Bài viết giới thiệu phương pháp đường mức dưới sự hỗ trợ của phần mềm Desmos - công cụ dạy và vẽ đồ thị để phân tích và định hướng tìm lời giải sơ cấp cho bài toán bất đẳng thức ở phổ thông. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa ra một số nhận định để cho thấy việc sử dụng phần mềm Desmos trong việc dự đoán điểm rơi của bài toán bất đẳng thức lợi thế hơn một số phương pháp dự đoán điểm rơi trước đó.
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 1, 2022, 3-11 PHƢƠNG PHÁP ĐƢỜNG MỨC KẾT HỢP VỚI PHẦN MỀM DESMOS TRONG VIỆC ĐỊNH HƢỚNG LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Phạm Thị Trân Châu1*, Võ Đức Thịnh2, Ngô Thị Kim Yến1 Trần Thuỵ Hồng Yến2 Sinh viên, Khoa Sư phạm Tốn - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: phamthitranchau2000@gmail.com Lịch sử báo Ngày nhận: 19/5/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 28/7/2021; Ngày duyệt đăng: 28/8/2021 Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi giới thiệu phương pháp đường mức hỗ trợ phần mềm Desmos - công cụ dạy vẽ đồ thị để phân tích định hướng tìm lời giải sơ cấp cho toán bất đẳng thức phổ thơng Bên cạnh chúng tơi đưa số nhận định thấy việc sử dụng phần mềm Desmos việc dự đoán điểm rơi toán bất đẳng thức lợi số phương pháp dự đốn điểm rơi trước Hơn nữa, thơng qua việc mơ tả nghiệm tốn tối ưu qua hình ảnh trực quan, người dùng cảm nhận tốt mối liên hệ nghiệm tối ưu toán với nghiệm khả thi khác, từ có hiểu biết sâu sắc tốn tối ưu nói chung tốn bất đẳng thức nói riêng Từ khóa: Bất đẳng thức, dự đoán điểm rơi, phần mềm Desmos, phương pháp đường mức - THE LEVEL-SET METHOD COMBINED WITH DESMOS SOFTWARE TO ORIENT THE SOLUTION OF INEQUALITY PROBLEMS Pham Thi Tran Chau1*, Vo Duc Thinh2, Ngo Thi Kim Yen1, and Tran Thuy Hoang Yen2 Student, Department of Mathematics and Information Technology Teacher Education, Dong Thap University Department of Mathematics and Information Technology Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: phamthitranchau2000@gmail.com Article history Received: 19/5/2021; Received in revised form: 28/7/2021; Accepted: 28/8/2021 Abstract In this paper, we present the level-set method combined with Desmos software - a free graphing and teaching tool to analyze and find elementary solutions for inequality problems in high schools Besides, we also show that Desmos outperforms some previous methods in predicting solutions to inequality problems Moreover, the description of the optimization problem through visual images will help users feel better about the relationship between the optimal solution to optimization problems with feasible solutions; thereby better understanding the optimization problem in general as well as the inequality problem in particular Keywords: Desmos software, inequality problems, level-set method, predicting the solution DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.11.1.2022.919 Trích dẫn: Phạm Thị Trân Châu, Võ Đức Thịnh, Ngô Thị Kim Yến Trần Thuỵ Hoàng Yến (2022) Phương pháp đường mức kết hợp với phần mềm Desmos việc định hướng lời giải cho tốn bất đẳng thức Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 11(1), 3-11 Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn Đặt vấn đề Bất đẳng thức nội