Bài viết trình bày việc chứng minh một số tính chất cơ bản của các dòng đơn modular trên nửa vành tùy ý; Chỉ ra một lớp nửa vành mà trên đó tập các dòng đơn modular và tập các dòng đơn modular có thể bổ sung được là không bằng nhau; Chứng minh điều kiện cần và đủ để mọi dòng đơn modular trên nửa vành giao hoán có thể bổ sung được thành ma trận khả nghịch; Mô tả cấu trúc các dòng đơn modular có thể bổ sung được trên lớp nửa vành phi khả đối thỏa một số điều kiện cho trước.
TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 ON COMPLETABLE UNIMODULAR ROWS OVER SEMIRINGS Ha Chi Cong* University of Finance and Accountance ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 22/9/2021 In Ring theory, the unimodular rows play an important role in studying structures of Hermite rings and other important classes of rings The basic calculus of unimodular rows was completely described by T.Y Lam, P.M Cohn,… especially, completable unimodular rows According to T Y Lam (1978), a ring is right Hermite if any finitely generated stably free right module over the ring is free, and this is equivalent to requiring that any unimodular row on ring can be completed to a invertible matrix However, when computing the completable unimodular rows on semirings, some properties are no longer true as in rings, and now there are not many research results about this problems In this paper, we prove some basic properties of unimodular rows over abitrary semirings; indicate a class of semirings in which set of unimodular rows and set of completable unimodular rows are not same; prove the necessary and sufficient conditions for all unimodular rows on commutative semirings can be completed to invertible matrices; describe structure of completable unimodular rows on class of zerosumfree semirings satisfying some given conditions Revised: 10/01/2022 Published: 11/02/2022 KEYWORDS Ring Semiring Unimodular row Invertible matrix Completable VỀ CÁC DỊNG ĐƠN MODULAR CĨ THỂ BỔ SUNG ĐƯỢC TRÊN NỬA VÀNH Hà Chí Cơng Trường Đại học Tài – Kế tốn THƠNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 22/9/2021 Ngày hoàn thiện: 10/01/2022 Ngày đăng: 11/02/2022 TỪ KHĨA Vành Nửa vành Dịng đơn modular Ma trận khả nghịch Có thể bổ sung TĨM TẮT Trong lý thuyết vành, dịng đơn modular đóng vai trị quan trọng nghiên cứu cấu trúc vành Hermite lớp vành quan trọng khác, tính tốn dịng đơn modular mơ tả đầy đủ T.Y Lam, P.M Chon,… đặc biệt dịng đơn modular bổ sung Theo T.Y Lam (1978), vành Hertime phải module phải tự ổn định hữu hạn sinh tự do, điều tương đương với dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Tuy nhiên, tính tốn dịng đơn modular bổ sung nửa vành, có số tính chất khơng cịn vành chưa có nhiều kết nghiên cứu vấn đề Trong báo này, chứng minh số tính chất dịng đơn modular nửa vành tùy ý; lớp nửa vành mà tập dịng đơn modular tập dịng đơn modular bổ sung không nhau; chứng minh điều kiện cần đủ để dòng đơn modular nửa vành giao hốn bổ sung thành ma trận khả nghịch; mơ tả cấu trúc dịng đơn modular bổ sung lớp nửa vành phi khả đối thỏa số điều kiện cho trước DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5077 Email: hachicong@tckt.