Tiểu luận số phức tài liệu mở ( quý thầy cô có nhã hứng có thể bổ sung chỉnh sửa như ý thích)

Thông qua bài tiểu luận này, cáctác giả hi vọng các bạn học sinh có thêm nguồn để tìm hiểu, làm quen, cũng như sửdụng số phức nhằm giải quyết những bài toán ở phổ thông, từ đó các bạn có

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: LỊCH SỬ, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC DẠNG SỐ PHỨC 5

1 L ỊCH SỬ CỦA SỐ PHỨC 5

1.1 Lịch sử phát triển của số phức 5

1.2 Sơ lược về các nhà toán học đặt nền móng cho sự ra đời của số phức 5

2 Đ ỊNH NGHĨA CỦA SỐ PHỨC 11

3 D ẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC : 13

3.1 Quan h giữa R và C ệ giữa R và C 13

3.2 Đơn vị ảo 13

3.3 Các khái ni m liên quan ệ giữa R và C 14

3.4 Môđun của số phức 14

3.5 Các phép toán 16

3.6 Bài t p ập 19

4.D ẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 30

4.1 Định nghĩa 30

4.2 Ví dụ 30

4.3 Biểu diễn của số phức 31

4.4 Các phép toán 32

4.5 Bài tập ví dụ 34

5 C ĂN BẬC N CỦA ĐƠN VỊ VÀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 45

5.1 Căn bậc n của số phức 46

5.2 Căn bậc n của đơn vị 48

5.3 Phương trình nhị thức 54

5.4 Bài tập 55

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 62

1 P HƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 62

2 P HƯƠNG TRÌNH BẬC BA 67

3 P HƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 71

4 C ÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 75

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC 77

1 P HƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG ĐA THỨC 77

2 C ÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 81

3 B ÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC : 86

CHƯƠNG 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA SỐ PHỨC 89

1 Ứ NG DỤNG CỦA CÔNG THỨC M OIVRE 89

2 Ứ NG DỤNG CỦA CÔNG THỨC Ơ- LE 93

3 Ứ NG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN THỨC , TỔ HỢP , RỜI RẠC 97

4 Ứ NG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC , BẤT Đ ẲNG THỨC , TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC, TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 105

LỜI NÓI ĐẦU

Số phức là một khái niệm còn khá mới mẻ đối với các bạn học sinh ở bậc Trung học phổ thông hiện nay Tuy nhiên, số phức là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các vấn đề toán học lý thuyết cũng như ứng dụng, đồng thời nó cũng có một

số ứng dụng quan trọng trong giải toán phổ thông Thông qua bài tiểu luận này, cáctác giả hi vọng các bạn học sinh có thêm nguồn để tìm hiểu, làm quen, cũng như sửdụng số phức nhằm giải quyết những bài toán ở phổ thông, từ đó các bạn có điều kiện để rèn luyên tư duy và học môn toán tốt hơn

Bài tiểu luận được chia làm 4 phần chính: Chương I trình bày tóm tắt lịch sử, các khái niệm cơ bản và các dạng số phức; Chương II là Ứng dụng của số phức để giải phương trình và hệ phương trình; Chương III là Ứng dụng của số phức vào giải các bài toán đa thức; Chương IV trình bày về Một số ứng dụng khác Mỗi chương cũng bao gồm các dạng bài tập được phân loại kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập để các bạn rèn luyện thêm kĩ năng Do khuôn khổ chuyên đề, ở phần bài tập, chúng tôi chỉ đi sâu vào các ứng dụng của số phức trong đại số Do hạn chế về hiểu biết, kinh nghiệm cũng như về mặt thời gian, bài tiểu luận sẽ khó tránh khỏi sai sót,rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của bạn đọc gần xa

Hà Nội, ngày … tháng … năm …

Chương 1: L ch s , các khái ni m c b n và các d ng s ịch sử, các khái niệm cơ bản và các dạng số ử, các khái niệm cơ bản và các dạng số ệm cơ bản và các dạng số ơ bản và các dạng số ản và các dạng số ạng số ố

ta thấy cạnh huyền của tam giác vuông cân cạnh 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực

Điều thú vị là số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc hai kiểu

được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do  < 0 Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này Ta dùng số phức, dùng nghiệm phức để cuối cùng tìm ra các nghiệm thực Tựa như con kiến đang đi trên một đường thẳng thì gặp một vũng nước lớn ngáng đường

Có con kiến sẽ quay trở lại, có con kiến đi vào nước để bị chìm, nhưng có con kiến biết đi vòng (sang chiều thứ hai) để sau đó quay trở lại với con đường cũ

