Giáo án toán 7 kì 1 phần hình học soạn chuẩn cv 5512 mới nhất

HỆ THỨC GIỮA X1 , X KHÔNG ĐỐI XỨNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Trường hợp Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm nghiệm + Nhẩm nghiệm phương trình hồnh độ x1 = m, x = n nháp + Đưa phương trình hồnh độ phương trình tích dạng a(x − m).(x − n) = + Tìm hai nghiệm phương trình hồnh độ x = m, x = n + Khẳng định phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số + Tìm điều kiện để phương trình hồnh độ có nghiệm phân biệt (Nếu cần) + Xét trường hợp x1 = m, x = n x1 = n, x = m với yêu cầu toán + Giải trường hợp để tìm giá trị tham số + Đối chiếu điều kiện, kết luận Trường hợp Phương trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm nghiệm Bước Tính ∆ = b − 4ac ∆ ' = (b ') − ac Bước Tìm điều kiện để phương trình hồnh độ có nghiệm nghiệm phân biệt Bước Viết hệ thức Vi-et phương trình hồnh độ Bước Kết hợp x1 + x = − x1 + x = − b c x1 x = a a b a mx1 + nx = p ta có hệ phương trình: b   x1 + x = − a   mx1 + nx = p Bước Giải hệ phương trình tìm x1 , x theo tham số m c a , giải tiếp tìm giá trị tham số Bước Thay x1 , x vừa tìm vào Bước Đối chiếu với điều kiện ∆ ∆ ' chọn giá trị thỏa mãn kết luận x1x = II VÍ DỤ Ví dụ Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2(m + 1)x − 4m , m tham số a) Chứng minh ( d ) ( P ) ln có điểm chung với giá trị m b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x1 + 3x = Cho phương trình x − ( m + 1) x + 4m = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1 = −3x Lời giải Hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x − ( m + 1) x + 4m = (1) x − = x = x − ( m + 1) x + 4m = ⇔ (x − 2)(x − 2m) = ⇔  ⇔  x − 2m =  x = 2m Ta có: Phương trình (1) có nghiệm x = 2, x = 2m với m  ( d ) ( P ) ln có điểm chung với giá trị m Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1) ( d ) cắt ( P )  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2m ≠ ⇔ m ≠ Trường hợp 1: Xét x1 = 2, x = 2m thay vào x1 = −3x ta được: (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = 2m, x = thay vào x1 = −3x ta được: 2m = −3.2 ⇔ m = −3 (thỏa mãn) m = −3,m = − giá trị cần tìm Vậy = −3.2m ⇔ m = − P) : y = x2 d ) : y = 2mx − m + ( ( Ví dụ Cho Parabol đường thẳng , m tham số a) Chứng minh ( d ) cắt ( P ) với giá trị m + =1 d) P) x , x ( ( x x 2 b) Tìm m để cắt điểm có hồnh độ thoả mãn Lời giải Hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x − 2mx + m − = (1) Có ∆ ' = (− m) − (m − 4) = m − m + = > ∀m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x = m ± 2 2  ( d ) cắt ( P ) với giá trị m Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1) Điều kiện: x1 ≠ 0, x = ⇔ m ± ≠ ⇔ m ≠ ±2 + =1 x1 = m + 2, x = m − x x Trường hợp 1: Xét thay vào ta m − + 3(m + 2) 4m + + =1⇔ =1⇔ =1 m+2 m−2 (m + 2)(m − 2) m −4 ⇔ 4m + = m − ⇔ m − 4m − = ⇔ m − 4m + − 12 = ⇔ (m − 2) = 12 ⇔ m − = ± 12 ⇔ m = ± (thỏa mãn) + =1 x = m − 2, x = m + x x 2 Trường hợp 2: Xét thay vào ta m + + 3(m − 2) 4m − + =1⇔ =1⇔ =1 m−2 m+2 m −4 ( m + 2) ( m − 2) ⇔ 4m − = m − ⇔ m − 4m = ⇔ m = 0, m = (thỏa mãn) m∈ ; ; ±2 Vậy { } giá trị cần tìm 2 Ví dụ Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 4x + m + , m tham số a) Chứng minh ( d ) cắt ( P ) với giá trị m b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x = −5x1 Lời giải Hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x = 4x + m + ⇔ x − 4x − m − = (1) ∆ = b − 4ac = (−4) − 4.1.