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 Giới thiệu Trong lý thuyết vành, việc tính tốn dịng đơn modular đóng vai trị quan trọng nghiên cứu cấu trúc vành Hermite số lớp vành quan trọng khác thu nhiều kết thú vị [1]-[3] Trong [1], T Y Lam xem vành Hermite vành mà module tự ổn định hữu hạn sinh tự chứng minh rằng: Một vành Hermite dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Tuy nhiên, xem xét dòng đơn modular nửa vành, việc tính tốn gặp nhiều hạn chế, nửa vành nói chung khơng có phần tử đối Vấn đề đặt là: Các dòng đơn modular nửa vành có tính chất đặc trưng nào? Các lớp nửa vành mà dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch? Mơ tả cấu trúc dịng đơn modular số nửa vành cụ thể? Trong ba thập niên trở lại đây, lý thuyết nửa vành phát triển mạnh [4]; đó, ma trận nửa vành nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết thú vị cấu trúc ma trận khả nghịch, ma trận lũy đẳng, hạng ma trận, số lớp nửa vành cụ thể [5]-[9] Liên quan đến vấn đề đặt trên, thấy, C Reutenauer H Straubing [5] chứng minh rằng: Trên nửa vành giao hốn, ma trận vng khả nghịch phải (trái) khả nghịch; Y J Tan số đặc trưng ma trận khả nghịch lớp nửa vành giao hoán [6], [7] điều kiện cần đủ để dịng đơn modular nửa vành giao hốn bổ sung thành ma trận khả nghịch [8] Tuy nhiên, kết nghiên cứu dòng đơn modular nửa vành tổng quát khiêm tốn Trong báo này, xem xét số đặc trưng khác dòng đơn modular nửa vành khơng thiết giao hốn, mơ tả cấu trúc dòng đơn modular số lớp nửa vành đặc biệt Trước hết, ta có số định nghĩa kết liên quan Một số định nghĩa kết liên quan Trong viết này, chúng tơi xét cho nửa vành có đơn vị Để thuận tiện cho việc trình bày, chuyển vị ma trận A ký hiệu At , ma trận A cấp m n viết Amn , tập hợp ma trận cấp m n nửa vành R ký hiệu M mn ( R ) , tập hợp ma trận vuông cấp n n nửa vành R ký hiệu M n ( R ) Định nghĩa 2.1 ([1]) Cho R vành, ma trận dòng u = ( u1 dòng đơn modular tồn ma trận cột v = ( v1 Một dòng đơn modular u = ( u1 un ) M1n ( R ) gọi ) M n1 ( R ) cho uv = (1) t un ) gọi bổ sung thành ma trận khả nghịch (cịn gọi bổ sung được) tồn ma trận U ' M ( n −1)n ( R ) cho ma trận u vuông U = M n ( R ) ma trận khả nghịch U ' Định nghĩa cho cột đơn modular phát biểu hoàn toàn tương tự Định nghĩa 2.2 ([1]) Vành R gọi vành Hermite dịng (cột) đơn modular R bổ sung thành ma trận khả nghịch Định nghĩa 2.3 ([4]) Nửa vành đại số (R,+,1,.,0) cho (R,+,0) vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị 0, (R,.,1) vị nhóm với phần tử đơn vị 1, phép nhân phân phối hai phía phép cộng 0.r = r.0 = với r R Nửa vành R gọi giao hoán a.b = b.a, a, b R Nửa vành R gọi phi khả đối a + b = a = b = 0, a, b R Nửa vành R gọi nguyên a.b = a = b = 0, a, b R http://jst.tnu.edu.vn Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 Định nghĩa 2.4 ([6]) Cho R nửa vành, phần tử a R gọi khả đối tồn b R cho a + b = Phần tử b gọi phần tử đối a ký hiệu b = −a Tập hợp tất phần tử khả đối R ký hiệu V(R) Định nghĩa 2.5 ([6]) Cho R nửa vành, phần tử a R gọi khả nghịch tồn b R cho a.b = b.a = Phần tử b gọi phần tử nghịch đảo a ký hiệu b = a −1 Tập hợp tất phần tử khả nghịch R ký hiệu U(R) Định nghĩa 2.6 ([6]) Cho R nửa vành, ma trận vuông A M n ( R ) gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B M n ( R ) cho A.B = B A = I n Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A ký hiệu B = A−1 Tập hợp tất ma trận