dung đánh giá khó chương trình mơn Tốn trung học phổ thông nội dung thường sử dụng dùng để phân loại đối tượng học sinh Minh chứng năm gần đây, toán bất đẳng thức thường xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp toàn quốc hay thi IMO thi trung học phổ thông quốc gia nhằm để phân loại chọn lọc em học sinh giỏi Tuy sách, tài liệu bất đẳng thức nhiều, phương pháp giải bất đẳng thức phong phú, đa dạng học sinh gặp nhiều khó khăn phải giải dạng bất đẳng thức Cái khó tốn bất đẳng thức nằm chỗ chúng thường sử dụng nhiều kĩ thuật mà khơng phải học sinh nhìn Vì lẽ đó, nhiều tác giả cố gắng tìm phương pháp giúp học sinh dễ tìm lời giải việc giải tốn bất đẳng thức (Nguyễn Thái Hòe, 2009; Nguyễn Vũ Lương, 2018; Đặng Thành Nam, 2018; Nguyễn Văn Mậu, 2005; Mitrinovic, D S, 1964; Trần Đông Quang, 2017; Nguyễn Ngọc Đức, 2015) Một phương pháp hiệu chứng minh bất đẳng thức phương pháp dự đoán điểm rơi (Trần Phương, 2009) Tuy nhiên, để dự đoán điểm rơi tốn bất đẳng thức khơng phải việc dễ dàng, đặc biệt tốn khơng có dạng đối xứng (để áp dụng điểm rơi Cauchy, điểm rơi CauchySchwarz) Hơn nữa, điểm rơi toán bất đẳng thức nghiệm tốn tối ưu tương ứng dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thường gặp phổ thông Với cách tiếp cận này, số tác giả sử dụng phương pháp Lagrange, phương pháp lý thuyết tối ưu, để tìm điểm rơi tốn bất đẳng thức Đây phương pháp tìm giá lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến số với ràng buộc hàm (phương trình bất phương trình) Phương pháp Lagrange có ưu điểm giúp đưa việc chứng minh toán bất đẳng thức việc giải hệ phương trình thơng qua điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) Tuy nhiên, phương pháp có hạn chế lớn sử dụng khái niệm đạo hàm riêng hàm nhiều biến, khái niệm xa lạ áp dụng vào phổ thơng Hơn nữa, nhiều tốn bất đẳng thức sử dụng điều kiện KKT lại đưa hệ phương trình phức tạp, khó nhiều thể gian để tìm nghiệm Một phương pháp khác để dự đoán nghiệm toán tối ưu phương pháp đường mức Phương pháp ban đầu sử dụng để giải toán quy hoạch tuyến tính (Gregoire, A cs., 2002; Stanley, O J and Fadil, S, 2001), dạng toán đưa vào chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 (Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018), sau phát triển tốn quy hoạch phi tuyến Phương pháp đường mức hiệu phù hợp với học sinh phổ thơng việc dự đốn nghiệm toán bất đẳng thức với điều kiện phương trình bất phương trình phương pháp khơng dùng nhiều kiến thức tốn học bậc đại học Một phù hợp phương pháp đường mức với chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 hỗ trợ từ phần mềm vẽ hình tốn học Đây mục tiêu quan trọng việc dạy học tốn bậc phổ thơng (Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018) Mặc dù hiệu việc tìm nghiệm số tốn tối ưu, nhiên khơng có nhiều tài liệu tiếng Việt lẫn tiếng Anh trình bày phương pháp đường mức áp dụng vào tìm lời giải cho tốn tối ưu phổ thơng Trong báo này, sử dụng phương pháp đường mức hỗ trợ phần mềm toán học Desmos hay website desmos.com để dự đốn điểm rơi phân tích, định hướng tìm lời giải cho số tốn bất đẳng thức Từ phân tích này, chúng tơi trình bày lời giải tốn bất đẳng thức phương pháp tốn học phổ thơng cách đơn giản không sử dụng nhiều kỹ thuật phức tạp Đây