Lịch sử số phức gắn liền với những cái tên như Bombelli, Rene Descartes, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy … Về lịch sử số phức có thể xembài viết của Orlando Merino ở địa chỉ

1.2 Sơ lược về các nhà toán học đặt nền móng cho sự ra đời của số phức

Nhà toán học Italia R Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về sốphức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại

số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã định nghĩa các số đó

Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "

" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của

một phương trình bậc n Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đã đưa ra ký

Chúng tôi muốn kể cho các bạn nghe một câu chuyện, về nhà Toán học Niccolo Fontana (1499-1557) sống tại công cuốc Venezia (nay là một thành phố củaItalia) với biệt danh Tartaglia (kẻ nói lắp)

Tartaglia có một tuổi thơ đầy bất hạnh Năm ông 13 tuổi quân Pháp tràn vào quê hương ông, cha ông (một người đưa thư) đã dắt ông chạy trốn vào nhà thờ cùng với mọi người trong làng Không may họ đã bị phát hiện và cuộc thảm sát diễn

ra ngày trong nhà thờ ấy: Cha ông bị giết chết, Tartaglia bị chém ngang mặt cắt đứtmiệng và lưỡi…Người mẹ trong những nỗ lực cuối cùng đã tìm thấy đứa con trai và người chồng đã chết của mình Chẳng thể có tiền lo thuốc thang điều trị cho đứa con trai, bà nhớ lại rằng những con chó khi bị thương thường hay liếm vào vết thương, và thật thần kì với cách chạy chữa đặc biệt đó mà vết thương của Tartaglia

đã bình phục Mẹ ông chỉ gom góp đủ tiền để ông được đi học trong 15 ngày và chỉ trong quãng thời gian ngắn ngủi đó Tartaglia đã tìm cách trộm được một cuốn vở đánh vần và tự học cách đọc và viết Tartaglia với vòm miệng bị hỏng nói năng rất khó khăn và một cuộc sống nghèo khổ đã tự học thành tài và được rất nhiều người kính phục

Tartaglia bị vướng vào một cuộc thách đấu Toán học giải các phương trình bậc 3 khác nhau với nhóm môn đệ của Del Ferro (nhà Toán học đã tìm ra cách giải một lớp phương trình bậc 3 đặc biệt) Bởi vì đến thời điểm ấy vẫn chưa có ai tìm ra được cách giải phương trình bậc 3 tổng quát nên cuộc thách đấu đã được sự quan tâm của cả giới Toán học Châu âu thời bấy giờ Cảm thấy hơi nao núng vì đối thủ quá tự tin, Tartaglia đã miệt mài suy nghĩ và trước kì thi 8 ngày ông đã tìm ra được cách giải tổng quát

Vào ngày 22-2-1535, các nhà toán học và những người hâm mộ ở nhiều nước châu Âu kéo về thành phố Milan để dự cuộc thi tài Mỗi bên sẽ ra cho đối phương 30 phương trình bậc 3 khác nhau và giải trong 2h Và bởi vì nhóm Ferro chỉgiải được một lớp các phương trình bậc 3 đặc biệt trong khi Tartaglia nắm giữ trong tay “Cửu âm chân kinh” do ông sáng tạo ra nên không có gì bất ngờ khi tỉ số

trận quyết đấu là 30:0 Tartaglia trở nên rất nổi tiếng khắp Châu Âu sau thành công vang dội này, dù vậy ông vẫn giữ kín bí mật về cách giải của mình.

Lại nói về Cardano ( 1501- 1576) một bác sĩ yêu Toán, ông cũng đã nghiên cứu về đề tài này nhiều năm mà chưa có kết quả Cardano đã nhiều lần thuyết phục Tartaglia chia sẻ bí mật đó và đã được Tartaglia chấp thuận với một lời tuyên thệ sẽ không tiết lộ cho bất kì ai Tuy vậy, Cardano đã nuốt lời Ông đã công bố cách giải này trong một cuốn sách của mình và mặc dù trong lời nói đầu của cuốn sách ông có xác nhận rằng cách giải này là của Tartaglia, giới Toán học dường như vẫn chỉ nhớ đến ông khi nhắc đến phát minh này

Cũng dễ hiểu là Tartaglia đã bị tổn thương như thế nào, một cuộc tranh luận lớn nổ ra, và cũng như lần trước Tartaglia gửi đến một lời thách đấu Không may cho Tartaglia, lần này ông đã không ngờ rằng Lodovico Ferrari, một học trò tài ba của Cardano từ phương pháp được thầy mình truyền lại đã tìm ra được cách giải tổng quát cho phương trình bậc 4 Và vì vậy, trong cuộc tranh luận đó Tartaglia đã thất bại cay đắng và mang nỗi uất hận trong lòng cho đến khi ông mất…