vuông cấp n khả nghịch nửa vành R ký hiệu GLn ( R ) Ma trận vuông A M n ( R ) gọi ma trận lũy đẳng A2 = A Ma trận A = ( aij ) M n ( R ) gọi ma trận chéo aij = 0, i j,1 i, j n ký hiệu diag ( a11 , a22 , , ann ) Định nghĩa 2.7 ([8]) Cho R nửa vành, hai ma trận A, B M mn ( R ) gọi tương đương với tồn ma trận khả nghịch P GLm ( R ) , Q GLn ( R ) cho A = PBQ Định nghĩa 2.8 ([8]) Cho R nửa vành, hai ma trận vuông A, B M n ( R ) gọi đồng dạng với tồn ma trận khả nghịch P GLn ( R ) cho A = P −1 BP Mệnh đề 2.9 ([8, Lemma 2.1]) Cho R nửa vành, đó: i) Với a, b R ta có a + b V ( R ) a, b V ( R ) ii) Với s R a V ( R ) ta có as, sa V ( R ) s ( −a ) = −sa ( −a ) s = −as iii) Với s, t R a, b V ( R ) ta có s ( t − b ) = st − sb , ( t − b ) s = ts − bs , − ( a + b ) = − a − b ( − a )( −b ) = ab Mệnh đề 2.10 ([8, Lemma 2.2]) Cho R nửa vành giao hoán, A = ( aij )n M n ( R ) ma trận khả nghịch Khi đó, i) aik a jk , aki akj V ( R ) , i j ,1 i, j , k n 2 ii) Nếu n = a112 a22 − 2a12 a21a11a22 + a122 a21 U ( R ) Kết nghiên cứu Trong mục này, chứng minh số tính chất đặc trưng dịng đơn modular nửa vành tùy ý; mô tả cấu trúc dòng đơn modular lớp nửa vành nguyên phi khả đối thỏa số điều kiện cho trước điều kiện cần đủ để nửa vành giao hốn thỏa điều kiện: Mọi dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Trước hết, ta có Định nghĩa dịng (cột) đơn modular phát biểu tương tự vành Định nghĩa 3.1 Cho R nửa vành, ma trận dòng u = ( u1 un ) M1n ( R ) gọi dòng đơn modular tồn ma trận cột v = ( v1 Một dòng đơn modular u = ( u1 ) M n1 ( R ) cho uv = (1) t un ) gọi bổ sung thành ma trận khả nghịch (còn gọi bổ sung được) tồn ma trận U ' M ( n −1)n ( R ) cho ma trận u vuông U = M n ( R ) ma trận khả nghịch U ' http://jst.tnu.edu.vn Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology Một ma trận cột u = ( u1 227(02): - 10 un ) M n1 ( R ) gọi cột đơn modular tồn t ma trận dòng v = ( v1 ) M1n ( R ) cho vu = (1) Một cột đơn modular gọi bổ sung thành ma trận khả nghịch (còn gọi bổ sung được) tồn ma trận U ' M n( n −1) ( R ) cho ma trận vuông U = ( u U ') M n ( R ) ma trận khả nghịch Số nguyên dương n gọi chiều dài dòng (cột) đơn modular nêu Dưới số đặc trưng dòng đơn modular nửa vành tùy ý, phát biểu hoàn toàn tương tự cho cột đơn modular Mệnh đề 3.2 Cho u = ( u1 un ) M1n ( R ) ma trận dòng nửa vành R Khi đó, mệnh đề sau tương đương: i) u dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch ii) Tồn ma trận khả nghịch V GLn ( R ) cho uV = (1 0) iii) uV dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch với V GLn ( R ) Chứng minh i) ii) : Giả sử u dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch, suy u tồn ma trận U ' M ( n −1)n ( R ) cho ma trận U = ma trận khả nghịch, đặt V = U −1 U ' suy V ma trận khả nghịch UV = I n Do đó, uV = (1 0 ) Ngược lại, giả sử ) , gọi v = ( v1 có ma trận khả nghịch V cho uV = (1 ) vectơ cột đầu t tiên ma trận V, ta có uv = (1) suy u dòng đơn modular Mặt khác, u = (1 0 )V −1 suy u vectơ dòng ma trận khả nghịch V −1 Vậy u dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch i) iii) : Giả sử u dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch, theo chứng minh trên, tồn ma trận khả nghịch G GLn ( R ) cho uG = (1 uV (V −1G ) = (1 0 ) suy ) , V GLn ( R ) Do V −1G ma trận khả nghịch