cách tiếp cận phù hợp với mục tiêu đặc điểm chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 Phƣơng pháp đƣờng mức dƣới hỗ trợ phần mềm toán học 2.1 Hƣớng dẫn vẽ hình phần mềm Desmos/website desmos.com Desmos website trực tuyến hồn tồn miễn phí với tính hiển thị đồ thị hàm số người dùng nhập cơng thức tốn học Desmos có phiên cài đặt máy tính điện thoại di động Đặc biệt hơn, Desmos cho phép người dùng thay đổi tham số để tạo hình ảnh chuyển động trực quan Ngồi ra, cơng thức Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 1, 2022, 3-11 tốn học Desmos nhập trực tiếp từ bàn phím mà khơng cần hỗ trợ từ phần mềm khác giúp người học dễ dàng thao tác không nhiều thời gian Desmos sử dụng cho mục đích sau: - Vẽ đồ thị hàm số xác với hàm số biểu thức người dùng nhập (Desmos/calculator) - Vẽ đồ thị tương tác - Vẽ chuyển động phụ thuộc (tham số thay đổi, đồ thị thay đổi) - Vẽ dạng (Desmos/Geometry) hình học Hình Biểu diễn hình học miền điều kiện - Tạo tác phẩm nghệ thuật từ hàm số - Sử dụng thiết kế giảng tổ chức lớp học trực tuyến Ví dụ 1: Vẽ miền tập hợp số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện x 3y Sử dụng Desmos graphing để vẽ miền giới hạn bất phương trình phương trình theo bước sau: Bước 1: Vào wesite desmos.com chọn Graphing Calculator Bước 2: Nhập cơng thức tốn học vào khung bên trái (Hình 1) x 3y 2.2 Cơ sở toán học phƣơng pháp đƣờng mức Trong giải tích hàm, ta biết rằng, hàm giá trị thực liên tục tập compact tồn giá trị lớn giá trị nhỏ tập compact (Cinlar, E Vanderbei, R J, 2013, Hệ 3.24) Kết sau tổng quát kết trường hợp miền xác định không tập compact Mệnh đề (Aragon, F J cs., 2019, Định lý n 2.6) Giả sử f : ánh xạ liên tục, inf-compact D , nghĩa tồn m cho {x n | f (x ) m} tập compact, f đạt giá trị nhỏ D 2.3 Phƣơng pháp đƣờng mức để giải toán tối ƣu Xét toán tối ưu f (x, y ) với điều kiện (x, y) D , f (x, y ) inf-compact D Để tìm nghiệm tốn ta thực bước sau: Hình Kết nhập điều kiện x 3y Trong đó, (i) dấu “ ” cơng thức Hình nhập từ bàn phím cách nhập dấu “ ” dấu “ ” (ii) ký hiệu x kiện x, y không âm y nhập điều Kết miền điều kiện thể Hình Bưới 1: Vẽ miền ràng buộc lên mặt phẳng toạ độ Bước 2: Vẽ đường cong f (x, y) giá trị m với m Bước 3: Thay đổi giá trị m cho đường cong f (x, y) m có tiếp xúc với biên miền D tương ứng với giá trị nhỏ m giá trị nhỏ toán điểm tiếp xúc nghiệm tốn tối ưu Chú ý: Các đường cong f (x, y) gọi đường mức m Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn Ví dụ 2: Cho x, y thỏa mãn điều kiện 2x y Tìm giá trị nhỏ P(x, y) 8x y 6xy(2x y (2x (2x xy Phân tích tốn phương pháp đường mức kết hợp với phần mềm Desmos 1) y )2 (2x y (2x y )3 1) y )2 Do đó: P(x, y ) Sử dụng phương pháp đường mức thể Hình ta thấy giá trị nhỏ P(x, y ) đạt y x Hơn nữa, nghiệm nằm đường thẳng 2x y Từ điều này, ta rút hai kết luận: (i) Có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 2x y nghĩa thay 2xy y )2 mà không làm thay đổi giá trị nhỏ (2x P(x, y ) (ii) Có thể thay 2x y mà không làm thay đổi giá trị nhỏ P(x, y ) Do ta phân tích P(x, y) dạng A(2x y)3 Bxy với B số dương Từ phân tích trên, ta có cách giải toán phương pháp sơ cấp sau Lời giải: Ta có: P(x, y) 8x y3 xy (2x y ) 6xy (2x y ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 2x y