Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là trên cơ sở các hệ thức lượng trong tam giác đã biết, định lí sin, định lý Côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác. Trong sáng kiến này trình bày các trường hợp cụ thể: về việc ứng dụng các hệ thức lượng trong tam giác đã biết để giải quyết một số bài toán có liên quan.
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn trong giảng dạy là một trong những nhiệm vụ trọng tâm giúp nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường, địa phương và xã hội. Việc giáo dục mũi nhọn (bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi đại học) giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực cá nhân trong đó phát triển năng lực sáng tạo là vơ cùng thiết yếu, phát triển năng lực sáng tạo khi giải tốn là rèn khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của tốn học Trong thực tế giảng dạy, ơn thi đại học và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 về phần hệ thức lượng trong tam giác tơi đã gặp một số bài tốn mà sách giáo khoa hiện nay khi giải thì rất khó và dài dịng. Cũng qua tìm tịi nghiên cứu tài liệu và giảng dạy tơi thấy khi hệ thống các dạng bài tập và đưa ra phương pháp làm cho từng dạng thì việc giải quyết các bài tốn được nhanh chóng và đơn giản hơn rất nhiều, góp phần giúp học sinh có thể lấy điểm bài này trong đề thi HSG, đề thi THPT quốc gia. Chính vì vậy sáng kiến của tơi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng tốn liên quan về hệ thức lượng trong tam giác cụ thể là: xác định các yếu tố trong tam giác, giải tam giác, chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác, tứ giác, nhận dạng tam giác Sáng kiến đã góp phần trang bị kiến thức cho học sinh để làm được một lớp các bài tập về hệ thức lượng tam giác trong kỳ thi học sinh giỏi, kì thi THPT Quốc gia trong các năm sắp tới và giảm bớt khó khăn lúng túng, tạo sự tự tin cho học sinh trong việc giải các bài tốn hình học 2. Tên sáng kiến: Một số bài tốn về thức lượng trong tam giác 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Tạ Thị Hồng Yến Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học Số điện thoại: 0962390261 . E_mail: hongyen.nth.vp@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tạ Thị Hồng Yến 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Lĩnh vực: Tốn học lớp 10 Vấn đề sáng kiến giải quyết: Bài tốn về hệ thức lượng trong tam giác 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử, (ghi ngày nào sớm hơn): Tháng 2 năm 2014 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến: Gồm ba phần PHẦN I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Trên cơ sở các hệ thức lượng trong tam giác đã biết, định lí sin, định lý Cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác. Trong sáng kiến này trình bày các trường hợp cụ thể: về việc ứng dụng các hệ thức lượng trong tam giác đã biết để giải quyết một số bài tốn có liên quan PHẦN II. CƠ SỞ THỰC TIỄN Tuy các hệ thức lượng trong tam giác rất đơn giản nhưng khi áp dụng vào giải quyết các bài tốn thì lại cần sự vận dụng linh hoạt, khéo léo để giải quyết được vấn đề bài tốn đưa ra Vì vậy việc hệ thống thành các dạng bài tập với phương pháp giải cho từng dạng là việc rất quan trọng giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh khi giải các bài tập dạng này PHẦN III. NỘI DUNG A. Kiến thức và phương pháp cần nhớ B. Nội dung chính: Các dạng tốn và phương pháp giải Dạng 1. Xác định các yếu tố trong tam giác Dạng 2. Giải tam giác Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác, tứ giác Dạng 4. Nhận dạng tam giác C. Bài tập ứng dụng D. Kết luận E. Tài liệu tham khảo A. Kiến thức và phương pháp cần nhớ 1. Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c Ta có : a = b + c − 2bc.cos A A b = c + a − 2ca.cos B c = a + b − 2ab.cos C b c Hệ quả: b2 + c2 − a cos A = 2bc c + a − b2 cos B = 2ca a + b2 − c2 cos C = 2ab B C a Hình 2.6 2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính đường trịn ngoại tiếp. Ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m a , m b , m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có : 2(b + c ) − a 2(a + c ) − b 2(a + b ) − c 2 m = , m b = , m c = 4 a 4. Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu h a , h b , h c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = a+b+c là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 2 S = ah a = bh b = ch c 2 = bcsin A = ca sin B = absin C = abc = pr = p(p − a)(p − b)(p − c) (cơng thức Hê–rơng) 4R B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác 1. Phương pháp Sử dụng định lí cơsin và định lí sin Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các cơng thức tính diện tích trong tam giác 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = và cos A = Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có BC = AB2 + AC − 2AB.AC.cos A = + − 2.4.6 = 16 Suy ra BC = Vì sin A + cos A = nên sin A = − cos A = − = 16 Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC = AB.AC.sin A = 4.6 = (1) 2 Mặt khác SABC = a.h a = 4.h a (2) Từ (1) và (2) suy ra 4.h a = � h a = Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là h a = 7 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính bằng 3, biết ﾵ = 300 , B ﾵ = 550 Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường trịn nội A tiếp tam giác Phân tích đề: Muốn tính độ dài đường trung tuyến ta phải tính được 3 cạnh của tam giác mà giả thiết chưa cho cạnh nào. Với giả thiết bài này ta biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và số đo 2 góc nên yếu tố đầu tiên ta nghĩ đến là tính góc cịn lại, sau đó sử dụng định lý Sin để tính các cạnh của tam giác Lời giải ﾵ = 1800 − A ﾵ −B ﾵ = 1800 − 300 − 550 = 950 Ta có C Theo định lí sin ta có a = 2R sin A = 2.3.sin 300 = , b = 2R sin B = 2.3.sin 550 = 6.sin 550 c = 2R sin C = 2.3.sin 950 = 6sin 950 Theo cơng thức đường trung tuyến ta có m = a ( b2 + c2 ) − a = ( 36sin 550 + 36sin 950 ) − 27.69 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có SABC = pr = bcsin A 36.sin 550.sin 950.sin 30 bcsin A � r = = �1,06 2p 6sin 550 + + 6sin 950 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết AB = 3, BC = 8, ﾵ cos AMB = 13 Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC 26 Phân tích: Với giả thiết ta xét tam giác ABM biết 2 cạnh và 1 góc, ta tính được cạnh cịn lại. Khi đó sử dụng cơng thức độ dài đường trung tuyến ta tính được độ dài cạnh còn lại của tam giác Lời giải BC = � BM = Đặt AM = x A AM + BM − AB2 ﾵ Theo định lí cơsin ta có: cos AMB = 2AM.AB B 13 x + 16 − Suy ra = 26 2.4.x C M Hình 2.7 x = 13 � 13x − 20 13x + 91 = � x= 13 13 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có AM = TH1: Nếu x = 13 � 13 = Ta có BC > AC > AB ( 32 + AC ) − 82 ( AB2 + AC ) − BC2 2AB.AC � AC = góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có AB2 + AC2 − BC + 49 − 64 cos A = = = − Suy ra A 2AB.AC 2.3.7 98012' 2 13 49 ( + AC ) − 397 TH2: Nếu x = � = � AC = 13 13 13 Ta có BC > AC > AB góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có 397 − 64 AB + AC − BC 53 13 cos A = = =− Suy ra A 137032' 2AB.AC 397 5161 2.3 13 2 9+ Ví dụ 4: Cho tam giác ABC thỏa mãn a b 2c = = 6− a) Tính các góc của tam giác. b) Cho a = Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Phân tích: Với giả thiết trên ta nghĩ đến hướng biểu diễn các cạnh theo cùng một yếu tố, sau đó sử dụng định lý Cosin để tính các góc của tam giác ABC Lời giải: a) Đặt a = t > � a = 3t, b = 2t, c = − t Áp dụng định lí cơsin ta có ( ) ) 2 b + c − a 2t + − t − 3t cos A= = = − � A = 1200 2bc 2 −1 t ( ( ) 2 a + c − b 3t + − t − 2t cos B= = = � B = 450 , C = 150 2ac 2 3− t ( b) Áp dụng định lí sin, ta có: R = ) a = = 2sin A 2sin1200 