( −m − 1) = 4m + 20 2 Vì 4m ≥ với m nên ∆ = 4m + 20 ≥ 20 > với m Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m  ( d ) cắt ( P ) với giá trị m Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1) Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − b c = 4, x1x = = − m − a a  x = −5x1 ⇒ −5x1 + x1 = ⇒ x1 = −1 ⇒ x =  x + x = x = − 5x Ta có hệ phương trình  Mà c x1x = x = − x = a = −m − , ta m = ⇔ m = ±2 Thay , vào Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2(k − 1)x + 4k , k tham số Tìm m để ( d ) cắt ( P ) điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn 3x1 − x2 = Lời giải Hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x − ( k − 1) x − 4k = (1) ∆′ =  − ( k − 1)  − ( −4k ) = ( k − 1) + 4k = ( k + 1) 2 ( d ) cắt ( P )  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ∆′ > (k + 1) > ⇔ k + ≠ ⇔ k ≠ −1 Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1) Theo định lý Viét, ta có Giải hệ x1 + x2 = − b c x1 x2 = = −4k a = 2k − , a 3x1 − x2 = k 3k − ⇒ x1 = 2k ⇒ x1 = ⇒ x2 =  2  x1 + x2 = 2k − k 3k − c k 3k − ⇒ x2 = x1 x2 = × = −4k ⇔ 3k + 12k = = − 4k 2 a 2 Thay vào , ta 3k = k = ⇔ 3k ( k + 4) = ⇔  ⇔ k + =  k = −4 (thỏa mãn) x1 = Vậy k = 0, k = −4 giá trị cần tìm III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho parabol (P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2mx − 2m + ( với m tham số) a) b) Chứng minh ( d ) ( P ) ln có điểm chung Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x1 = x − Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : x = 2mx − 2m + ⇔ x − 2mx + 2m − = ( *) Δ' = ( − m ) − ( 2m − 1) = m − 2m + = ( m − 1) Pt có m − 1) Vì ( ≥0 với m nên ∆ ' ≥ với m , suy pt (*) ln có nghiệm với m , tức ( d ) ( P ) ln có điểm chung với m b) Theo phần a) ta có: ( d ) ( P ) ln có điểm chung với m ( d ) cắt ( P ) hai điểm có hồnh độ x1 , x  pt (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ( m − 1) > ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ Áp dụng định lý Vi-ét cho pt (*) ta có  2m = x1 + x ( 1)  x1 + x = 2m  x1 + x = 2m ⇒ ⇔   x1.x = 2m −  x1.x = x1 + x −  x1 + x − x1.x − = ( ) 2 Theo đề x1 = x − ⇒ x1 + = x ( 3) thay vào pt (2) ta có: ( ) x1 + x12 + − x1 x12 + − = ⇔ x13 − x12 + 3x1 − = ⇔ ( x1 − 1) ( x12 + 3) = ⇔ x1 = ( x1 + > với x1 ) Với x1 = thay vào (3) ta có x = thay vào (1) ta m = ( t/m) Vậy m = giá trị cần tìm x = ⇔  x = 2m −  Cách 2: x − 2mx + 2m − = ( *) +Trường hợp 1: x1 = 1, x = 2m − Có x1 = x − ⇒ = 2m − ⇔ m = + Trường hợp 2: x1 = 2m − 1, x = ⇒ 2m − 1) = −3 Có x1 = x − ( (sai) Qua trường hợp có m = giá trị cần tìm P) : y = x2 d ) : y = 2mx − m + ( ( Bài Cho Parabol đường thẳng , m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) m = b) Gọi x1 ; x hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) : y = x Tìm m để hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) thỏa mãn x1 + 2x = Lời giải a) Thay m = vào đường thẳng ( d ) ta được: ( d ) : y = 2x + Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) : x = 2x + ⇔ x − 2x − = ⇔ x1 = −1 x = Thay x1 = −1 vào ( d ) : 2x + , ta có: y1 = −2 + = Thay x = vào ( d ) : 2x + , ta có: y1 = + = Vậy tọa độ giao điểm ( P ) ( d ) là: ( −1;1) ; ( 3;9 ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) : 2 x = 2mx − m + ⇔ x − 2mx + m − = ( a = ; b = −2m ; c = m − ) = ( −2m ) − ( m − ) = 16 > ∆ = b − 4ac Ta có: Suy phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m : x1 = 2m + 2m − = m + x2 = = m−2 2 ; x1 = m − ; x = m + Trường hợp 1: x1 = m − ; x = m + Khi thay vào phương trình x1 + 2x = ta được: m − + ( m + ) = ⇔ 3m = ⇔ m = Trường hợp 2: x1 = m + ; x = m − Khi thay vào phương trình x1 + 2x = ta được: m + + ( m − ) = ⇔ 3m = ⇔ m = Vậy m= m= giá trị cần tìm Bài Cho đường thẳng (d) : y = ( m − 3) x + m − a) Tìm m để khoảng cách từ điểm I ( −1; ) đến đường thẳng (d) lớn b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol ( P ) : y = x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho x1 = 4x Lời giải a) Tìm m để khoảng cách từ điểm I ( −1; ) đến đường thẳng ( d ) lớn (d) : y = ( m − 3) x + m − hay ( d ) : ( m − 3) x − y + m − = Gọi d khoảng cách từ I ( −1; ) đến đường thẳng ( d ) : y = ( m − 3) x + m − hay d= Ta có m − 3) Do ( +1 ≥ ( m − 3) ( −1) + + m − 2 ( m − 3) + d= với m nên = ( m − 3) +1 1 ≤ =1 ( m − 3) + 1 với m Dấu “ = ” xảy m − = ⇔ m = Vậy m = khoảng cách từ điểm I ( −1; ) đến đường thẳng ( d ) lớn b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) : y = x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho x1 = 4x Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : x = ( m − 3) x + m − ⇔ x − ( m − 3) x − ( m − ) = ∆ = ( m − 3) + 4.1 ( m − ) = m − 2m + = ( m − 1) 2 ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt ∆ > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠  x1 + x = m −  Theo định lí Vi-et ta có:  x1.x = −m + Mà x12 = 4x ⇔ x = x12  x12 x + = m−3    x12 +4 x1 = ( m − 3) = 4m − 12  x  x = −m + ⇔   x1 = ( − m ) = − 4m Nên   x12 +4 x1 = 4m − 12  x12 +4 x1 = − x13 − 12  x13 + x12 + 4x1 + = ⇔ ⇔ ⇔ 3 4m = − x1 4m = − x1 4m = − x1  x1 = −1 ( x12 + > 0, ∀x ) ( x1 + 1) ( x12 + ) = ⇔ ⇔ 3 4m = − ( −1) 4m = − x1 ⇒ 4m = ⇔ m = (nhận) m= giá trị cần tìm Vậy với ( P) : y = x2 ( d ) y = mx + m + Bài Cho parabol đường thẳng : Tìm giá trị m để đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn: 2x1 − 3x = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) là: x = mx + m + ⇔ x − mx − m − = Có a = 1;b = −m;c = −m − ⇒ a − b + c = + m − m −1 = ( 1) ⇒ phương trình ( 1) có nghiệm x = −1 nghiệm cịn lại x = m + Để đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung −1 < < m + ⇔ m > −1 + Trường hợp x1 = −1 ; x = m + ta có: 2x1 − 3x = ⇔ 2.( −1) − ( m + 1) = ⇔ −2 − ( m + 1) = ⇔ ( m + 1) = −7 ⇔ m +1 = − 10 ⇔m=− 3 (không thỏa mãn) + Trường hợp x1 = m + ; x = −1 ta có: 2x1 − 3x = ⇔ 2.( m + 1) − ( −1) = ⇔ ( m + 1) + = ⇔ ( m + 1) = ⇔ m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Vậy với m = giá trị cần tìm Bài Cho hàm số y = mx − 2m+ có đồ thị đường thẳng d Tìm m để đường y = x2 P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho x1 = 8x2 thẳng d cắt ( ) : Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ( P) : x = mx − 2m+ 2 ⇔ x2 − 2mx + 4m− = (1) P Để d cắt ( ) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = m2 − m+ > ⇔ (m− 2) > ⇔ m ≠ Áp dụng định lý Vi-ét điều kiện đầu ta có hệ phương trình sau  2m x2 =  16m  9x2 = 2m ⇔ x1 = x1 + x2 = 2m    ⇔ x = m − x x = m −   x1x2 = 4m−  x = 8x  x = 8x  2     m = 9(tmdk) ⇔ 2m 16m  m = (tmdk) = 4m−  ⇔ 8m − 81m+ 81 = Ta có phương trình sau 9  9 m∈ 9;    giá trị cần tìm Vậy, Bài Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2x − m + , m tham số Tìm giá trị m để ( d ) cắt ( P ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn 2x1 − x2 = Lời giải Hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) nghiệm phương trình: x2 = 2x − m + ⇔ x2 − 2x + m− = (1) ( m tham số) ∆′ = ( −1) − ( m− 1) = − m ( d ) cắt ( P ) điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ m < Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1)  x1 + x2 =  x x = m− Theo hệ thức Vi - ét ta có: :   x1 + x2 =  x = ⇔  2x − x =  x2 = −1 Từ 2x1 − x2 = ta có  ⇔ 3.