bình phương hai vế ta (2x y )2 4.2xy Điều có nghĩa 6xy (2x y )2 6xy (2x y) y )3 Chú ý: (i) Bài tốn Ví dụ trích từ đề thi mơn Phương pháp tối ưu tốn học phổ thơng, thuộc chương trình đại học liên thơng ngành Tốn Trường Đại học Đồng Tháp Trong trình tham khảo kết số học viên, chúng tơi nhận thấy có hai sai lầm trình làm học viên sau: Sai lầm 1: Từ bất đẳng thức 2x y , người học lại rút y 2x sau thay vào P(x, y ) Lập luận rõ ràng chưa xác Sai lầm 2: Từ bất đẳng thức 2x y , người học lại rút y 2x Thay vào P(x, y ) sau: P(x, y) y )3 (2x y )3 (2x y )2 8 1 1 (2x y )3 (2x y )2 8 Vậy P (x , y ) dấu “=” xảy x 2x y 2x y 1 y 1 Vậy P (x , y ) x y (2x Hình Biểu diễn hình học miền điều kiện đƣờng mức Ví dụ (2x 8x y3 8x (1 2x )3 xy x(1 2x ) Lập luận khơng xác từ 2x y 1 chưa thể khẳng định x khẳng định xy x (1 2x ) y 2x Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 1, 2022, 3-11 (ii) Chúng ta thay đổi miền ràng buộc hàm mục tiêu toán để toán khác với cách giải tương tự gi (x 0, y ), v 2x y P(x, y) 8x y xy So sánh phƣơng pháp đƣờng mức với phƣơng pháp Lagrange Phương pháp Lagrange để giải toán tối ưu với ràng buộc hàm Xét toán (P): min f (x, y) cho gi (x , y ) 0, i 1, , m h j (x, y ) 0, j 1, , s 0, i I (x 0, y ), h j (x , y ), v 0, j 1, , λn , μ1, I (x 0, y0 ) g (x , y ) μ j h j (x , y ) i i Tìm j Mệnh đề (Aragon, F J cs., 2019, Định lý 6.38, 6.39) Giả sử (x 0, y ) điểm KKT toán (P), nghĩa tồn λ1, , λm 0, 1, , s cho Lx (x , y , λ1, , λm , 1, , s ) Ly (x , y , λ1, , λm , 1, , s ) h j (x , y ) 0, j y f (x, y) x v thỏa mãn x nhỏ Đặt L(x, y, λ1, λ2, λ ) 1)2 (y x λ1(x 2(y y2 x 1) cho 2x 2x 2y 1) (x g (x , y ) 4) 2 y 2 x 1) ( 2y x 1) 3 2y g (x , y ) 3 1 2 4) λ3 ( 2y 1) g (x , y ) 0 với 1) 1 , λm ) xác định L(x 0, y0, λ1, , λm )v 0, Lời giải: Cách 1: Sử dụng Phương pháp Lagrange Ly (x , y , 1, ) dương (x 0, y ) nghiệm toán (P) ii) Nếu Lx (x , y , 1, ) 1, , s Khi đó: x Tồn λ1, λ2, λ Lyx (x 0, y0, λ1, , λm ) Lyy (x 0, y0, λ1, , λm ) L(x 0, y0, λ1, 0, (y λ2 (y Lxx (x 0, y0, λ1, , λm ) Lxy (x 0, y0, λ1, , λm ) i) Nếu trị L(x 0, y0, λ1, , λm ) y2 2y Đặt v x2 giá x2 λi gi (x , y ) 0, i 1, , m gi (x , y ) 0, i 1, , m 0} thì Sau đây, chúng tơi trình bày ví dụ để so sánh hai phương pháp Lagrange phương pháp đường mức có hỗ trợ phần mềm Desmos tốn bất đẳng thức Ví dụ 4: Cho x, y thỏa mãn g (x , y ) s i {1,2} | gi (x 0, y0 ) (x 0, y0 ) nghiệm toán (P) g2 (x , y ) m f (x, y ) {i g1(x , y ) , μs ) , s, Hàm Lagrange: L(x , y, λ1, , m, 1, gi (x 0, y ), v Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ 0, i (y , 2, , ta được: Trường hợp 1: λ1 2x 2(y 1) λ2 2y λ2 λ3 2λ λ2 (y x 1) λ ( 2y x 1) Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn 2x 2y(λ2 λ2 (y λ2 1) x 1) 2x 2y(2x 2x (y x 1) x 1) 0 y 2y x Khi đương với x 2(1 2y ) λ2 λ3 2y(λ2 1) 2λ 2y ) 2) , ta y y λ3 2y 2λ y (loại) 5 , ta có x λ2 λ3 λ2 2 2λ λ3 2y ) x Với y λ3 λ2 2λ λ3 λ3 11 21 (loại) Trước tiên, vẽ đường mức f (x, y) m miền ràng buộc toán phần mềm Desmos ta kết Hình Hình Kết nhập điều kiện đƣờng mức Ví dụ λ2 2(1 λ3 4y λ 2y 2λ λ2 (*) Từ (*) ta có λ2y(y Với λ2 10 Cách 2: Dự đốn nghiệm phương pháp đường mức kết hợp với phần mềm Desmos 2y x Điều tương 2y Thay vào hệ ta được: λ2 (y , ta có Nhận xét: Trong tốn trên, việc giải hệ phương trình phức