nên uV dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Ngược lại, với V GLn ( R ) cho uV dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch ta lại có ( uV )V −1 = u dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch □ Mệnh đề 3.3 Cho R nửa vành, u = ( u1 un ) M1n ( R ) dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Khi đó, tồn ma trận cột v = ( v1 ) cho t uv = (1) A = vu ma trận lũy đẳng đồng dạng với ma trận chéo diag (1,0, ,0 ) M n ( R ) Chứng minh Do u dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch nên tồn ma trận u U ' M ( n −1)n cho U = ma trận khả nghịch Gọi v vectơ cột U −1 Khi U ' đó, UU −1 = I n nên uv = (1) Mặt khác, ( vu ) = v ( uv ) u = v (1) u = vu suy ma trận A = vu ma trận lũy đẳng Đặt X = Uv, Y = uU −1 ta có, X t = Y = (1 XY = (Uv ) ( uU −1 ) = UAU −1 = (1 http://jst.tnu.edu.vn ) (1 t ) (do UU −1 = I n ) suy ) = diag (1,0, ,0 ) □ Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 Nhận xét 3.4 Cho R nửa vành ma trận vuông A = ( aij ) M n ( R ) thỏa mãn điều kiện 0, i j aij V ( R ) , i j Khi đó, A GLn ( R ) Thật vậy, áp dụng Mệnh đề 2.9, ma aij = 1, i = j trận khả nghịch A tạo cách dùng phép biến đổi sơ cấp dòng tương tự vành phép khử Gauss cho ma trận khối ( A I n ) , để đưa ma trận ma trận tương đương có dạng ( I n B ) Khi đó, B = A−1 Mệnh đề 3.5 Cho số nguyên dương k R nửa vành, mệnh đề sau tương đương: i) Mọi dòng đơn modular có chiều dài khơng q k bổ sung ii) Với ma trận A M mn ( R ) , m n k cho tồn ma trận B M nm ( R ) thỏa mãn AB = I m Khi đó, tồn ma trận V GLn ( R ) cho AV = ( I m ) Chứng minh ii) i) Hiển nhiên Ta chứng minh i ) ii) phương pháp quy nạp sau: Theo Mệnh đề 3.2, kết với m, n cho = m n k Bây giờ, giả sử AB = I m , gọi A vectơ dòng ma trận A Khi đó, A1 dịng đơn modular có chiều dài n k , suy A1 bổ sung thành ma trận khả nghịch Theo Mệnh đề 3.2, tồn ma trận khả nghịch cho Đặt V GLn ( R ) A1V = (1 0) AV = U = V −1B Khi đó, A '(m −1)1 A"(m −1)( n −1) U U1(m −1) U = 11 suy U = 1, U = suy U U (n −1)(m −1) (n −1)1 AVU = AVV −1 B = AB = I m A '+ A"U = A"U = I m −1 Đặt (1) (2) Từ (2) suy tồn ma trận khả nghịch C GLn −1 ( R ) cho A"C = ( I m−1 ) (theo giả 0 1 1 thiết quy nạp) Khi đó, AV = Mặt khác, từ (1) suy = Cn −1 A ' A"C A ' I m −1 1 phần tử ma trận A ' khả đối Theo Nhận xét 3.4, ma trận vuông khả A ' I m −1 −1 V ' 1 nghịch, đặt V ' = = ( I m ) Mệnh đề chứng ta có AV A ' I m −1 Cn −1 I n − m minh xong □ Tiếp theo, số đặc trưng khác dòng (cột) đơn modular số lớp nửa vành cụ thể Định nghĩa 3.6 Cho R nửa vành, gọi Umr ( R ) ( Umc ( R ) ) tập tất dòng (cột) đơn modular R cUmr ( R ) ( cUmc ( R ) ) tập tất dịng (cột) đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Nhận xét 3.7 Trên nửa vành R tùy ý, ta ln có cUmr ( R ) Umr ( R ) , cUmc ( R ) Umc ( R ) Gọi ecUmr ( R ) ( ecUmc ( R ) ) tập dòng (cột) đơn modular có dạng vectơ dịng (cột) đơn vị ei = ( 0 http://jst.tnu.edu.vn 0) ( eit = ( 0 ) ) , đó, phần tử nằm cột t Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 (dòng) thứ i phần tử cịn lại Do ma trận hốn vị ma trận khả nghịch nên ecUmr ( R ) cUmr ( R ) Umr ( R ) , ecUmc ( R ) cUmc ( R ) Umc ( R ) Nói chung, dấu không xảy lớp nửa vành rộng Mệnh đề Mệnh đề 3.8 Nếu R nửa vành phi khả đối cUmr ( R ) tập thực Umr ( R ) ; cUmc ( R ) tập thực