tan x + C cos2 x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau a) f (x) = sin x + cos x b) f (x) = sin x x cos 2 c) f (x) = x2 − d) f (x) = √ sin2 x x+ cos2 x Giải Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.5 Giải tích 12 Hàm số phân thức hữu tỉ P(x) dx, với P(x), Q(x) đa thức Ta dùng phép biến đổi để hàm số Q(x) 1 xuất dạng áp dụng công thức nguyên hàm dx = ln |x − m| + C x−m x−m Để tìm nguyên hàm • Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x), ta phân tích đa thức Q(x) thành nhân tử áp dụng phương pháp đồng thức m A B = + (x − a)(x − b) x − a x − b mx + n A B = + (x − a)(x − b) x − a x − b • Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x), ta sử dụng phương pháp chia hai đa thức Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: a) f (x) = 3x + x−5 c) f (x) = x2 − x b) f (x) = x+2 x5 d) f (x) = x2 − x + x−1 Giải Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.6 2.6.1 Giải tích 12 Bài tập áp dụng Bài tập tự luận Câu Tính nguyên hàm sau: a) b) x4 − 2x3 + 3x2 − dx x2 (2x + 3)dx c) (x3 + 1)(x2 − 2)dx e) (2x − 1)2 (1 + 2x)2 dx d) (x − 2)3 (x + 1)dx f) (2x − 1)3 dx Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Câu Tính nguyên hàm sau: a) cos x − 2x Å dx c) Å b) (sin x − cos x) dx d) ã − 3x dx cos2 x e) sin3 x + dx sin2 x ã x + + cos x dx sin x f) tan x + sin2 x cos x dx cos x sin x Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Câu Tính nguyên hàm sau: ã Å √ a) 2x − + x − dx x Å ã √5 x b) − + x − dx x x c) d) Giải tích 12 x3 − 2x2 + dx x2 √ x5 − 4x2 + x dx x6 e) f) √ x − x3 dx √ x2 + x − 3x √ dx x Câu Tính nguyên hàm sau: Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 a) x−2 dx x−1 c) dx x(x − 1) e) x2 − 5x + dx x−3 b) 2x + dx x+3 d) dx x2 − 4x + f) x3 − 4x2 + 2x + dx x2 − 3x + Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 10 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Câu Tính nguyên hàm sau: a) b) √ dx x + 10 √ x(x − 1) − √3 x dx √ dx x+1− x+1 c) √ d) √ dx (x + 1) x − x x + √ Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 11 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.6.2 Giải tích 12 Bài tập trắc nghiệm Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A f (x) + g(x) dx = C f (x) · g(x) dx = f (x)dx + f (x)dx · g(x)dx g(x)dx B g(x) − f (x) dx = D f (x)dx = f (x) + C g(x)dx − f (x)dx Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A C k f (x)dx = k f (x) · g(x) dx = f (x) · D f (x)dx = f (x) ã f (x)dx = f (x) C x2 dx = B f (x)dx, với số thực k Å g(x)dx Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? x3 A x2 dx = 2x + C B x2 dx = + C x3 D x2 dx = 2x Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A cos xdx = sin x + C B sin xdx = cos x + C C 1 dx = − + C x x D 2e x dx = 2(e x + C) C dx = ln |x| + C x B sin xdx = cos x + C D dx = ln |x| + C x Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A 0dx = C B dx = x + C Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? dx = ln x + C A x 1 C + C dx = cos2 x sin x Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? D dx = ln x2 + C x x6 + C A 2e x dx = 2e x + C B x5 dx = C dx = ln x + C x D (− sin x)dx = cos x + C B f (x)dx = x4 − x3 + C D f (x)dx = x3 − x2 + C B f (x)dx = x4 − 2x3 + x2 + C D f (x)dx = x2 (x − 1)3 + C Câu Nguyên hàm hàm số f (x) = A f (x)dx = x2 − + C C f (x)dx = x3 − 2x là: x4 − x2 + C 12 Câu Nguyên hàm hàm số f (x) = x(x − 1)2 là: A f (x)dx = 3x2 − 4x + + C C f (x)dx = x4 2x3 x2 − + + C Câu 10 Nguyên hàm hàm số f (x) = x2 − − A C x3 − x − ln |x| + C x3 f (x)dx = − x − ln x + C f (x)dx = Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh là: x B f (x)dx = 2x + D f (x)dx = + C x2 x3 − ln |x| + C 12 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 √ x2 Câu 11 Nguyên hàm hàm số f (x) = 2x − + x4 + là: √ x4 x3 x5 A f (x)dx = − + + x + C B f (x)dx = x4 x3 x5 C f (x)dx = − + + C D f (x)dx = √ x4 x3 x5 − + + x + C x x x5 √ − + + + C Câu 12 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f (x) = x2 − 2x + ? x x3 x A F(x) = − x2 + ln |x| + 10 B F(x) = − x2 + ln |x| − 10 3 x3 x3 C F(x) = − x + ln |ex| D F(x) = − x2 + ln |x| + x 3 Câu 13 Nguyên hàm =ã (x − 3x)(x + 1) là: Å 3của hàm ãsốÅf (x) x 3x2 x2 A f (x)dx = − + + C B f (x)dx = 3x2 − 4x − + C · 2 x4 2x3 3x2 C f (x)dx = − − + C D f (x)dx = x4 − 2x3 − 3x2 + C Câu 14 Nguyên hàm hàm số f (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 2) là: x4 x3 A f (x)dx = − − 2x2 + 4x + C ãÅ ã Å4 ã Å x x x −x − 2x + 2x + C B f (x)dx = 2 C f (x)dx = x3 − x2 − 4x + C D f (x)dx = x4 − x3 − 4x2 + 4x + C Câu 15 Nguyên hàm (x2 + 2x3 )dx có dạng ax4 + bx3 + C, a, b số hữu tỉ Giá trị biểu thức 4a + 3b bằng: A 11 Câu 16 Nguyên hàm B C 17 D (x + 1)(x2 − 2)dx có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + C, a, b, c, d số hữu tỉ Giá trị biểu thức S = a + b + c bằng: 29 A − B C −1 D − 12 12 12 Câu 17 Nguyên hàm hàm số f (x) = − là: x x A f (x)dx = ln x − ln x + C B f (x)dx = − + C x x 2 C f (x)dx = − + + C D f (x)dx = ln x − ln |x3 | + C x 2x 1 Câu 18 Nguyên hàm hàm số f (x) = − x2 − là: x x4 + x2 + −x4 + x2 + A f (x)dx = − + C B f (x)dx = + C 3x 3x x4 + x2 + x4 + x2 + C f (x)dx = − + C D f (x)dx = + C x x Câu 19 Một nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = 4x3 − 3x2 + 2x − thoả mãn F(1) = là: A F(x) = x4 − x3 + x2 − B F(x) = x4 − x3 + x2 − 2x C F(x) = x4 − x3 + x2 + 10 D F(x) = x4 − x3 + x2 − 2x + 10 Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 13 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Câu 20 Một nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = 2x2 + x3 − thoả mãn F(0) = là: x4 2x3 x4 A F(x) = + − 4x + B F(x) = + x3 − 4x + 4 C F(x) = x4 + x3 − 4x + D F(x) = x4 + x2 − 4x + Câu 21 Nguyên hàm hàm số f (x) = x là: A f (x)dx = x ln + C x+1 + C x+1 Câu 22 Nguyên hàm hàm số f (x) = · x là: · 7x A f (x)dx = + C ln C C f (x)dx = f (x)dx = x ln + C Câu 23 Nguyên hàm hàm số f (x) = 10−x là: 10−x + C A f (x)dx = ln 10 B D + C ln 5x f (x)dx = + C ln f (x)dx = B f (x)dx = · x ln + C D f (x)dx = 7x + C ln 10−x + C ln 10 C f (x)dx = −10−x ln 10 + C D f (x)dx = · 10−x+1 + C −x + Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f (x) = x 22x−1 x+1 4x + 4x B F(x) = − C F(x) = + D F(x) = A