tạp phải xét nhiều trường hợp Do người làm nhiều thời gian phải cẩn thận không dễ mắc sai lầm Hơn nữa, phương pháp nhân tử Lagrange không phù hợp để giới thiệu với học sinh sử dụng kiến thức ngồi bậc học phổ thơng 0. Trường hợp 1.2: λ x lại Bằng tính tốn trực tiếp, ta có 2L(1, 0,1,1) ma trận xác định dương Vậy giá trị nhỏ f (x, y) x y (loaïi) 4xy y 2 Tương tự, ta xét trường hợp λ2 Với y , ta được: Trường hợp 1.1: λ Hình Biểu diễn hình học miền điều kiện đƣờng mức Ví dụ Từ Hình ta thấy rằng, nghiệm toán (điểm rơi bất đẳng thức) đạt x y Hơn nữa, miền ràng buộc thỏa mãn x nghĩa x x Từ phân tích ta có lời giải sau: Từ 2y x ta suy x 2y Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 1, 2022, 3-11 Ta có f (x, y) x2 x2 x2 1)2 2y x x (y y2 y2 x Từ Hình tập mức miền xác định ta thấy Q đạt giá trị nhỏ x y Hơn nữa, giá trị nhỏ nằm đường Dễ dàng nhận thấy x2 y2 x x2 thẳng x x x2 x2 2y x2 x y 0 x 2x y x y y 3x y) x b, Vì ta có lời giải sau: x 2x y x y Q x y Ta có (x y) 3x x 3x x x2 4x Vậy giá trị nhỏ f (x, y) y Áp dụng vào giải số tốn bất đẳng thức phổ thơng Ví dụ 5: (Đề thi học sinh giỏi lớp huyện Diễn Châu năm 2020-2021) Cho x , y hai số dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 a(x với a x Q 2)2 (x y y Dấu “=” xảy Điều tương đương với dạng Q y2 x x 2 x với x 3x y với , đồng thời phân tích tốn 2 y Dấu “=” xảy y x Ta có: y Suy x y x 2 Từ ta có x Dấu “=” xảy x x Do đó: f (x, y) Vì ta kết hợp y y y Nên suy Q 3x y y y y 2)2 (x 3x Phân tích lời giải x x y y x y Dấu “=” xảy x x y 3x y Hình Biểu diễn hình học miền điều kiện đƣờng mức Ví dụ 6 x y x y Vậy giá trị nhỏ biểu thức Q = x y Ví dụ 6: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2020 mơn Tốn, Mã đề 102) Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn Cho x, y số thực không âm thỏa mãn 2x x y y.4 Tìm giá trị nhỏ x2 P y2 6x Điều suy ra: 2y 2(x y) Do x2 P 4y Sử dụng phƣơng pháp đƣờng mức phân tích tốn: x y2 y 6x 2x nghĩa 4y 13 (x y) 13 65 Dấu “ Hình Kết nhập điều kiện đƣờng mức Ví dụ ” xảy x , y Nhận xét: Rõ ràng rằng, khơng có hỗ trợ phần mềm tốn học khơng dễ để nhìn thấy miền ràng buộc toán tương đương với điều kiện x y Các ví dụ nêu tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức có hai biến, dạng tốn tìm điểm rơi bất đẳng thức Sau đây, chúng tơi chọn ví dụ bất đẳng thức ba biến đề thi tuyển 10 để minh hoạ hiệu phương pháp không toán hai biến mà số trường hợp áp dụng hiệu cho tốn ba biến Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn năm học 2017-2018, Hà Tĩnh) Cho x, y, z Hình Biểu diễn hình học miền điều kiện đƣờng mức Ví dụ Sử dụng phương pháp đường mức kết hợp với desmos.com Hình 7, ta thấy miền điều kiện tốn tương đương với x trị nhỏ P đạt x , y P ta phân tích x y giá y Do đó, dạng số thực không âm thỏa mãn x y z Chứng minh x y 2z 4(1 x )(1 y)(1 z ) Phân tích tìm lời giải: Ta đưa toán toán sau Cho x , y số thực không âm thỏa mãn x Chứng minh rằng: (x y) y 4(1 x )(1 y) a(x y) b, với a số dương Từ đó, ta có lời giải tốn sau: Lời giải: Ta có: 2x y đương với 2y.2 10 y.4x y (3 2x )3 điều tương 2x Hình Kết nhập điều kiện đƣờng mức Ví dụ Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 1, 2022, 3-11 Hình 10 Biểu diễn hình học miền điều kiện đƣờng mức Ví dụ Sử dụng phương pháp đường mức