DẠNG 2: Giải tam giác 1. Phương pháp Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước Trong các bài tốn giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh. Để tìm các yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn 2. Các ví dụ ﾵ = 600 , B ﾵ = 400 và c = 14 Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết A Phân tích: Từ giả thiết ta biết 1 cạnh và 2 góc, ta sẽ xác định được góc thứ ba ln. Muốn xác định được các cạnh cịn lại ta sử dụng định lý sin Lời giải ﾵ = 1800 − A ﾵ −B ﾵ = 1800 − 600 − 400 = 800 Ta có C Theo định lí sin ta có a csin A sin C 14.sin 600 = sin 800 b csin B sin C 14.sin 400 = b 9,1 = sin 800 a 12,3 = ﾵ = 850 Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết b = 30; c = 35 và A Phân tích: Từ giả thiết biết 2 cạnh và 1 góc ta xác định tính cạnh a trước bằng cách sử dụng định lý cơsin, sau đó sử dụng định lý sin để tính các góc cịn lại Lời giải Theo định lí cơsin ta có a = b + c − 2bc.cos A = 302 + 352 − 2.30.35.cos850 Suy ra a 44,07 Theo định lí sin ta có sin B bsin A a 30sin 850 ﾵ = B 44,07 42=0 41' ﾵ = 1800 − A ﾵ −B ﾵ 1800 − 850 − 420 41' = 52019' Suy ra C Ví dụ 3: Giải tam giác ABC biết a = 4, b = 5,c = Phân tích: Với bài tốn biết ba cạnh của tam giác, muốn xác định các góc của tam giác đó ta sử dụng định lý cơsin Lời giải: Ta có: cos A b + c − a 58 = 2bc 70 ﾵ A 34=03' cosB a + c − b 40 = 2ac 56 ﾵ B 44=0 25' ( ) ﾵ = 1800 − A ﾵ +B ﾵ = 101032' Suy ra C Tiếp theo ta xét ví dụ liên quan đến tìm các yếu tố trong tam giác với mức độ phức tạp hơn bài tốn trên, cần vận dụng linh hoạt các phép biến đổi Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, BC = a = 10, AC = b, AB = c , bán kính đường trịn nội tiếp r = Tính độ dài b và c Lời giải: Áp dụng định lý hàm sin ta có: a a 10 = 2R � R = = sin A 2sin A 10 CD + DA = 2DE + AC (2) Từ (1) và (2) suy ra AB2 + BC2 + CD + DA = ( BE + DE ) + AC2 BD Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE = 2EF + 2 2 Suy ra AB2 + BC2 + CD + DA = AC + BD + 4EF2 b) Góc A vng � m 2b + m c2 = 5ma2 Ví dụ 12: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Hải Dương năm học (2018 – 2019) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B,C Gọi diện tích các tam giác ABC HEK lần lượt là S∆ABC và S∆HEK Biết rằng S∆ABC = 4S∆HEK , chứng minh sin A + sin B + sin C = Lời giải: Đặt S = SABC thì từ giả thiết suy ra SEAK + SKBH + SHCE A S S S = S � EAK + KBH + HCE = S S S SEAK AE.AK sin A AE AK = = = cos A.cos A = cos A S AB.ACsin A AB AC E K B H C SKBH BK.BH.sin B BK BH = = = cos B.cos B = cos B S AB.BCsin B BC AB SHCE CH.CE.sin C CH CE = = = cos C.cos C = cos C S AC.BCsin C AC BC SEAK SKBH SHCE 3 + + = � cos A + cos B + cos C = S S S 4 21 � − sin A + − sin B + − sin C = � sin A + sin B + sin C = 4 DẠNG 4: Nhận dạng tam giác 1. Phương pháp giải Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = 2sin Bcos A Chứng minh minh rằng tam giác ABC cân Lời giải: Áp dụng định lí cơsin và sin ta có: sin C = 2sin Bcos A � c b b2 + c2 − a c = b + c − a � a = b = 2R 2R 2bc Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = sin B + sin C . Chứng minh rằng cos B + cos C tam giác ABC vuông Lời giải Ta có: sin A = sin B + sin C � sin A(cos B + cos C) = sin B + sin C cos B + cos C a c2 + a − b2 a + b2 − c2 b+c � ( + )= 2R 2ca 2ab 2R � b(c + a − b ) + c(a + b − c ) = 2b 2c + 2c b 22 � b3 + c3 + b 2c + bc − a b − a 2c = � (b + c)(b + c ) − a (b + c) = b + c = a � ∆ABC vng tại A Thay đổi một chút giả thiết của bài tốn trên ta có bài tốn sau Ví dụ 3: Trích Đề thi HSG 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2016 2017 Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng nếu sin A = sin B + 2sin C thì tam giác ABC vng 2cos B + cos C Lời giải: Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lí Sin, Cosin trong tam giác ABC ta có sin A = sin C = a b ,sin B = , 2R 2R c a + c2 − b a + b2 − c2 , cos B = ,cos C = 2R 2ac 2ab Khi đó sin A = sin B + 2sin C b + 2c �a= 2 a + c − b a + b2 − c2 2cos B + cos C + 2ac 2ab � 2a b − 2c b − 2b − b 2c + ca − c3 = � ( 2b + c ) ( a − b − c ) = � a = b + c Vậy tam giác ABC vuông tại A Ví dụ 4: Trích Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2014 2015 Cho tam giác ABC khơng vng và có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn a + b = 2c và tan A + tan C = tan B thì tam giác ABC đều Lời giải: 23 Theo định lí hàm số sin và cơsin ta có: a sin A abc tan A = = 2R2 = 2 cos A b + c − a R ( b + c2 − a ) 2bc abc abc Tương tự ta có tan B == R c + a − b , tan C = R a + b − c ( ) ( ) � tan A + tan C = 2.tan B � � abc abc abc + = R ( b + c2 − a ) R ( a + b − c2 ) R ( a + c2 − b ) 1 + = 2 2 2 b +c −a a +b −c a + c − b2 � ( c2 + a − b ) ( a + b − c2 ) + ( b2 + c2 − a ) ( a + c2 − b ) ( = ( b2 + c2 − a ) ( a + b2 − c2 ) � a − ( b2 − c2 ) + c4 − ( a − b ) = b − ( a − c2 ) 2 ) � a ( a + b − 2c ) + ( c − b ) ( c + 2b ) = � b = c (do a + b = 2c ), kết hợp với a + b = 2c � a = b = c Tiếp theo chúng ta xét ví dụ sau cần vận dụng nhiều cơng thức hệ thức lượng và bất đẳng thức để giải quyết được bài tốn Ví dụ 3: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Hà Nam năm học 20132014 Cho tam giác ABC có AC = b, AB = c, BC = a là độ dài ba cạnh của tam giác, m a , m b , m c là độ dài 3 đường trung tuyến lần lượt xuất hát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích của tam giác. Chứng minh rằng nếu: 1 + + = thì tam giác ABC đều abm c bcm a acm b 2RS Lời giải: Ta có: 1 1 + + = � + + = abm c bcm a acm b 2RS abm c bcm a acm b abc 24 c b a + + = 2 3m c 3m b 3m a a = Mà 3ma a2 a Nên 3ma Do đó = 2b + 2c − a 3a Vì 3a 2b + 2c − a 2 2a 3a 2b + 2c − a 3a + 2b + 2c − a = b + c2 + a 2 2a b 2 , tương tự a +b +c 3m b c b a + + 3m c 3m b 3m a 2b , a + b2 + c2 c 3m c 2c a + b2 + c2 dấu bằng xảy ra khi 3a = 2b + 2c − a 3b = 2a + 2c − b � a = b = c 3c = 2b + 2a − c Vậy khi đó tam giác ABC đều Tiếp theo với việc sử dụng định lý Sin và bất đẳng thức Cơsi ta có thể giải quyết được bài tốn sau: Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường trịn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức S = R ( sin A + sin B + sin C ) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều Lời giải: a3 B3 c3 3 Theo định lí sin ta có : sin A = ; sin B = ;sin C = 8R 8R 8R 2 �a b3 c3 � a + b + c3 VT = R � + + �= �8R 8R 8R � 12R 25 Áp dụng bắt đẳng thức cơsi ta có: a + b3 + c3 3abc abc 4R VT Mà S = abc , dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 4R ABC đều Ví dụ 5: Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) a.sin A + bsin B + csin C = h a + h b + h c cos A + cos B b) = (cot A + cot B) sin A + sin B Lời giải 2 a) Áp dụng cơng thức diện tích ta có S = bcsin A = ah a suy ra a.sin A + bsin B + csin C = h a + h b + h c a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c � a + b + c = ab + bc + ca � ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = � a = b = c 2 Vậy tam giác ABC đều b) Ta có: cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B cos A + cos B + sin A + sin B � = (cot A + + cot B + 1) 2 sin A + sin B � 1 = ( + ) � (sin A + sin B) = 4sin A sin B sin A + sin B sin A sin B 2 �a � �b � � sin A = sin B � � �= � �� a = b � ∆ABC cân tại C �2R � �2R � 2 26 C. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b + c Chứng minh rằng a) Tam giác ABC nhọn b) 2sin A = tan B tan C Bài 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu cot A = b2 = ( cot B + cot C ) thì 2 (a +c ) Bài 3: Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) S = 2R sin A sin Bsin C b) S = Rr(sin A + sin B + sin C) Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi cơng thức: S = AC.BD.sin α ﾵ Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC = 1200 , AD là đường phân giác trong (D thuộc BC). Chứng minh rằng 1 = + AD AB AC Bài 6: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: a) cos A + cos B ( b + c − a ) ( c + a − b ) b) = a+b 2abc (c + b − a ) tan A = ( c + a − b ) tan B Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Chứng minh rằng 27 a) h a p(p − a) b) a b + b 2c + c 2a R (a + b + c) Bài 8: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: r2 + ( p − a ) + r2 + ( p − b) + r2 + ( p − c) ab + bc + ca Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp. Chứng minh rằng r = (p − a) tan A B C = (p − c) tan = (p − c) tan 2 c b Bài 10: Cho tam giác ABC có = mb mc Chứng minh rằng 2cot A = cot B + cot C Bài 11: Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ﾵ ﾵ ﾵ MAB = MBC = MCA = α Chứng minh rằng : cot α = cot A + cot B + cot C ﾵ ﾵ ﾵ Bài 12: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và GAB = α, GBC = β, GCA =γ Chứng minh rằng cot α + cot β + cot γ = 3( a + b2 + c2 ) 4S Bài 13: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng ( a − b ) cot C A B + ( b − c ) cot + ( c − a ) cot = 2 Bài 14: Cho hình bình hành ABCD có AC = 3AD Chứng minh rằng ﾵ cot BAD Bài 15: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và diện tích S. Chứng minh rằng a + b2 + c2 3.S Bài 16: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân nếu h a = c.sin A 28 Bài 17: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân nếu 4m a2 = b ( b + 4c.cos A ) Bài 18: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi a + b + c = 36r Bài 19: Cho tam giác ABC Tìm góc A trong tam giác biết các cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: b(b − a ) = c(c − a ),(b c) a + c3 − b = b2 ∆ ABC Bài 20: Cho thoả mãn điều kiện: a + c − b Chứng minh rằng a = 2b cos C ∆ABC đều Bài 21: Trong tam giác ABC , chứng minh rằng nếu diện tích tính theo cơng thức S = ( a + b − c ) ( a − b + c ) thì tam giác ABC đều Bài 22: Cho ∆ABC thỏa mãn: + cos B 2a + c = Chứng minh rằng tam giác sin B 4a − c ABC là tam giác cân Bài 23: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A hoặc B khi và chỉ khi sin C = cos A + cos B Bài 24: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau và có R.r = ( bc + 10 ) . Chứng mình rằng tam giác ABC cân Bài 25: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi sin A B ab sin = 2 4c Bài 26: Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại tại B khi và chỉ khi p tan B C tan = p − c 2 29 D. KẾT LUẬN 1. Kết luận Sáng kiến một số ứng dụng của vectơ giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo trong giải tốn, củng cố, hệ thống được kiến thức để giải một số các bài tốn trong hình học phẳng. Trên đây chỉ là nhứng kết quả nghiên cứu ban đầu của tơi. Hy vọng đề tài trở thành tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và những người quan tâm đến vấn đề này. Do thời gian có hạn chế nên việc nghiên cứu khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp 2. Khuyến nghị Đối với giáo viên: Khơng ngừng tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Đối với các cấp: Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy, kiến thức về hệ thức lượng khơng phải khó tiếp thu đối với học sinh mà ứng dụng trong bài tập lại hiệu 30 quả. Nhưng nội dung này lại chưa có nhiều bài tập vận dụng trong sách giáo khoa. Điều đó làm khó khăn cho giáo viên khi hướng dẫn học sinh làm bài tập Tơi mong có nhiều tài liệu tham khảo hơn nữa về vấn đề này. E. Tài liệu tham khảo Sách bài tập hình học nâng cao 10 – NXB Giáo dục Sách giáo khoa hình hoc 10 – NXB Giáo dục Một số đề thi học sinh các tỉnh 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến Đề tài có thể áp dụng để giải quyết các bài tốn có liên quan đến các hệ thức lượng trong tam giác ở các trường THPT khơng chun trên địa bàn Tỉnh Vĩnh Phúc Tiếp tục xây dựng, lựa chọn các dạng bài tập áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vào