Umc ( R ) Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp cUmr ( R ) tập thực Umr ( R ) , trường hợp lại chứng minh tương tự Giả sử cUmr ( R ) = Umr ( R ) , xét ma trận dòng u = (1 1) thỏa mãn 1 = (1) nên u dịng đơn modular có chiều dài Do cUmr ( R ) = Umr ( R ) nên u có 0 (1 1) 1 1 thể bổ sung thành ma trận khả nghịch, suy tồn , R cho ma trận U = 1 m n m n ma trận khả nghịch Đặt U −1 = Khi đó, = suy n + q = suy p q p q n = q = (do R nửa vành phi khả đối) Mặt khác, n + q = suy = + = (vô lý) Vậy cUmr ( R ) tập thực Umr ( R ) □ Các kết cho ta số trường hợp dấu xảy bao hàm thức nêu Nhận xét 3.7 Định lý 3.9 Cho R nửa vành giao hốn Khi đó, cUmr ( R ) = Umr ( R ) R vành Hermite Chứng minh 1 Giả sử cUmr ( R ) = Umr ( R ) , với a R, a ta có (1 a ) = (1) nên u = (1 a ) 0 dòng đơn modular nửa vành R Do cUmr ( R ) = Umr ( R ) nên tồn , R cho 1 a m n −1 ma trận U = ma trận khả nghịch Đặt U = ma trận nghịch đảo U Ta p q có, UU −1 = I U −1U = I nên (3) n + aq = (4) ma + n = (5) p + q = Mặt khác, U −1 ma trận khả nghịch nên theo Mệnh đề 2.10 ta có: mn, pq, mp, nq V ( R ) m2 q − 2mnpq + n2 p U ( R ) Từ (3) suy n p = −aqnp (6) am q = −nm q mn = −aqm (7) (8) 2 Mặt khác, từ (5) suy pq = −q 2 (9) Từ (8) (9) suy −2mnpq = −2aq m http://jst.tnu.edu.vn (10) Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 Từ (6), (7) (10) suy a ( m q − 2mnpq + n p ) = − nm q − 2a q m − a qnp suy a = ( −nm2 q − 2a q m − a qnp )( m2 q − 2mnpq + n p ) Từ (4) suy ma V ( R ) nên −1 −2a q3m V ( R ) , mn, pq, nq V ( R ) nên − nm q V ( R ) −a qnp V ( R ) suy −nm2 q − 2a q3m − a qnp V ( R ) Vậy a V ( R ) hay R vành cUmr ( R ) = Umr ( R ) nên R vành Hermite Điều ngược lại hiển nhiên □ Nhận xét 3.10 Định lý 3.9 phát biểu hoàn toàn tương tự cho cột đơn modular Định lý 3.11 Cho R nửa vành nguyên phi khả đối thỏa mãn điều kiện: Với a, b R ta có, a.b = a = b = ; a + b = a = b = b = a = Khi đó, dịng đơn modular u = ( u1 un ) bổ sung có dạng vectơ đơn vị u = (0 ) , có thành phần cịn lại Hơn nữa, ma u trận khả nghịch bổ sung từ u, có dạng A = , ma trận hoán vị U ' n Chứng minh Do u = ( u1 un ) dòng đơn modular nên tồn ma trận cột v với v t = ( v1 cho uv = (1) hay u v i i i =1 u = ( u1 uP = (1 u n ) = suy tồn uk vk = 1,1 k n suy uk = vk = Do đó, un ) , phần tử cột thứ k Tồn ma trận hoán vị P cho ) Theo Mệnh đề 3.2 ta có uP dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Gọi U = ( u ) ma trận khả nghịch bổ sung từ uP U = V = ( v ) , đó, ( u u ) = (1 u u ) Nếu tồn i, i n cho ' u ' n ij n −1 ij n 11 ' 1n ' n u1i Khi đó, UV = I n R nửa vành nguyên phi khả đối nên vi = = vin = v12 = = v1n = (11) (12) n Do VU = I n nên = vil uli , theo (11) ta có = vi1u1i suy vi1 = u1i = Mặt khác, l =1 n = v1l ul1 , theo (12) ta có v11u11 = suy v11 = l =1 n n l =1 l =2 Do UV = I n u11 = nên = u1l vl1 = + u1l vl1 suy n u l =2 v = suy u1i vi1 = Do 1l l1 u1i = nên vi1 = , điều mâu thuẫn với vi1 = Vậy uP = (1 u = (1 0 ) suy ) P hay u vectơ dịng ma trận hốn vị P Bây giờ, giả sử tồn −1 −1 ma trận khả nghịch Q có dịng u = (1 0 ) P −1 Đặt L = Q −1 ta có QL = LQ = I n , suy dòng lại Q dòng đơn modular Q khả nghịch nên dòng Q dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Theo chứng minh trên, vectơ dòng Q có dạng vectơ đơn vị e j = ( 0 0) , thành phần thứ j cịn lại