Trên phương diện một người bạn, Cardano đã hành xử không đúng Nhưng không thể phủ nhận rằng, việc công bố rộng rãi phát minh này đã giúp ích rất nhiềucho sự phát triển của Toán học Lịch sử sẽ mãi vẫn là lịch sử, đúng hay sai đôi khi chỉ là tương đối Những hậu bối chúng ta hôm nay sẽ cùng tìm hiểu phát minh trọng đại này để rồi từ đó các bạn sẽ thấy một thành viên mới của gia đình nhà số:

số phức, đã xuất hiện kì ảo như thế nào

Tôi từng kể cho nhiều em học sinh nghe về cuộc hành trình tìm ra số phức, câu chuyện về phương pháp giải phương trình bậc 3 và hầu hết các em đều muốn hiểu rõ về phát minh quan trọng này Đó cũng là lý do tôi viết bài viết này và sẽ trình bày sau đây về phương pháp giải phương trình bậc 3 của Tartaglia:

+a x2

Thay vào (1) ta được:

Nhiều bạn sẽ hỏi tại sao biết cách đổi biến như vậy? Thật ra cũng đơn giản ban đầu

và thế vào phương trình (1) để được một phương trình bậc 3 mới theo y Đối với

chọn k bằng bao nhiêu

Để giải quyết phương trình (2) này, Tartaglia thực hiện thêm một lần đổi biến nữa

Trong đó u, v là 2 ẩn mới Các bạn có thể nghĩ rằng sao ta không đặt giống hồi nãy

để làm mất luôn hạng tử bậc nhất của (2) Rất tiếc là mưu đồ này chắc chắn sẽ thất bại vì nói chung khi đổi biến thích hợp để mất hạng tử bậc nhất thì nó lại “mọc” ra hạng tử bậc 2 ban đầu Bây giờ là lúc các bạn phải thật chú ý, việc đặt y=u+v thì u

và v hoàn toàn có quyền được “ràng buộc” với nhau theo một cách tùy ý nào đó Quyền chọn lựa ràng buộc này ta sẽ chọn lựa sau Còn bây giờ ta sẽ chuyển

phương trình (2) về dạng mới theo u, v:

(u+v)3+p (u+v )+q=0 ↔u3+v3+ (u+v ) (euv + p)+q=0

Để cho phương trình trở nên đơn giản hơn, ở đây ta sẽ sử dụng quyền ràng buộc

Tóm lại u, v thõa 2 điều kiện sau:

u3+v3=−qvà u3v3=−p3

27

Suy ra u3, v3 là 2 nghiệm của phương trình: t2

+qt− p3

27=0 (3)

Từ đó mà tìm được u,v tiếp theo là tìm y và cuối cùng là tìm được nghiệm x

Cũng không quá khó hiểu phải không các bạn Phương trình bậc ba với các phép đổi biến thích hợp đã được đưa về một phương trình bậc hai (phương trình (3)) Tuy vậy phương pháp tuyệt vời này lại có một điểm yếu chết người, và tôi sẽ chỉ ra điểm yếu này qua ví dụ sau đây:

Xét một phương trình bậc ba đơn giản mà chúng ta đã biết chắc chắn được 3

−x=0 (¿ ) Phương trình (*) rõ ràng là có 3 nghiệm 0,-1,1 Bây giờ

ta sẽ áp dụng phương pháp của Tartaglia để giải quyết nó Vì phương trình đã ở

( ¿ )↔(u+v)3−(u+v )=0 ↔u3+v3+ (u+v ) (3 uv−1)=0Tất nhiên là ta sẽ chọn u,v thõa: uv=13 Lúc này ( ¿ )↔ u3

+v3

= 0

27=0 (4)

Oái ăm thay phương trình (4) này lại vô nghiệm! Vậy 3 nghiệm ban đầu của mình

đã đi đâu mất? Điểm yếu của phương pháp này ở chỗ: Không phải bao giờ cũng tìm

cũng nhận thấy là không thể tìm được u,v nào thõa chẳng hạn

u+v=1 và uv=13.

