Bài giảng môn học tín hiệu và hệ thống106

BàI GIảNG MÔN HọC TíN HIệU Và Hệ THốNG Nguyễn DoÃn Phớc Bộ môn ĐKTĐ, Trờng ĐHBK Hà Nội Mục lục 1.1 1.2 Khái niệm tín hiệu hệ thống Định nghĩa tín hiệu phân loại tín hiÖu Định nghĩa hệ thống phân loại hÖ thèng 2.1 2.2 2.3 BiĨu diƠn trªn miền thời gian Đáp ứng thời gian mô hình đáp ứng xung Mô hình trạng thái hệ liªn tơc Mô hình trạng thái hệ không liên tục 10 3.1 3.2 Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 11 Chuỗi Fourier 11 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier (to¸n tư Fourier) 13 4.1 4.2 4.3 Đáp ứng tần số lọc tín hiệu 17 Đặc tính tần số đồ thị hàm đặc tính tần 17 Đáp ứng tần số quan hệ với ®¸p øng thêi gian 18 Läc tÝn hiÖu 20 5.1 5.2 PhÐp biÕn ®ỉi Laplace hàm truyền hệ liên tục 22 Phép biến ®ỉi Laplace (to¸n tư Laplace) 22 Hàm truyền mô tả hệ liên tục tuyến tính tham số 24 6.1 6.2 Phép biến đổi Z hàm truyền hệ không liên tục 25 Phép biến đổi Z 25 Hàm truyền mô tả hệ tuyến tính không liên tục 27 Mét sè ®iỊu l−u ý Bài giảng mơn học “Tín hiệu Hệ thơng” Hà Nội 9.2010 28 1 Khái niệm tín hiệu hệ thống 1.1 Định nghĩa tín hiệu phân loại tín hiệu Định nghĩa: Tín hiệu nhiều hàm thời gian, mang thông tin vật lý đợc truyền tải đại lợng vật lý (khác) Ví dụ: Tiếng nói đại lợng vật lý Tiếng nói đợc biến đổi thành dòng điện đại lợng vật lý khác để truyền hữu tuyến xa Dòng điện đợc mô tả hàm thời gian i ( t ) Nh− vËy hµm thêi gian i ( t ) tín hiệu, mang thông tin tiếng nói đợc truyền tải nhờ dòng điện Phân loại: Cơ sở để phân loại tín hiệu hàm thời gian x ( t ) mô tả Chúng đợc phân loại thành cặp (phạm trù) riêng biệt: 1) liên tục không liên tục (phân loại thông qua miền xác định t R ) Một tín hiệu đợc gọi liên tục, hàm x (t ) mô tả liên tục đoạn, ngợc lại đợc gọi tín hiệu không liên tục Tín hiệu không liên tục đợc mô tả dÃy giá trị {x k }, k = … , − 1,0,1,… , ®ã x k giá trị (trích mẫu) x ( t ) điểm thời gian t = kT a, tức x k = x ( kT a ) 2) t−¬ng tự rời rạc (phân loại thông qua miền giá trị x R ) Tín hiệu tơng tự tín hiệu mà hàm x ( t ) mô tả có miền giá trị tạo thành khoảng liên thông, ngợc lại đợc gọi tín hiệu rời rạc Chẳng hạn tín hiệu có giá trị số hữu tỷ tín hiệu rời rạc 3) tiền định ngẫu nhiên (phân loại theo mô tả hay nhiều hàm), 4) tuần hoàn không tuần hoàn, 5) nhân phi nhân (causal uncausal) Tín