F(x) = ln ln ln ln Câu 25 Nguyên hàm hàm số f (x) = e x − x là: 3x A f (x)dx = e x − + C B f (x)dx = e x − x + C ln C f (x)dx = e x + C Câu 26 Nguyên hàm hàm số f (x) = 42x là: 42x A f (x)dx = + C ln 42x + C C f (x)dx = ln 16 Câu 27 Nguyên hàm hàm số f (x) = 32x−1 là: 32x−1 A f (x)dx = + C ln C f (x)dx = · 32x−1 ln + C B f (x)dx = − D f (x)dx = e x − x ln + C B D B D · 42x f (x)dx = + C ln 4x f (x)dx = + C ln 16 · 32x−1 + C ln 32x−1 f (x)dx = + C ln f (x)dx = Câu 28 Nguyên hàm hàm số f (x) = x + x là: A f (x)dx = x ln + x ln + C C f (x)dx = ln ln + x + C 3x 3x 2x + + C ln ln B f (x)dx = D f (x)dx = x + x + C 2x − 7x Câu 29 Nguyên hàm hàm số f (x) = là: x x ln − x ln A f (x)dx = + C x ln 2x 7x B f (x)dx = x − x + C (ln − ln 5) (ln − ln 5) 2x 7x − C f (x)dx = ln x ln + C ln Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 14 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Å ãx Å ãx 7 D f (x)dx = ln − ln + C 5 5 √ Câu 30 Nguyên hàm hàm số f (x) = x + √ là: x √ √ x + C B A f (x)dx = x + ln √ 3√ C f (x)dx = x + x + C D √ Câu 31 Nguyên hàm hàm số f (x) = x là: √3 A f (x)dx = x + C B 3 √3 C f (x)dx = x + C D √ Câu 32 Nguyên hàm hàm số f (x) = x là: 1√ A f (x)dx = x + C B 8 C f (x)dx = x +C D Câu 33 Nguyên hàm hàm số f (x) = √ là: x √ B A f (x)dx = x + C C f (x)dx = + C x Câu 34 Nguyên hàm hàm số f (x) = √4 là: x √4 A f (x)dx = x + C √ C f (x)dx = ln x f (x)dx = − + C cos x √3 x + C 4√ f (x)dx = x + C f (x)dx = x + C 7 f (x)dx = x + C f (x)dx = f (x)dx = ln D f (x)dx = B f (x)dx = D √ Câu 35 Nguyên hàm hàm số f (x) = √ + x là: x √ √3 A f (x)dx = ln x + x + C B √ √3 C f (x) = x + x dx + C D √ Câu 36 Nguyên hàm hàm số f (x) = x − √ + x là: x √ √ 5 x A f (x)dx = x −4 x+ + C B √ √5 x2 x −2 x+ + C D C f (x)dx = Câu 37 Nguyên hàm hàm số f (x) = là: cos2 x A f (x)dx = ln cos2 x + C B C √ 2√ x + x + C 2√ f (x)dx = x − + C x f (x)dx = √ x + C √ + C 2x x 12 √4 + C √4 f (x)dx = x3 + C √ 1√ f (x)dx = x + x + C 2 √3 f (x)dx = + x + C x √ √6 x − ln x + x2 + C √5 x2 f (x)dx = x − + + C x f (x)dx = f (x)dx = tan x + C D f (x)dx = cot x + C B f (x)dx = + sin x + C Câu 38 Nguyên hàm hàm số f (x) = − sin x là: A f (x)dx = 2x − cos x + C Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 15 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng C Giải tích 12 f (x)dx = 2x + cos x + C D f (x)dx = − cos x + C x Câu 39 Nguyên hàm hàm số f (x) = cos2 − sin x là: 2 x B f (x)dx = sin x + cos x + C A f (x)dx = sin + cos x + C C f (x)dx = − sin x − cos x + C D f (x)dx = sin x + cos x − x + C Câu 40 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = − cos x f (0) = −5 Mệnh đề sau đúng? A f (x) = 3x − sin x + B f (x) = 3x − sin x − C f (x) = 3x + sin x + D f (x) = 3x + sin x − π Câu 41 Một nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = 2x − cos x thoả mãn F = là: π2 π2 A F(x) = x2 − sin x + − B F(x) = x2 − sin x − − 4 2 π π C F(x) = x2 + sin x + − D F(x) = x2 − sin x + − 4 thoả mãn F(0) = −2 là: Câu 42 Một nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = 3x2 − cos2 x A F(x) = x3 − tan x + B F(x) = x3 − tan x − C F(x) = x3 + tan x + D F(x) = x3 + tan x − Câu 43 Nguyên hàm hàm số f (x) = A C x2 − + C x x f (x)dx = + + C x f (x)dx = Câu 44 Nguyên hàm hàm số f (x) = f (x)dx = C f (x)dx = x − ln |x + 3| + C Câu 45 Nguyên hàm hàm số f (x) = C B D x−3 là: x+3 + C (x + 3)2 A A x3 − là: x2 B D Å x2 + x x3 − + 2x + C x Å ã3 x +1 f (x)dx = · + C x f (x)dx = + C x f (x)dx = x2 − + C x f (x)dx = x2 + x2 −3 f (x)dx = 22 + C x +3 f (x)dx = − ln |x + 3| + C ã2 là: B D x3 + ln x2 + 2x + C x3 +x f (x)dx = + C x2 f (x)dx = thoả mãn F(2) = Giá trị F(3) bằng: x−1 C D Câu 46 Biết F(x) nguyên hàm hàm số f (x) = B ln + A ln − Câu 47 Cho hàm số f (x) = A f (x)dx = + 2x4 , đó: x2 2x3 − + C x Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh B f (x)dx = 2x3 + ln x2 + C 16 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng C Giải tích 12 2x3 f (x)dx = + + C x Câu 48 Nguyên hàm hàm số f (x) = A f (x)dx = x + + C x−1 x2 C f (x)dx = + ln |x − 1| + C D x2 − x + là: x−1 B D Câu 49 Một nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = A F(x) = ln |x|3 − x C F(x) = ln |x| + ln x2 + Câu 50 Nguyên hàm hàm số f (x) = A x3 5x2 − + 2x f (x)dx = 2 + C x − 2x C f (x)dx = −4 ln |x − 2| + C Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh f (x)dx = 4x − f (x)dx = − f (x)dx = 10 + C x3 + C (x − 1)2 x2 + ln(x − 1) + C 3x + thoả mãn F(1) = là: x2 B F(x) = ln |x|3 − + x D F(x) = ln |x| + ln x2 + x2 − 5x + là: x−2 B f (x)dx = x2 − 3x − ln(x − 2) + C D f (x)dx = x2 − 3x − ln |x − 2| + C 17 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỉ Câu Tính nguyên hàm sau: a) x−4 dx x+1 c) x−1 dx x + 10 b) 2x + 10 dx x−5 d) 4x + dx x−3 Câu Tính nguyên hàm sau: a) b) dx − 4x + c) −4 dx x2 − 6x + d) x2 x2 2x + dx + 2x + −3x + dx x2 + 4x + Câu Tính nguyên hàm sau: a) b) dx +x−2 c) −5 dx x2 − 5x + d) x2 x2 dx − 5x + −1 dx x2 − x − 12 Câu Tính nguyên hàm sau: a) b) x2 x+4 dx +x−6 c) x2 2x − dx − 7x + 12 d) − 4x dx −x−2 x2 x2 −x dx + 2x − 24 Câu Tính nguyên hàm sau: a) x2 − 5x + dx x2 − 2x + c) x2 + 3x − dx x2 − 3x + b) 2x2 + dx x2 + 6x + d) 3x2 − x dx x2 − 5x + Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 18 Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 11 21 31 41 C B D C A 12 22 32 42 D D A B B 13 23 33 43 B C B A C 14 24 34 44 B A C D C Sưu tầm biên soạn: Dương Văn Minh 15 25 35 45 D D A C A 16 26 36 46 D A C A B 17 27 37 47 C C D B A 18 28 38 48 C A B C C 19 29 39 49 C D B D B 10 20 30 40 50 A A B B D 19 ... Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.3 Giải tích 12 Hàm số chứa thức Phương pháp: • Đưa thức hàm số luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: • Áp dụng cơng thức ngun hàm xα dx = Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số... Minh Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng 2.2 Giải tích 12 Hàm số mũ Phương pháp • Ta biến đổi hàm số mũ công thức luỹ thừa để có dạng a x • Sử dụng công thức nguyên hàm a x dx = ax +C ln a Ví dụ Tìm.. .Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Giải tích 12 Tìm ngun hàm 2.1 Hàm đa thức Phương pháp: • Sử dụng tính chất nguyên hàm để đưa nguyên hàm – Tính chất 2: – Tính chất