Chứng minh rằng tổng tất cả các khoảng cách giữa các cặp điểm cùng màu bé hơn hoặc bằng tổng tất cả các khoảng cách giữa các cặp điểm khác màu... UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠ[r]
Trang 1_UBND TINH LAI CHAU KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 11 CAP TINH
SO GIAO DUC VA DAO TAO NAM HOC 2017-2018
(Đề thi có 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kê thời gian giao đê)
Ngày thi: 22/4/2018
Câu 1 (6,0 điểm)
a.Giải phương trình: sin x(sin x + COS x) =]
b.Tim s6 hang chira x° trong khai triển E +x biết C2 = 7(øn+3)
x
Câu 2 (4,0 diém)
Cho hinh chép S.ABCD cé day ABCD la hinh cht nhat va SA vudng gdéc với mặt phăng (ABCD) Biét AB =a,BC =aV3 va SD=aV5 Duong thang qua
4 vuông góc với 4C cắt các đường thang CB,CD lân lượt tại 7,J Gọi / là hình chiếu vuông góc của 4 trên %C Gọi K,¿ là giao điểm của S8,SÐ với (7)
a.Chứng minh rằng 4K L (SBC)
b.Tính khoảng cách từ điểm B đến (7/7)
Câu 3 (4,0 điểm)
Giải phương trình sau:V5x2 + 14x + 9 — Vx2 — x— 20 = 5x +1
Câu 4 (4,0 điểm)
2nm+l
n
Cho day sỐ (u, ) xac dinh boi uw, > 1 va ue" =u, +1 voi n=1,2,3,
Tính giới hạn lim w, n—>+00
Câu 5 (2,0 diém)
Trên một đường thắng có n diém mau xanh và ø điểm màu đỏ Chứng minh rằng tông tất cả các khoảng cách giữa các cặp điểm cùng màu bé hơn hoặc bang tong tat cả các khoảng cách giữa các cặp điểm khác mau
- Hét -
Trang 1/1
Trang 2SO GIAO DUC VA DAO TAO NAM HOC 2017-2018
DAP AN THANG DIEM
Mon: Toan
A Hướng dẫn chung:
- _ Bài thi chấm theo thang điểm 20; lẫy đến 0,25; không quy tròn điểm
- - HS trình bày theo phương pháp khác mà chính xác cho điểm tuyệt đối
B Hướng dẫn cu the :
Áp dụng theo đáp án biểu điểm cho từng câu
Câu 1.(6 điểm)
Ta có sin x(sin x + cosx) =1< sin’ x+sinxcosx-1=0 0,5
cosx =0
| sin x — COS x =0
x=—+Ýï
x=—+ï
\ n+3)(n+2
n+3)(n+2
Vay
5k
Số hạng chứa xŸ trong khai triển C° = 495 1,0
Trang 3
Câu 2.(4 điểm)
0.5
Trong (SĐC) gọi: K =SBnIH>K =S5Bn (HI))
Taco:
IT LA
4 th ñ ey > IJ 1 (SAC)3 1) 1 SC.MaAH LSC >SCL(yH) | PS
điểm Suyra: AK L 5C
Vậy AK L (SBC)
S4.AC 2a Tacé S4= VSD’ — AD? =aV2; AH = = =;
AC = VAB? + BC? = 2a; HC = VAC? — AH? = 2S
Trong (ABCD) : tan ACB = = = ACB = 30° = ATB = 60° R
aV3
>lB= 3
—=—————=d(@.,(JJH) =cH.—=—— TC” dŒ;0Jm) > “ WH) IC 6 0,5
Tổng điểm 4,0
Câu 3.( 4 điểm)
PT © v5x2 + 14x +9=vx^—-x— 20 +B5vx+1
4 x?—=x—20>0
5x? + 14x4+9= x2 -—x-—204 25x +254 10/ (x2 — x — 20)(x + 1)
Trang 4
S
h >5
S
2(x? — 4x —5) 4+ 3(x +4) = 5/(x + 4)(x2 — 4x — 5) (1) 0,5
Xét PT (1): Đặt u= VxˆT— 4x — 5vàø =vx+4,u,v>0
PT (1) có dạng: 1,0
2u* + 3v* =5uve 2u? + 3u? — 5uu =0 © |2 — 2 lu = 3U
5 + vó1 x=——=—
25 +1521
⁄=—————
KL: PT đã cho có hai nghiệm = s61 vax = — 0,25
Tổng điểm 4,0
Câu 4.(4 điểm)
Y Noi dung Diem
