Giáo trình Quy hoạch toán học Ngô Hữu Tâm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN Giáo trình QUY HOẠCH TỐN HỌC  Biên soạn : Ngô Hữu Tâm (Lưu hành nội - 2016) Quy hoạch Tuyến tính Lời mở đầu Giáo trình “Quy hoạch Tốn học” biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình gồm chương: Chương : Ôn tập bổ túc số kiến thức đại số tuyến tính giải tích lồi Chương : Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương : Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Chương 3: Bài toán vận tải Chương 4: Bài toán sản xuất đồng Chương 5: Phương pháp sơ đồ mạng PERT-CPM Nội dung môn học phong phú Tuy nhiên, thời lượng dành cho môn học có 45 tiết Do đó, để tiếp thu tốt môn học, bạn sinh viên cần đọc kỹ học giáo trình trước đến lớp Các bạn cần làm tập vừa đủ để hiểu rõ nội dung, ý nghóa toán nắm vững thuật toán, mà không nên thời gian nhiều với việc tính toán Trước chương tác giả nêu nội dung, kiến thức mà sinh viên cần phải đạt Dựa vào mà bạn sinh viên biết phải học gì, cần phải hiểu rõ khái niệm nào, nội dung cần phải nắm vững toán dạng phải làm Trong chương, tác giả đưa vào nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ khái niệm vừa trình bày đồng thời nhiều ứng dụng vào thực tế Sau chương có phần tập chọn lọc phù hợp để sinh viên tự luyện tập nhằm đạt hiểu biết sâu rộng khái niệm đọc qua thấy ứng dụng rộng rãi kiến thức vào thực tế Để tiện cho việc ứng dụng vào thực tiễn, sinh viên cần tìm hiểu thêm việc sử dụng phần mềm tính toán cho môn học : Excel, Matlab , Maple , -Phần thực qua thu hoạch nhóm với nội dung chương sinh viên học môn với tác giả giáo trình Quy hoạch Tuyến tính Tuy có nhiều cố gắng công tác biên soạn , chắn giáo trình thiếu sót Chúng xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp bạn sinh viên đồng nghiệp để giáo trình ngày hoàn chỉnh Thư góp ý xin gửi : Ngô Hữu Tâm Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa học Cơ Bộ môn Toán Email: tamnh@hcmute.edu.vn huutamngo@yahoo.com.vn Cuộc sống nảy sinh vấn đề (bài toán) cần giải Mỗi giải vấn đề, sau tìm phương án, thường hài lòng với phương án vừa tìm ,mà nghĩ vấn đề cịn giải phương án khác tốt Như vậy, tìm phương án để giải vấn đề, phải tìm phương án tốt (nếu có thể) Phương án tốt để giải vấn đề với số điều kiện, ràng buộc cho trước gọi phương án tối ưu Mỗi vấn đề cần giải nằm hệ thống định Bản thân hệ thống lại nằm hệ thống khác lớn gồm nhiều hệ thống nhỏ Các hệ thống chịu tương tác ảnh hưởng lẫn Hơn nữa, vấn đề lại chứa đựng bên hệ thống nhỏ chúng chịu tương tác ảnh hưởng lẫn Do đó, để bảo đảm vấn đề mà quan tâm giải cách xác, cần phải ý đến tất mối liên hệ ảnh hưởng nêu Quy hoạch Tuyến tính Chương ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ GIẢI TÍCH LỒI Ma trận Một ma trận A cấp mn ( cỡ mn ) R bảng chữ nhật gồm mn phần tử R viết thành m hàng n cột sau:  a11  a A =  21   a  m1 a12 a 22  a m2 a1n    a 2n       a mn   hay  a11 a A =  21    a m1 a12 a 22  a m2 a1n   a n       a mn   Trong aij  R phần tử vị trí hàng thứ i cột thứ j ma trận A Đôi ma trận A ký hiệu vắn tắt laø : A = [aij]mxn = ( aij)mxn = A mxn  x1    x  Ma trận cột ma trận có cột : X =      x   n Ma trận hàng ma trận có hàng: Y = y1 y2 y n  Ma trận có số hàng số cột gọi ma trận vuông Ma trận vuông có n hàng gọi  a11  a ma trận vuông caáp n: A =  21   a  n1 a12 a 22  