hiệu nhân hàm x ( t ) tháa m·n x ( t )=0 t 0 cho x (t ) = x (t )e −σ t ∈ L1 Nh ta lại có ảnh Fourier X ( j ω) cđa tÝn hiƯu causal x (t ) : ∞ ⌢ ∞ ∞ ⌢ X ( j ω ) = ∫ x (t )e − jωt dt = ∫ x (t )e −σ te − jωtdt = ∫ x (t )e − (σ + j ω )tdt = vµ ∞ 0 − st ∫ x( t) e dt = X( s) σt ⌢ x (t ) = e x (t ) = eσ t − TÝnh chÊt: 2π ∞ ⌢ ∞ ⌢ σ + j∞ (σ + jω )t jω t st dω = ∫ X ( jω )e dω = 2π ∫ X ( jω )e ∫ X ( s)e ds π j −∞ −∞ σ − j∞ 1) Phép biến đổi Laplace có đầy đủ tính chất cđa phÐp biÕn ®ỉi Fourier: n n i =1 i =1 a) TuyÕn tÝnh: L { ∑ xi ( t )} = ∑ aiL { xi ( t )} , a i ∈ R b) Néi x¹: x ( t ) ≠y ( t ) ⇒ L { x ( t )} ≠ L { y ( t )} c) ¶ nh cđa tÝch chËp b»ng tÝch cđa hai ¶nh: L { x ( t )* x ( t )}= L {x ( t )} ⋅ L { y ( t )} d) ¶ nh X ( s ) hàm liên tục theo Im( s ), Re( s )> δ (ký hiƯu Re( s ) lµ chØ phần thực Im( s ) phần ảo cña sè phøc s ) 2) Gäi X ( s ) ảnh Laplace x ( t ) Khi ®ã: −s τ a) y ( t )= x ( t )} có ảnh Y ( s )= X ( s ) e b) y ( t )= e 22 − as x ( t )} cã ¶nh lµ Y ( s )= X ( s + a ) N.D.Phước, Bộ môn ĐKTĐ, Trường ĐKBK Hà Nội c) d) e) f) y ( t )= x ( at ) có ảnh s t X ( ) y(t ) = x( ) có ảnh Y ( s )= aX ( as ) a a a dx có ảnh Y ( s )= sX ( s ) − x (+0) dt X (s ) y (t ) = ∫ x (t )dt cã ¶nh lµ Y (s ) = s y( t) = y( t) = x( t ) có ảnh Y (s ) = ∫ X (s ')ds ' t s 3) NÕu X ( s ) cã b¸n kÝnh héi tơ σ =0 th× X ( s) s = j = X( j ) ảnh Fourier x ( t ) 4) NÕu tån t¹i giíi h¹n x (+ 0) = lim x (t ) th× x ( +0) = lim sX (s ) 5) NÕu tồn giới hạn lim x (t ) lim x(t ) = lim sX ( s) t →0 t →∞ s →∞ t→∞ s→ − ø ng dụng: 1) Mô tả hệ tuyến tính tham số 2) Giải phơng trình vi phân thờng phơng trình vi phân đạo hàm riêng 3) Khảo sát đặc tính tần số tín hiệu causal 4) Bảng tra ảnh Laplace mét sè tÝn hiƯu causal th−êng gỈp: x(t) X(s) x(t) δ (t) 1( t ) s +a t e − at T s t − e T − 1− e n +1 tn 1 + Ts s(1 + Ts ) t T n !T 1− ω sin( ω t) s s2 s( s + a) − e −at a tn n! X(s) s2 +ω n +1 − e t T (1 + Ts )n +1 t T '− T − T e T 1+ T' s s(1 + Ts) s cos( ω t) s2 + ω2 − Bài tập: 1) Xác định ảnh Laplace X ( s ) cho c¸c tÝn hiƯu causal sau: a) x ( t )= te −at d) x ( t )= t sint 2) b) x ( t)=2+ t +3 t e) x (t )= t 2sint T×m tÝn hiƯu x (t ) cã ¶nh Laplace X ( s ) sau: 1+ s a) X ( s )= b) X ( s )= +s (1 + s )(2 + s ) Bài giảng mơn học “Tín hiệu Hệ thông” Hà Nội 9.2010 c) x ( t )= δ( t ) e −at f) x ( t )=( t + t )cost c) X ( s )= 1+ s s(2 + s )2 23 5.2 Hàm truyền mô tả hệ liên tục tuyến tính tham số Định nghĩa: Xét hệ SISO liên tục, với tín hiệu vµo u ( t ), tÝn hiƯu y ( t ) Hàm truyền đợc hiểu là: G(s ) = Mô hình: L {y (t )} L {u(t )} = Y ( s) , trạng thái đầu hƯ b»ng U (s ) 1) Víi hƯ tun tính tham số hàm truyền (5.3) mô hình (hình 5.1): { } G( s) : u( t) ֏ y( t) = L−1 {G( s) ⋅ U( s)} = L−1 G( s) ⋅L {u( t) } 2) Hµm gèc g ( t )= L −1 (5.3) u y G( s ) Hình 5.1: Sơ đồ khối { G ( s )} cđa hµm trun G ( s ) hàm trọng lợng (xem lại mục 2.1) Nó mô hình hệ theo nghĩa tích chập (2.11) 3) Đáp ứng h ( t ) hệ với kích thích 1( t ) đầu vào đợc gọi hàm độ Hàm độ mô hình hệ theo nghĩa: h( t) : u(t ) ֏ y( t ) = h(0)u(0) δ ( t) + d t ∫ h( t − τ ) u( τ ) dτ dt (5.4) vµ cã quan hƯ víi hµm trun nh− sau: G( s) G( s) } H (s ) = L { h( t )} = ⇔ h (t ) = L− { s s 4) Từ mô hình vàora hệ tuyến tÝnh tham sè h»ng: a0 y( t) + a1 dy( t) dn y( t) du( t − τ ) dm u( t − τ ) + ⋯ + an = b0u(t − τ ) + b1 + ⋯ + bm n dt dt dt dt m ta cã hµm trun: G(s ) = b0 + b1 s + ⋯ + bms m − sτ e a0 + a1 s + ⋯ + ans n HÖ y ( t )= ku ( t− τ) víi hµm trun G ( s )= ke s đợc gọi hệ trễ (khâu trễ) 5) Từ mô hình trạng thái (2.12), (2.13) hệ liªn tơc tun tÝnh SISO tham sè h»ng, ta cã hµm trun: G ( s ) = C( sI − A )− B + D víi I lµ ma trận đơn vị 6) Từ hàm truyền G ( s ) ta suy đợc hàm đặc tính tần: G ( j ω) = G ( s ) ω s= j Bài tập: 1) HÃy xác định hàm truyền, hàm trọng lợng hàm độ hệ cho hình 1.5 Từ xác định đáp ứng chúng tín hiệu vào u ( t )=2sin( t ) 2) Chøng minh r»ng ë hệ tuyến tính tham số hằng, hàm truyền định nghĩa (5.3) không phụ thuộc tín hiệu vào u ( t ) dh( t) + h(t )δ (t ) = g(t ) từ công thức (5.4) 3) Chøng minh quan hƯ dt 24 N.D.Phước, Bộ mơn ĐKTĐ, Trường ĐKBK Hà Nội PhÐp biÕn ®ỉi Z hàm truyền hệ không liên tục 6.1 Phép biến đổi Z Phép biến đổi Z trờng hợp riêng phép biến đổi Laplace, áp dụng cho tín hiệu causal không liên tục {x k }, k =0,1,2, Sử dụng khái niệm hàm mở rộng (1.1), đặc biệt hàm trích mẫu (1.2), dÃy vô hạn causal là: {x k }= x (t ) = ∞ ∑ xk δ (t − kTa ) (6.1) k= Ta chu kỳ trích mẫu để có dÃy vô hạn {x k }, k =0,1,2, … tõ tÝn hiƯu causal liªn tơc x ( t ) Thay hàm mở rộng (6.1) vào công thức định nghĩa phép biến đổi Laplace (5.1) ta cã cïng víi ký hiƯu z = esTa cịng nh− điều hiển nhiên x k =0, k