giải quyết Dùng đề tài làm tài liệu cho q trình giảng dạy, ơn thi đai hoc cao đăng ̣ ̣ ̉ và bồi dưỡng học sinh giỏi Tiếp tục nghiên cứu áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vào giải các bài tốn bất đẳng thức hình học, các bài tốn nhận dạng tam giác 8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh: là đối tượng học sinh lớp 10 THPT 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã 31 tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: * Đối với giáo viên: Bồi dưỡng chun mơn Thêm u nghề * Đối với học sinh: Thơng qua việc giảng dạy các lớp chun đề và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ơn thi đại học tơi đã áp dụng đề tài trên và nhận thấy: 1. Học sinh có khả năng tiếp thu, vận dụng chính xác dạng bài tập có liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác 2. Học sinh nắm chắc kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và tự tin giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, đề thi học sinh giỏi. Kết quả điểm kiểm tra được nâng lên rõ rệt 3. Hình thành được tư duy lơgic, kỹ năng giải các bài tốn khó về hệ thức lượng trong tam giác va nh ̀ ận dạng tam giác. Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Kêt qua cu thê: ́ ̉ ̣ ̉ Lơp 10: ́ Trước khi áp dụng Số học sinh làm Số bài điểm ≥ Số bài điểm ≥ 8 35 10 35 20 SK Sau khi áp dụng SK 32 Kết quả bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi sau khi áp dụng sáng kiến: Đội tuyển HSG lớp 10 đạt 4 giải khuyến khích Đội tuyển HSG lớp 12 đạt 1 giải ba, hai giải khuyến khích 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: * Đối với giáo viên: Bồi dưỡng chun mơn Thêm u nghề * Đối với học sinh: 1. Học sinh có khả năng tiếp thu, vận dụng chính xác dạng bài tập có liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác 2. Học sinh nắm chắc kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và tự tin giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, đề thi học sinh giỏi. Kết quả điểm kiểm tra được nâng lên rõ rệt 3. Hình thành được tư duy lơgic, kỹ năng giải các bài tốn khó về hệ thức lượng trong tam giác va nh ̀ ận dạng tam giác. Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Kêt qua cu thê: ́ ̉ ̣ ̉ Lơp 10: ́ Trước khi áp dụng Số học sinh làm Số bài điểm ≥ Số bài điểm ≥ 8 35 10 35 20 SK Sau khi áp dụng SK 33 Kết quả bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi sau khi áp dụng sáng kiến: Đội tuyển HSG lớp 10 đạt 4 giải khuyến khích Đội tuyển HSG lớp 12 đạt 1 giải ba, hai giải khuyến khích * Năng lực chun biệt: Năng lực sáng tạo 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Lớp 10A5 Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Nguyễn Thái Học Toán học lớp 10 Tạ Thị Hồng Yến Trường THPT Nguyễn Thái Học Toán học lớp 12 ., ngày tháng năm , ngày tháng năm Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 2 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Tạ Thị Hồng Yến 34 35 ... 1. Học sinh có khả năng tiếp thu, vận dụng chính xác dạng? ?bài? ?tập có liên quan đến hệ? ?thức? ?lượng? ?trong? ?tam? ?giác? ?và giải? ?tam? ?giác 2. Học sinh nắm chắc? ?kiến? ?thức? ?về? ? hệ? ?thức? ?lượng? ?trong? ?tam? ?giác? ?và tự tin giải quyết các? ?bài? ?tập? ?trong? ?sách giáo khoa, sách? ?bài? ?tập, đề thi học sinh giỏi. ... quan đến hệ? ?thức? ?lượng? ?trong? ?tam? ?giác? ?và giải? ?tam? ?giác 2. Học sinh nắm chắc? ?kiến? ?thức? ?về? ? hệ? ?thức? ?lượng? ?trong? ?tam? ?giác? ?và tự tin giải quyết các? ?bài? ?tập? ?trong? ?sách giáo khoa, sách? ?bài? ?tập, đề thi học sinh giỏi. ...2. Tên? ?sáng? ?kiến: ? ?Một? ?số? ?bài? ?toán? ?về? ?thức? ?lượng? ?trong? ?tam? ?giác 3. Tác giả? ?sáng? ?kiến: Họ và tên: Tạ Thị Hồng Yến Địa chỉ tác giả? ?sáng? ?kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học ? ?Số? ?điện thoại: 0962390261 . E_mail: hongyen.nth.vp@gmail.com