an2 Ma trận tam giác treân:  a11        a12 a 22   a1n    a 2n  = [aij]nxn      a nn   Ma traän tam giác dưới:  a1n    a 2n  , aij = neáu i > j      a nn  Ma trận đơn vị cấp n ký hiệu In hay I:  a11   a 21    a  n1   a 22   , aij = neáu j > i      a n  a nn  1  0   0  0 In =  =I       0  1     Các phép toán ma trận i) Ma trận nhau: Cho ma trận A = [aij]mxn, B = [bij]mxn ĐN A = B  aij = bij ;  i = , m ; j = 1, n ii) phép cộng, trừ ma trận cấp: Cho A = [aij]mxn, , B = [bij]mxn Quy hoạch Tuyến tính ĐN A + B  [aij + bij]mxn ; ÑN  [aij - bij]mxn A-B iii) Phép nhân số với ma trận: Cho A = [aij]mxn ,   R ĐN  A  aijmxn iv)Phép nhân hai ma trận có cấp thích hợp:(số cột ma trận trước phải số hàng ma trận sau) Cho ma trận A = [aij]mxn, B = [bij]nxp ÑN  n   k   mxp AB    a ik b kj  ĐN v) Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị A = [aij]mxn, ký hiệu AT , AT  [ a Tji ]nxm với a Tji = aij , tức AT có từ A cách chuyển hàng thành cột  Phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận Có loại phép biến đổi sơ cấp hàng: Loại Hoán vị hai hàng : hi  hj Loại Nhân số khác vào hàng : hi  hi,   Loại Thay hàng hàng cộng với  lần hàng khác: hi + hj  hi , ij Kết hợp loại loại ta : hi + hj  hi ,   0, ij Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính R hệ thống gồm m phương trình bậc (n ẩn số) có dạng tổng quát sau: a 11 x  a 12 x   a 1n x n  b1  a11 a12  a1n   x1   b1         a 21 a 22  a n   x   b2  a 21 x  a 22 x   a 2n x n  b (I)       =             a   x  b  a x  a x   a x  b a a  m1 m2 m n   m2 mn n m  m1  mn     A X B  AX =B Trong aij  R ( gọi hệ số) bi  R ( gọi hệ số tự do) số cho trước, xj ẩn cần tìm (trong R) - Ma trận A gọi ma trận hệ số hệ phương trình (I) - Ma trận B gọi ma trận cột hệ số tự - Ma trận X gọi ma trận cột ẩn số Quy hoạch Tuyến tính -  a 11 a 12 a 1n : b1     a 21 a 22 a 2n : b   = (AB) gọi ma trận hệ số bổ sung Ma trận A       a a a mn : b m   m1 m2 hệ phương trình tuyến tính (I) gọi tắt ma trận bổ sung - Nghiệm hệ (I) số (c1 , c2, … , cn ) cho thay xi ci tất phương trình hệ thỏa - Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có tập hợp - nghiệm Một hệ phương trình tuyến tính gọi tương thích có nghiệm  Định lý Cronecker - Capelli (n số ẩn số hệ phương trình) i) r(A) = r( A ) = n  HPT (I) có nghiệm ii) r(A) = r( A ) < n  HPT (I) có vô số nghiệm.(khi có n-r(A) ẩn số tự do) iii) r(A) < r( A )  HPT (I) vô nghiệm iv) r(A) = r( A )  HPT (I) coù nghiệm ( hệ tương thích) Không gian vectơ m Không gian vectơ m tập m = x  (x , x , , x m ) / x i  R , i  1, m  với phép cộng vectơ phép nhân số với vectơ sau: m m  x = (x1 , x2 ,…, xm)   , y = (y1 , y2 ,…, ym)   ,     ĐN  Phép cộng vectơ: x + y  (x1 + y1, x2 + y2 , …, xm + ym)  Phép nhân số với vectơ:  x ĐN  (  x1,  x2,.…,  xm) Mỗi vectơ x = (x1 , x2 ,…, xm) gọi vectơ m chiều Vectơ không hay vectơ zero = (0, 0, , 0)  Tổ hợp tuyến tính: Vectơ x gọi tổ hợp tuyến tính vectơ u1, u2, …, un tồn số α1 , α , , α n  R cho x = α1 u1  α u   α n u n  Phụ thuộc tuyến tính: Các vectơ u1, u2, ……, un gọi phụ thuộc tuyến tính tồn số α1 , α , , α n  R không đồng thời cho α1 u1  α u   α n u n =  Độc lập tuyến tính: Các vectơ u1, u2, ……, un gọi độc lập tuyến tính : α1 u1  α u   α n u n =  α1  α   α n  Quy hoạch Tuyến tính  Cơ sở: Các vectơ u1, u2, …, um gọi sở không gian vectơ m chúng độc lập tuyến tính vectơ x m tổ hợp tuyến tính vectơ u1, u2, …, um  Tích vô hướng Euclide m tích vô hướng định nghóa sau: m  x = (x1 , x2 ,…, xm)   , y = (y1 , y2 ,…, ym)   m ÑN  x1 y1 + x2 y2 + ….