kết hợp desmos.com ta dự đoán nghiệm x y Vì ta giải tốn sau: Đặt t (x y) x y Khi 0 t Ta có: 4(1 x )(1 y) (x y) 4(x t 4t 5t (t 1)3 (t (t 1)2 (t 2) y) 1)2 (x y )2 y 2 Dấu “=” xảy x Kết luận Trong báo này, giới thiệu phương pháp đường mức kết hợp với phần mềm Desmos hay website desmos.com để dự đoán nghiệm (điểm rơi toán bất đẳng thức) phân tích, tìm lời giải sơ cấp cho số dạng tốn bất đẳng thức Phương pháp khơng nhằm vào mục tiêu giải tốn khó bất đẳng thức mà nhằm đơn giản hoá số tốn để đa số học sinh cảm nhận giải tốn này, góp phần giúp học sinh thích thú học nội dung bất đẳng thức Ngoài phần mềm Desmos hay website desmos.com, số phần mềm có tính tượng tự Geogebra sử dụng Hơn nữa, với phần mềm vẽ hình 3D với tính tương tự, sử dụng phương pháp để định hướng, tìm lời giải cho tốn bất đẳng thức có ba biến Đây vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Lời cảm ơn: Nghiên cứu hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2020.02.04 Tài liệu tham khảo Aragon, F J, Goberna, M A, Lopez, M A, and Rodriguez, M M L (2019) Nonlinear Optimization Springer Nature Switzerland AG Bộ Giáo dục Đào tạo (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Cinlar, E and Vanderbei, R J (2013) Real and convex analysis Springer New York Heidelberg Dordrecht London Đặng Thành Nam (2018) Khám phá tư kỹ thuật giải bất đẳng thức, toán Min-Max Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Gregoire, A., Francois, J and Anca, T M (2002) A level-set method for shape optimization Comptes Rendus Mathematique, 334(12), 11251130) DOI:10.1016/S1631-073X(02)02412-3 Mitrinovic, D S (1964) Elementary inequalities Noordhoff LTD - Groningen, The Netherlands Nguyễn Ngọc Đức Nguyễn Thị Minh Huệ (2015) Dùng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị đại số hình học Tạp chí Giáo dục, tháng (đặc biệt), 73-75 Nguyễn Thái Hòe (2009) Các toán giá trị lớn giá trị nhỏ Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2005) Bất đẳng thức định lý áp dụng Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Vũ Lương (2018) Các giảng bất đẳng thức Cosi Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Stanley, O J and Fadil, S (2001) Level Set Methods for Optimization Problems Involving Geometry and Constraints I Frequences of a Two-Density Inhomogeneous Drum Journal of Computational Physics, 171(1), 272-288 DOI: 10.1006/jcph.2001.6789 Trần Phương (2009) Những viên kim cương chứng minh bất đẳng thức Hà Nội: NXB Tri thức Trần Quang Đông Bùi Văn Nghị (2017) Hướng dẫn học sinh lớp 12 khám phá lời giải toán giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tạp chí Giáo dục, kì 1-tháng 1(397), 47-50 11 ... x Kết luận Trong báo này, giới thiệu phương pháp đường mức kết hợp với phần mềm Desmos hay website desmos. com để dự đoán nghiệm (điểm rơi toán bất đẳng thức) phân tích, tìm lời giải sơ cấp cho. .. tuyến Phương pháp đường mức hiệu phù hợp với học sinh phổ thông việc dự đoán nghiệm toán bất đẳng thức với điều kiện phương trình bất phương trình phương pháp khơng dùng nhiều kiến thức toán học... Trong báo này, sử dụng phương pháp đường mức hỗ trợ phần mềm toán học Desmos hay website desmos. com để dự đoán điểm rơi phân tích, định hướng tìm lời giải cho số tốn bất đẳng thức Từ phân tích này,