Để chứng minh Q ma trận hoán vị, ta cần chứng minh cột ma trận Q có khơng q phần tử Thật vậy, giả sử tồn cột thứ j http://jst.tnu.edu.vn Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): - 10 ma trận Q có hai phần tử qij = qkj = 1, i k , suy qkm = 0, m j qir = 0, r j n (do dịng Q có dạng vectơ đơn vị) Do QL = I n nên = qkr lrk = qkj l jk = l jk Mặt r =1 n khác, i k nên = qir lrk = qij l jk = l jk , điều mâu thuẫn với l jk = Vậy Q ma r =1 trận hoán vị □ Chú ý 3.12 i) Nửa vành số tự nhiên thỏa mãn điều kiện Định lý 3.11 ii) Từ dịng đơn modular có dạng u = ( 0 0 ) xác định Định lý 3.11, ta có nhiều cách bổ sung để thành ma trận khả nghịch, chẳng hạn n = , xét dòng đơn modular u = (1 0 ) , ta bổ sung thành ma trận khả nghịch sau: 1 0 1 0 U1 = U = 0 0 1 0 0 iii) Cho R nửa vành nguyên phi khả đối thỏa mãn điều kiện: a.b = a = b = a + b = a = b = b = a = , với a, b R Khi đó, ecUmr ( R ) = cUmr ( R ) iv) Định lý 3.11 phát biểu tương tự cho trường hợp cột đơn modular Kết luận Bài báo đạt số kết sau đây: Chỉ số tính chất đặc trưng dịng đơn modular nửa vành tùy ý thể qua Mệnh đề 3.2, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.8 Chứng minh điều kiện cần đủ để dịng đơn modular nửa vành giao hốn bổ sung thành ma trận khả nghịch Định lý 3.9 Mơ tả cấu trúc dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch lớp nửa vành nguyên phi khả đối thỏa số điều kiện cho trước, thể Định lý 3.11 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] T Y Lam, Serre’s Problem on Projective Modules Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 [2] P M Cohn, “From Hermite rings to Sylvester domains,” Proc Am Math Soc., vol 128, no 7, pp 1899-1904, 1999 [3] O Lezama and C Gallego, “Matrix approach to noncommutative stably free modules and Hermite rings,” Algebr Discret Math., vol 18, no 1, pp 109-137, 2014 [4] J S Golan, Semirings and their Applications Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-BostonLondon, 1999 [5] C Reutenauer and H Straubing, “Inversion of matrices over a commutative semiring,” J Algebr., vol 88, no 2, pp 350-360, 1984 [6] Y J Tan, “On invertible matrices over antirings,” Linear Algebra Appl., vol 423, no 2-3, pp 428-444, 2007 [7] Y J Tan, “On invertible matrices over commutative semirings,” Linear Multilinear Algebr., vol 61, no 6, pp 710-724, 2013 [8] Y J Tan, “Diagonability of matrices over commutative semirings,” Linear Multilinear Algebr., vol 68, no 9, pp 1743-1752, 2020 [9] M Akian, S Gaubert, and A Guterman, “Linear independence over tropical semirings and beyond,” Trop idempotent Math Contemp Math., vol 495, pp 1-38, 2009 http://jst.tnu.edu.vn 10 Email: jst@tnu.edu.vn ... đặt là: Các dịng đơn modular nửa vành có tính chất đặc trưng nào? Các lớp nửa vành mà dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch? Mô tả cấu trúc dòng đơn modular số nửa vành cụ thể? Trong... khả nghịch lớp nửa vành giao hoán [6], [7] điều kiện cần đủ để dòng đơn modular nửa vành giao hốn bổ sung thành ma trận khả nghịch [8] Tuy nhiên, kết nghiên cứu dòng đơn modular nửa vành tổng quát... uV dịng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch Ngược lại, với V GLn ( R ) cho uV dòng đơn modular bổ sung thành ma trận khả nghịch ta lại có ( uV )V −1 = u dịng đơn modular bổ sung thành