+ xm ym  Chuẩn hay độ dài vectơ x, ký hiệu x : ĐN x   x, x   Không gian m với tích vô hướng không gian Euclide 1  0  0        0 1  0 m  Trong không gian vectơ  , vectơ cột e1 =   , e2 =   , …., em =   laàn           0  0 1       lượt gọi vectơ đơn vị thứ 1, 2, …., m Hệ phương trình tuyến tính chuẩn Cho hệ phương trình tuyến tính a 11 x  a 12 x   a 1n x n  b1  a 21 x  a 22 x   a 2n x n  b (I’)    a x  a x   a x  b m2 mn n m  m1  a11 a12  a1n     a 21 a 22  a n          a  a  a m1 m2   mn   A  x1   b1       x   b2     =        x  b  m n    X B Hệ (I’) gọi hệ phương trình tuyến tính chuẩn từ ma trận A, ta chọn m cột xếp lại để ma trận đơn vị cấp m Ví dụ x  a) Hệ    x2 x3  10x  2x  15x  3x  3x  7x 1  hệ phương trình chuẩn ma trận  3  0 10     hệ số A =   15  có cột 1, 2, thành ma trận đơn vị 0      a1 m 1 x m 1    a1n x n  b1  x1   x2    a m 1 x m 1    a n x n  b2  hệ phương b) Hệ         x m  a m m 1 x m 1    a mn x n  bm Quy hoạch Tuyến tính   a1 m 1    a m 1 trình chuẩn ma trận hệ số A =        0  a m m 1  a1n    a 2n  có cột 1,2,…,      a mn   m thành ma trận đơn vị 2x1  c) Heä 3x1 x   x2  2x  3x  3x  x3  x5 2  hệ phương trình chuẩn ma traän  x6   2x  x4 2 0   hệ số A =  2 0  có cột 5, 3, thành ma trận đơn vị 1 1    Ẩn bản-Nghiệm  Xét hệ phương trình chuẩn (I’) Khi đó, ẩn ứng với véctơ cột đơn vị ma trận A gọi ẩn (ẩn sở); ẩn khác gọi ẩn không Ẩn ứng với vectơ đơn vị thứ i gọi ẩn thứ i Sắp xếp ẩn theo thứ tự vectơ đơn vị 1, 2, , m ta hệ ẩn Cần lưu ý có nhiều ẩn ứng với véctơ cột đơn vị chọn ẩn làm ẩn bản, ẩn lại ẩn không  Nghiệm hệ phương trình chuẩn mà ẩn không gọi nghiệm Nói cách khác, nghiệm hệ phương trình tuyến tính chuẩn nghiệm nhận từ dạng nghiệm tổng quát cho ẩn không nhận giá trị Ví dụ x  a) Hệ phương trình chuẩn :    x2  3x  2x  10x  15x x3  3x  x5 1  có ẩn  3 thứ 1, 2, x1, x2, x5 hệ ẩn (x1, x2, x5); ẩn không x3, x4 Một nghiệm hệ (x1, x2, x3, x4, x5) = (1, 2, 0, 0, -3) 2x1  b) Hệ phương trình chuẩn 3x1 x   x2  2x  3x  x3  3x  2x  x5  x4 2  coù ẩn  x6  thứ 1, 2, x5, x3, x6 hệ ẩn (x5, x3, x6); ẩn không x1, x2, x4 Một nghiệm hệ (x1,x2, x3, x4, x5, x6) = (0,0,4,0,2, 3)  Phép khử Gauss- Jordan Xét hệ phương trình chuẩn Quy hoạch Tuyến tính x      x2 x2 x2  10x  x3  15x  3x 2  x5  có ẩn x1, x3, x5 hệ ẩn  3 (x1, x3, x5); ẩn không x2, x4 Nghiệm ban đầu (x1, x2, x3, x4, x5) = (2, 0, 1, 0, -3) Ma trận bổ sung hệ  1 10   1 10     h h ; h h  * A =  1  15       1  25   = A 0   0   5      Hệ phương trình chuẩn ứng với ma trận bổ sung A* có ẩn x2, x3, x5 hệ ẩn (x2, x3, x5); ẩn không x1, x4 Nghiệm hệâ (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 2, -1, 0, -5) Phép biến đổi ma trận bổ sung gọi phép khử Gauss-Jordan với phần tử trục xoay a12 Phép khử biến cột thành cột vectơ đơn vị thay cho cột đồng thời giữ nguyên hai cột vectơ đơn vị cột cột 5, đưa ẩn x1 khỏi hệ ẩn ẩn x2 vào hệ ẩn Khái niệm tập lồi, điểm cực biên  Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng, nửa không gian  Cho hai điểm a, b không gian Euclide n Đường thẳng qua hai điểm a, b tập tất điểm x n có dạng: x = a + (1-)b ,    Nếu    ta có đoạn thẳng nối hai điểm a b Khi đó, điểm x = a +(1-)b với