Áp dụng bất đăng thức Côsi, ta có:
u =?"Nụ +] < =
+2n+1
2n+]
cu < 2n+]
" 2n 0,5
2n+]
Vậy 1<u, < nr 0,5
2n 2n+]
va lim =1 0,5
A>tO 2m
Nên theo định lí “kẹp” suy ra lim ø„ =]
ATO
Trang 5
Câu 5 (2 điểm)
Cầu , os Thang
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo ø Gọi X1; X;; ; X„ là các toa dé n
điểm màu đỏ trên trục số
Tương tự, ta gọi y;;y›; ; y„ là các tọa độ điểm của ø điểm màu 0,25 xanh trên trục số ( đường thắng thực)
Dat A, tổng các khoảng cách của những điểm cùng màu „ tổng
các khoảng cách của những điểm khác màu 0,25
Néu n=/ thi A, = 0; B, = |x, — y,| RO rang : By > A, 0,25
Gia su: B,_1 > Ayn_ 1 Ta co:
n
An — Ana = ) [Gn — 1) + On - 0
n
— [Xn — Vi) + Wn - #¡)|
i=1
n
By — By-1 = tn — nl +) Cen — yil + Dn — 2d) 0,5
điểm Suy ra: P„ạ — P„ạ_¡ > Ân — A„_¡ Ta có đpcm 0,25
Tong diém 2,0
Trang 6
FAO
PHIEU CHAM VONG 1
Mon: Toan Ma tii Số phách
Câu 1.(6 diém)
Ta cé sin x(sin x + cosx)=1< sin’ x+sinxcosx-1=0 0,5
c©
a) | sin x —cosx =0
x= 5 + KT
x=—+kn
| 4
n+3)(n+2
2
Số hạng tổng quát C° 9) v2 SUY ra 0,5
—3(12-k Sk
Số hạng chứa +” trong khai triển CỔ = 495 1,0
Câu 2.(4 điểm)
J
0,5
Trong (SĐ%C) gọi: K =SBnIH> K =SBñn (HI])
Trong (SCD) gọi L = SD nJH > K = SDN (HI) 05
Trang 7
Taco:
ITLA i ñ ey = IJ 1 (SAC) 3 IJ 1 SC,MAAH 1 SC > SC 1 (IJH) 0,5
Suy ra: AK L SC
Vay AK 1 (SBC)
AC = VAB? + BC? = 2a; HC = VAC? — AH? = ?S5
Trong (ABCD) : tan ACB = = = ACB = 30° = ATB = 60° 05
av3
>]B = 3
—=————=.d(;(JH) = CH IC— d(C;(IJH)) (B; UH) IC = — 6 0,5
Câu 3.( 4 điểm)
PT€© v5x+14x+9=vxˆ—-x—20+5vx+1
x“—=x—20>0 1,0
©jx+1>0
5x? + 14x +9 =x?—x— 20 + 25x + 25 + 10/(x2— x— 20)(x +1)
S 2x? —5x +2 =5,/ (x + 4)(x2 — 4x — 5) ,
( >5
S 2(x? — 4x —5) +3(x + 4) = 5V (x + 4) (x? — 4x —5) (1) 0,5
Xét PT (1): Dat u= vx2-—4x-S5Svav=vx+4,uve0
2u? + 3? = 5uu © 2u? + 3w? — 5u = 0 © | ae? 2u = 3v
=| x*-4x-5=x+4 05 4(x7 — 4x — 5) = 9(x +4) ’
5 + v61
x=——=—
25#+v1521
⁄x=——————
KL: PT đã cho có hai nghiệm = == vax == — 0,25
Câu 4.(4 điểm)
Ta có wv" =u, +1>u, =2"u, +1
Trang 8
(uw, +1)+14+14+ 4+1
2n+]
„+ 2n+]
2n+]
2n+]
<>i1/<
2n+]
2n 2+]
>+œ 2m
Nên theo định lí “kẹp” suy ra lim ø„ =] 1,0
Cầu 5.(2 diém)
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo ø Gọi X41; X2; .; Xp là cac toa dO n điểm màu
Tương tự, ta gọi ;2; ;Yn là các tọa độ điểm của ø điêm màu xanh trên ,
trục sô ( đường thăng thực)
Đặt A„ tổng các khoảng cách của những điểm cùng màu B„ tổng các khoảng 0.25
Néu n=/ thi A, = 0; B, = |x, — y,| RO rang: B, > A, 0,25
Gia su: B,_, > Aj,_, Taco:
0,5
An = Ana = ) [Gn =) + On =] =) [Gn =) + On — xo)
n
i=1 Suy ra: B, — By_, > Án — Ân_¡ Ta có đpcm 0,25
Tổng điểm toàn bài: điểm
Bằng chữ: -S 222 22E 2 Errersei
Lai Cháu, ngày tháng năm 2018
CAN BO CHAM THI LAN 1
(Ký, ghi rõ họ tên)