Đứng trước khó khăn này các vị tiền bối của chúng ta có 2 sự lựa chọn Một là từ

bỏ phương pháp hấp dẫn này, còn sự lựa chọn thứ 2 mới nghe tưởng chừng rất liều lĩnh và điên rồ: Chấp nhận có căn bậc 2 của số âm để giải tiếp phương trình 6 tìm u,v Một ý định điên rồ nhưng đầy tham vọng Nào chúng ta sẽ thử:

Chúng ta cứ xem là có căn bậc hai của số âm, nói riêng là căn bậc hai của -1 và đặt

Lúc này ta có thể giải tiếp phương trình (4): ↔ t2= −1

hết bạn có thể kiểm tra chúng đích thị là căn bậc ba của i bằng cách lũy thừa bậc balên và kiểm tra xem có bằng i hay không? Còn nếu các bạn muốn tìm hiểu xem làm thế nào mà tìm được 2 căn bậc ba này thì tôi có thể nói luôn Chúng ta sẽ gọi các

phương trình đại số để tìm được a và b

Trở lại vấn đề, chúng ta tìm được 3 giá trị của u là:

Các bạn có để ý là tôi đã sắp xếp lại các giá trị của v theo một thứ tự khác với u vì

để cho tích các giá trị tương ứng của u và v là theo như ràng buộc ban đầu

Bây giờ là lúc gặt hái thành quả, hãy xem ba giá trị của x tìm được sẽ là:

√3(−i )+

1

√3(−i )=0

phép màu giúp ta vượt qua khó khăn bước tiếp theo con đường Tartaglia đã tìm ra

để rồi sau đó nó biến mất để lại cho chúng ta 3 nghiệm thực mà chúng ta đã biết từ

ban đầu rõ ràng là không có thực, bởi thế mà người ta gọi nó là “ảo” (chính xác hơn: đơn vị ảo) nhưng nó xuất hiện cứ như một phép màu của ông Bụt vậy, chỉ khác một điều là chúng ta không chấp nhận để nó biến mất mãi mãi Chúng ta níu giữ nó lại nghiên cứu để hiểu hơn về phép màu kì ảo này, phát triển lý thuyết về nó

để rồi bây giờ số phức (những số có dạng a+bi) đã tự hào là một thành viên quan trọng trong đại gia đình nhà số và góp phần tạo nên bước phát triển mới trong bảng vàng lịch sử của Toán học

2 Định nghĩa của số phức

Chúng ta biết rằng trong trường số thực R không thể phân tích thành thừa sốtam thức b c hai ậc hai ax 2 +bx+c khi ∆=b2−4 ac<0 Tuy nhiên sẽ rất ti n lợi nếu có thể ện lợi nếu có thể

Định nghĩa: T p ậc hai R2 cùng với hai phép toán c ng và nhân được định nghĩa như trên

Th t v y:ậc hai ậc hai z +(−z )=(a+(−a ), b+(−b))= (0,0)=0.

- Phép nhân có tính giao hoán:

- Phép nhân phân phối với phép c ng:

Hay số phức i là nghi m của phương trình ện lợi nếu có thể x2+ 1=0. Ta gọi i là đơn vị ảo

M nh đề: Dạng đại số của số phứcện lợi nếu có thể

Do đó

C={a+ bi⋮ a , b ∈ R , i2 =−1}

3.3 Các khái ni m liên quan ệ giữa R và C

- Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z): Re(z)= a.

Phần ảo của số phức z được ký hiệu là Im(z): Im(z)= b.

- Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b = 0, thì a + bi =

a + 0i = a là một số phức.

Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo.

Ví dụ: 1,2,-3 là những số thuần thực

3.4 Môđun của số phức

Định nghĩa: Cho số phức z=a+bi khi đó √a2+b2 gọi là modulus ( trị tuy t đối) ện lợi nếu có thể của số phức z

Kí hi u ệ giữa R và C : |z| =√a2+b2

M nh đề ệ giữa R và C :

Trong trường số phức không có khái niệm so sánh Nói một cách khác,

không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 như trong trường số thực Bất đẳng thức thức z1 < z2 hoặc z2 ≥ z1 không có nghĩa

trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác Nói cách khác, trường số phức không phải là trường sắp thứ tự

Phép lấy liên hợp:

của số phức z, kí hi u là ện lợi nếu có thể ´z Tức là

Th t v y:ậc hai ậc hai

3.6 Bài t p ập

DẠNG 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC:

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức

- Sử dụng các định nghĩa tính chất của số phức như mô đun, liên hợp, Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng như trong trường hợp số thực

Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của

V y ậc hai i n ∈{ −1 ;1 ;−i;i }∀ n ∈ N

Ví dụ 9: Tìm dạng đại số của số phức z=(2+5 i)(3+2 i) và tìm số phức liên hợp của nó

Giải

z=(2+5 i) (3+2i)=(6−10 )+(4+15 )i=−4+19i

Đặt z a bi a b R  ( ,  ), ta có z a bi 

Số phức liên hợp của z là: ´z=−4+19 i=−4−19 i´

Ví dụ 10: Tìm số phức z thoả mãn hệ:

1131

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.

Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức

Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun của số phức đã được chứng minh

Th t v y: Giả sử ậc hai ậc hai z=x + yi → ´z=x− yi

Giải bài toán trên:

Đ t ặp z=a+bi→ z2

=a2

−b2

+2 a+bi

nên ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 17: Chứng minh rằng nếu z 1

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 18: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện

3 3

Vậy ta có điều phải chứng mình

3.7 M t số bài t p tự v n dụng (có kèm đáp án) ột số bài tập tự vận dụng (có kèm đáp án) ập ập

(với n là số nguyên dương) b)

c) 2(a3 + b3 + c3) – 3(a2b + a2c + b2a + c2a + c2b) + 12abc d) a2 – ab + b2

Bài 6: Tìm các số liên hợp với :

a) Bình phương của chính nó b) Lập phương của chính nó

a) z2 – 2z + 4i b) 1





z i iz

d) -117 – 44i

Bài 11: a) Với điều kiện nào giữa a, b thì bình phương của z = a + bi là số thực, số ảo?

b)z3 = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i

Bài 12: Viết các số phức sau dưới dạng đại số:

a) z = 2i10 + i3 b) z = i2007 + i2008

ĐS: a) -2 –i ; b) 1 – i

Bài 13: Viết dưới dạng a + bi các số phức sau:

a) z = (1 + i)2– (1 – i)2 b) z = (2 + i)(-1 + i)(1 + 2i)2

33





i i

4 Dạng lượng giác của số phức

4.1 Định nghĩa

Số phức z = a + bi có thể biểu diễn như điểm M có toạ độ (a, b) trong mặt phẳng Oxy Ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo và Oxy là mặt phẳng phức Đặt r=|z|=√a2+b2 và gọi  là góc giữa OM và Ox thì ta có

 z biểu diễn bởi ⃗0 M→ thì ´z biểu diễn bởi ⃗OM→ ´znên có acgumen là φ + (2k + 1)π.

 ´z biểu diễn bởi M’ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – φ + 2kπ

 −´zbiểu diễn bởi –⃗OM ' nên có acgumen là – φ + (2k + 1)π

z = z−1 = ´z

|z|2, vì 1

|z|2 là một số thực nên z−1 có cùng acgumen với ´z là – φ + 2kπ

4.3 Bi u di n c a s ph cểu diễn của số phức ễn của số phức ủa số phức ố ức

Cho số phức z = a + bi Ta có thể viết z dưới dạng cực:

Khi đó ta nói z được biểu diễn dưới dạng lượng giác

Do đó hai số phức z1, z2≠ 0 biểudiễn dạng lượng giác z1=r1(cosα1+isin α1), z2 =r2(cosα2+isin

α2)

Giả sử z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì

z.z’ = r(cos + isin)* r’(cos’ + isin’) = rr’[(coscos’ - sinsin’) + i(cossin’ + cos’sin)] = r[cos(+’) + isin(+’)]

Trong đó: k ={0 , arg z1 +arg z2<2 π

1, arg z1+arg z2≥2 π

c) Có thể viết arg(z1z2¿ ={arg z1 +arg z2+k 2 π , k ∈ Z}

Công thức này được gọi là công thức Moivre

Sử dụng công thức này, ta có thể dễ dàng tính luỹ thừa của một số phức Chẳng

Từ đó, áp dụng công thức Moivre, ta được

d Căn bậc n của số phức

Định lý : Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2 z = r(cos + isin)

với r  0 là một số phức Khi đó có đúng n căn bậc n của z, là

3) 2

1 4



+i

3 4

3) Ta có: r3 = 2,  = 0  z3 = 2(cos0+isin0)

4) Ta có: r4 = 3,  =

3 2



 z4 = 2(cos

3 2



+isin

3 2



)5) Ta có: r5 = 12

Chọn  là số thực thoả mãn

1os

23sin

23sin



vậy z6 = 12(cos

2 3



+isin

2 3



)

7)Ta có: r7 = 18

Chọn  là số thực thoả mãn

1os

23sin

Nhận xét : Đây là một dạng bài tập rất phổ biến, cần chú ý cho học sinh cách

chọn số  thỏa mãn hệ phương trình lượng giác

ossin

r b r

23sin

và phần ảo bằng 0

2) Xét số phức:

Ta có:

1) cosa - isin a = cos(2 - a) + isin(2 -a) khi a  [0;2)



-2

a

)

- Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0)

 

9 5