( −1) = m− ⇔ m = −2 ( tm) Thay vào x1x2 = m− Vậy với m = −2 giá trị cần tìm 2 Bài Cho parabol ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = (2m + 1)x − m − với m tham số Tìm giá trị m để ( d ) cắt ( P ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn x1 = 2x2 Lời giải Hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) nghiệm phương trình: x2 = ( 2m+ 1) x − m2 − ⇔ x2 − ( 2m+ 1) x + m2 + = (1) ( ) ∆ = b2 − 4ac = ( 2m+ 1) − m2 + = 4m2 + 4m+ − 4m2 − = 4m− ( d ) cắt ( P ) điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 4m− > ⇔ m> Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1)  −b x1 + x2 = a = 2m+ (1)  x x = c = m2 + (2) a Theo định lý Vi-ét:  Ta có: x1 = 2x2 ⇔ x2 = vào (1) ⇒ 3x2 = 2m+ ( 2m+ 1) ⇒ 2m + vào (2) = m2 + ⇔ 8m2 + 8m+ = 9m2 + m = ⇔ m2 − 8m+ = ⇔  m = Bài Cho parabol ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = −5x − m với m tham số Tìm m để ( d ) cắt ( P ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn 9x1 + 2x2 = 18 Lời giải Hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) nghiệm phương trình: x2 + 5x + m = (*) (m tham số) Ta có ∆ = 25 − 4m ( d ) cắt ( P ) điểm phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 25 − 4m > ⇔ m < 25 Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1) x1 + x2 = −5  x x = m Theo hệ thức Viet, ta có :  10 Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( 1) Theo hệ thứcViét ta có  x1 + x =   x1 x = m (1) (2) Theo yêu cầu x1 − x = Từ (1) (3) ⇒ x1 = , thay vào (1) (3) x2 = ⇒ Suy m = x1.x = (thoả mãn) Vậy m = giá trị cần tìm P : y = x2 d : y = 3mx + Bài 19 Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol ( ) đường thẳng ( ) d P a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x2 Lời giải d P Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) là: x = 3mx + ⇔ x − 3mx − = ( 1) d P a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) Với m = −1 , pt ( ) trở thành: x + 3x − = ⇔ ( x + ) ( x − 1) = x + =  x = −4 ⇔ ⇔  x −1 = x = ( P) x = −4 * Thay vào : y = ( −4 ) = 16 2 P * Thay x = vào ( ) : y = = d P −4;16 ) ( 1;1) Vậy với m = , tọa độ giao điểm ( ) ( ) là: ( d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x2 d P Để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ⇔ pt ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (Với a = ≠ ) ⇔ ∆ = b − 4ac > ⇔ ( −3m ) − 4.1( −4 ) > ⇔ 9m + 16 >  x1 + x2 = 3m ( )  x x = −4 ( ) Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 = −4 x2 ( ) Lại có: 25 (ln m ≥ ∀m ) −3m   x2 =  x1 + x2 = 3m ( ) −4 x2 + x2 = 3m ⇔   x = −4 −3m = 12m ⇔  x = − x 2) 4) ( ) x = − x ( (  5  Từ vào , ta có:  12m −3m = −4 3) ( Thay vào ta có: 5 ⇔ −36m = −100 100 25 ⇔ m2 = = 36 ⇔m=± m=± giá trị cần tìm Vậy d : y = ( m − 1) x − m + 2m + Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ( ) parabol ( P ) : y = x2 d P a) Chứng minh ( ) cắt ( ) với giá trị m d P b) Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để x1 + = x2 Lời giải d P a) Chứng minh ( ) cắt ( ) với giá trị m P d Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x = ( m − 1) x − m + 2m + ⇔ x − ( m − 1) x + m − 2m − = ∆ ' = ( m − 1) − ( m − 2m − ) = > ∀m Ta có: d P Vậy đường thẳng ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt với m d P b) Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để x1 + = x2 Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:  x1 + x2 = ( m − 1)   x1 x2 = m − 2m − ( 1) ( 2) Theo ta có: x1 + = x2 ⇔ x1 + 12 x1 + 36 = x2 2 Mà x1 = ( m − 1) x1 − m + 2m + ⇒ ( m − 1) x1 − m + 2m + + 12 x1 + 36 = x2 ⇔ 2mx1 + 11x1 − ( x1 + x2 ) − m + 2m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 − ( m − 1) − m + 2m + 44 = 26 ⇔ ( 2m + 11) x1 = m − 46 −11   m ≠ ÷   m − 46 ⇔ x1 = 2m + 11 Thay vào ( ) ta được: x2 = ( m − 1) − x1 = ( m − 1) − m − 46 3m + 18m + 24 = 2m + 11 2m + 11 m − 46 3m + 18m + 24 ⇔ = m − 2m − 2) ( x x = m − m − 2m + 11 2m + 11 Thay vào ta được: ⇔ ( m − 46 ) ( 3m + 18m + 24 ) = ( 2m + 11)  m = −2 ⇔  m = −1 (m − 2m − ) ( t /m )  m = −2  d P Vậy với  m = −1 đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1 + = x2 Bài 21 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ( d ) : y = ( − m ) x + m − parabol ( P) : y = x2 a) Tìm m để đường thẳng ( d ) tiếp xúc với parabol ( P ) , tìm tọa độ tiếp điểm b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm Lời giải a) Tìm m để đường thẳng ( d ) tiếp xúc với parabol ( P ) , tìm tọa độ tiếp điểm Hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) nghiệm phương trình: x2 = ( − m) x + m −1 ⇔ x2 − ( − m) x − m +1 = (1) Để ( d ) tiếp xúc ( P ) phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ ( − m ) − ( − m + 1) = ⇔ − 4m + m + 4m − = ⇔ m2 = ⇔ m = Vậy m = ( d ) tiếp xúc ( P ) Khi phương trình (1) có nghiệm kép là: Hay x1 = x = Nên y1 = 27 x1 = x = 2−m Do đó: m = thì ( d ) tiếp xúc ( P ) , tiếp điểm A ( 1;1) b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm Hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) nghiệm phương trình: x2 = ( − m) x + m −1 ⇔ x2 − ( − m) x − m +1 = (1) Để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương m > ∆ > m ≠    2 − m > S > m <    ⇔ P > ⇔ − m + > ⇔ m < ⇔ m < m ≠ Vậy m < m ≠ hì ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt − m − m − 2m = = 1− m 2 ; 2−m+m x2 = =1 Trường hợp 1: x1 = 2x hay − m = ⇔ m = −1 (thỏa mãn) 2.( − m ) = x = 2x1 x1 = Trường hợp 2: hay 1 1− m = m= ⇔ (thỏa mãn) ⇔ m = ;m = −1 Vậy thỏa mãn đề P ) :y = x ( Bài 22 Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol đường thẳng ( d ) :y = 3mx + a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) là: x = 3mx + ⇔ x − 3mx − = ( 1) a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) Với m = −1 , pt ( 1) trở thành: x + 3x − = 28 x + =  x = −4 ⇔ ⇔ ⇔ ( x + ) ( x − 1) = x −1 = x = y = ( −4 ) = 16 * Thay x = −4 vào ( P ) : 2 * Thay x = vào ( P ) : y = = Vậy với m = , tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) là: ( −4;16 ) ( 1;1) b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x Để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x ⇔ pt ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1; x (Với a = ≠ ) ⇔ ∆ = b − 4ac > ⇔ ( −3m ) − 4.1( −4 ) > ⇔ 9m + 16 > (ln m ≥ ∀m )  x1 + x = 3m ( )  x x = −4 ( 3) Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 = −4 x ( ) Lại có:  x1 + x = 3m ( ) −4 x + x = 3m  ⇔ x = −4 x ( )  x1 = −4 x Từ ( ) vào ( ) , ta có:  −3m  x =  ⇔  x = −4 −3m = 12m  5 12m −3m = −4 3) ( Thay vào ta có: 100 25 ⇔ m2 = = ⇔m=± ⇔ −36m = −100 36 m=± giá trị cần tìm Vậy Bài 23 Trên mặt phẳng Oxy , cho parabol (P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = −mx + a) Với m = , tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện x1 = −2x Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x + mx − = 29 a) Với m = , tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) Với m = có: x + 3x − = Ta thấy: + − = nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x = −4 x1 = 1⇒ y1 = x = −4 ⇒ y2 = 16 Vậy tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) ( 1;1) , ( −4;16 ) b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện x1 = −2x Xét x + mx − = 2 Có: ∆ = m − ( −4 ) = m + 16 > 0∀m nên ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt với m Theo định lí Vi-et: x1 + x = − m ; x1x = −4 Mà x1 = −2x nên −2x + x = − m ⇒ x = m ⇒ x1 = −2m Thay vào x1x = −4 có: −2m.m = −4 ⇔ m = ⇔ m = ± Vậy m = ± 2 Bài 24 Trên mặt phẳng Oxy cho ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2mx − m + m Tìm giá trị m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn x1 = 3x Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x = 2mx − m + m ⇔ x − 2mx + m − m = ( ) ∆ = m2 − m2 − m = m Đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m >  x1 + x = 2m ( 1)  x x = m2 − m ( 2) Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:  Theo ta có: x1 = 3x ⇒ x1 = 3x ( 3) 30 3m   x1 =  x1 + x = 2m ⇔  x = m   2 Từ ( 1) ( 3) ta có hệ phương trình:  x1 = 3x m = 3m m ⇔ = m − m ⇔ m − 4m = m = Thay vào ( ) ta được: 2 Kết hợp ĐK ta m = d P Vậy với m = đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1 = x2 P : y = x2 d : y = 5x − m + Bài 25 Cho Parabol ( ) đường thẳng ( ) (Với m tham số ) a) Với m = −3 , tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) d P b) Tìm m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn x1 − x1 x2 + x2 = Lời giải d P a) Với m = −3 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d d : y = 5x + Với m = −3 đường thẳng ( ) có dạng: ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x2 = 5x + ⇔ x2 − 5x − =  x = −1 ⇔ x = +) x = −1 ⇒ y = +) x = ⇒ y = 36 d P A −1;1) ; B ( 6;36 ) Vậy tọa độ giao điểm ( ) ( ) là: ( d P b) Tìm m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn x1 − x1 x2 + 3x2 = P d Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x2 = 5x − m + ⇔ x2 − 5x + m − = Ta có: ∆ = 25 − ( m + 3) = 13 − 4m d P Để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 31 ⇒ ∆ > ⇔ 13 − 4m > ⇔m< 13 Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:  x1 + x2 =   x1 x2 = m − ( 1) ( 2) Theo ta có: x1 − x1 x2 + 3x2 = Mà x1 = x1 − m + ⇒ x1 − m + − x1 x2 + 3x2 = ⇔ x1 − x1 x2 + ( x1 + x2 ) = m − ⇔ x1 − ( m − 3) + 15 = m − ⇔ x1 = 3m − 23 3m − 23 −3m + 33 = 2 Thay vào ( ) ta được: x2 = − x1 = − ( 2) x1 x2 = m − ⇔ Thay vào ta được: 3m − 23 −3m + 33 = m −3 2 ⇔ −9m + 168m − 759 = 4m − 12 −83  m=  ⇔   m = −9 ⇔ 9m + 164m + 747 = ( t /m ) −83  m =  d P Vậy với  m = −9 đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1 − x1 x2 + 3x2 = d : y = ( m − 1) x − m + 2m + Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ( ) parabol ( P ) : y = x2 d P a) Chứng minh ( ) cắt ( ) với giá trị m d P b) Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để x1 + = x2 Lời giải d P a) Chứng minh ( ) cắt ( ) với giá trị m P d Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x = ( m − 1) x − m + 2m + ⇔ x − ( m − 1) x + m − 2m − = 32 ∆ ' = ( m − 1) − ( m − 2m − ) = > ∀m Ta có: d P Vậy đường thẳng ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm ( d ) ( P ) Tìm m để x1 + = x2 Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:  x1 + x2 = ( m − 1)   x1 x2 = m − 2m − ( 1) ( 2) Theo ta có: x1 + = x2 ⇔ x1 + 12 x1 + 36 = x2 Mà x12 = ( m − 1) x1 − m + 2m + ⇒ ( m − 1) x1 − m + 2m + + 12 x1 + 36 = x2 ⇔ 2mx1 + 11x1 − ( x1 + x2 ) − m + m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 − ( m − 1) − m2 + 2m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 = m − 46 ⇔ x1 = −11   m ≠ ÷   m − 46 2m + 11 m − 46 3m + 18m + 24 x2 = ( m − 1) − x1 = ( m − 1) − = 2m + 11 2m + 11 Thay vào ( ) ta được: Thay vào ( ) ta được: x1 x2 = m − 2m − ⇔ ( m − 46 ) ( 3m + 18m + 24 ) = ( 2m + 11)  m = −2 ⇔  m = −1 (m ⇔ m − 46 3m + 18m + 24 = m − 2m − 2m + 11 2m + 11 − 2m − ) ( t /m )  m = −2  d P Vậy với  m = −1 đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1 + = x2 Bài 27 Cho Parabol ( P ) :y = x đường thẳng ( d ) :y = mx + a) Với m = Tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) b) Tìm giá trị m để ( d ) ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x cho x1 − 2x = Lời giải a) Với m = Tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) 33 Với m = ( d ) :y = x + Phương trình hồnh độ giao điểm x2 = x + ⇔ x2 − x − = Có: a = 1, b = −1,c = −2 suy ra: a − b + c = + − = Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = −1; x = ( P) ( d) là: −c =2 a Thay x1 = −1 vào y = x ta được: y1 = ⇒ A ( −1,1) Thay x = vào y = x ta được: y = ⇒ B ( −2, ) Vậy với m = tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) A ( −1,1) B ( −2, ) b) Tìm giá trị m để ( d ) ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x cho x1 − 2x = Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x = mx + ⇔ x − mx − = (*) Có: a = 1, b = −m,c = +) Thấy a = ≠ nên phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn x 2 +) ∆ = b − 4ac = m + ≥ > ∀m Suy phương trình ( *) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x với ∀m −b   x1 + x = a = m   x x = c = −2 a Theo hệ thức Viet ta có:  Lại có: x1 − 2x = ( 1) ( 2) (3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình: 2m +   x1 =  x1 + x = m ⇔  x = m −    x1 − 2x = Thay x1 = 2m + m−5 ; x2 = 3 vào x1.x = −2 ta được: 2m + m − × = −2 ⇔ 2m − 5m − = 3 34 Có: a = 2, b = −5,c = −7 Suy ra: a − b + c = + − = Vậy phương trình có hai nghiệm: m1 = −1 (thỏa mãn) −c = a (thỏa mãn) m2 = Vậy m1 = −1; m = 2 Bài 28 Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2mx − m + ( m tham số) a) Chứng minh đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt với giá trị thẳng (d) m = m Tìm tọa độ giao điểm parabol ( P ) đường b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm A ( x1; y1 ) B ( x ; y2 ) thỏa mãn y1 − y > Lời giải Xét phương trình hồnh độ ( P ) ( d ) , ta có: 2 x = 2mx − m + ⇔ x − 2mx + m − = 0(*) a) Chứng minh đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt với giá trị m Tìm tọa giao điểm parabol ( P ) đường thẳng (d) m = ∆ ' = ( − m ) − ( m − 1) = m − m + = > Ta có Suy phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Vậy đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt với giá trị m +) Thay m = vào phương trình (*) ta có: x − 2.3x + 32 − = ⇔ x − 6x + = ∆ ' = ( −3 ) − = > Có  x1 = ⇒ y1 = 16 x = ⇒ y = Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt:  Vậy tọa giao điểm parabol ( P ) đường thẳng ( d ) m = M ( 4;16 ) N ( 2;4 ) 35 b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm A ( x1; y1 ) B ( x ; y2 ) thỏa mãn y1 − y > x = m + ⇒ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x = m − 2 Vì A ( x1; y1 ) B ( x ; y ) thuộc ( P ) nên y1 = x1 ; y = x Theo đề y1 − y > ⇔ x12 − x 2 > ⇔ ( x1 + x ) ( x1 − x ) > 4(1) TH1: Nếu x1 = m + 1; x = m − (1) ⇔ ( m + + m − 1) ( m + − m + 1) > ⇔ 2m.2 > ⇔ m > TH2: Nếu x1 = m − 1; x = m + (1) ⇔ ( m − + m + 1) ( m − − m − 1) > ⇔ 2m ( −2 ) > ⇔ m < −1 Vậy với m < −1 m > thỏa mãn yêu cầu đề Bài 29 Cho parabol ( P) : y = − x ( d) : y = x + m −1 2 đường thẳng Tìm m để ( P ) ( d ) cắt hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x thỏa mãn điều kiện x12 = x + Lời giải Xét phương trình hồnh độ ( P ) ( d ) , ta có: 1 − x2 = x + m −1 2 (1) ⇔ x + x + 2m − = ∆ = − 4.1.( 2m − ) = − 8m ( P ) ( d ) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ − 8m > ⇔ m <  x1 + x = −1  x x = 2m − Khi đó, theo hệ thức Vi- ét, ta có:  2 Do x1 = x + ⇔ x = x1 − thay vào x1 + x = −1 ta x1 + x12 − = −1 ⇔ x12 + x1 − = ⇔ ( x1 − 1) ( x1 + ) = 36  ( x − 1) =  x =1  x = −2 ⇔ ⇔ ⇒  x = −2  x = ( x1 + ) = Kết hợp với x1 + x = −1ta có (thỏa mãn điều kiện Vậy m= m< x1.x = −1 ⇔ 2m − = −1 ⇔ 2m = ⇔ m = ) giá trị cần tìm Bài 30 Cho parabol ( P ) : y = 2x đường thẳng d : y = 3x − m Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho x1 − 2x = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) là: 2x − 3x + m = (1) Ta có: ∆ = − 8m Để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt thì: ∆ = − 8m > ⇒ m <  x + x =   x x = m 2 Theo Vi-et:  Mà x1 − 2x = ⇒ x1 = 2x   x1 = 2x  x1 =     ⇒ x = ; 3x = 2   m  m = ( tm )  x1x = Ta có: Vậy m = Bài 31 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) : y = ( − m ) x + m − parabol ( P ) : y = x 37 a) Tìm m để đường thẳng ( d ) tiếp xúc với parabol ( P ) , tìm tọa độ tiếp điểm b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm Lời giải a) Tìm m để đường thẳng ( d ) tiếp xúc với parabol ( P ) , tìm tọa độ tiếp điểm Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) ta có: x2 = ( − m) x + m −1 ⇔ x2 − ( − m) x − m +1 = (1) ∆ = ( − m ) − ( − m + 1) = m − 4m + + 4m − = m 2 Để đường thẳng ( d ) tiếp xúc với parabol ( P ) ⇒ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇒ ∆ = ⇔ m = ⇔ m = 2 Thay m = vào (1) ta : x − 2x + = ⇔ x = ⇒ y = = Vậy m = đường thẳng ( d ) tiếp xúc với parabol ( P ) điểm có tọa độ ( 1;1) b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm  x1 = 1; x = − m ⇒  x = 1; x1 = − m Phương trình (1) có a + b + c = − + m − m + = Để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hoành độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1;x > hoành độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm * x1 ≠ x ⇒ − m ≠ ⇔ m ≠ 1 − m > x1 ; x > ⇒  ⇔ m  * * Hoành độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm (thỏa mãn) 38  m = −1 1 − m = ⇔  ⇒ m = 1 = ( − m )   1 m ∈ −1;    thỏa mãn yêu cầu đề Vậy 39 ... x12 +4 x1 = 4m − 12  x12 +4 x1 = − x13 − 12  x13 + x12 + 4x1 + = ⇔ ⇔ ⇔ 3 4m = − x1 4m = − x1 4m = − x1  x1 = ? ?1 ( x12 + > 0, ∀x ) ( x1 + 1) ( x12 + ) = ⇔ ⇔ 3 4m = − ( ? ?1) ... x12 − ( m− ) x1 − 2m = ⇔ x12 = ( m− ) x1 + 2m Theo đề toán: x2 − x1 = x12 ⇔ x2 − x1 = ( m− ) x1 + 2m 14 ⇔ 2m − − x1 − x1 = ( m− ) x1 + 2m ⇔ −4 − 2x1 = ( 2m − ) x1 ⇔ x1 = ⇔ x1 = − 2m 1? ?? m 2 x1... x1 + x2 = ( m − 1)   x1 x2 = m − 2m − ( 1) ( 2) Theo ta có: x1 + = x2 ⇔ x1 + 12 x1 + 36 = x2 2 Mà x1 = ( m − 1) x1 − m + 2m + ⇒ ( m − 1) x1 − m + 2m + + 12 x1 + 36 = x2 ⇔ 2mx1 + 11 x1 − ( x1