Tài liệu Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52 pptx

Các Đề thi môn Giải tích 2 khóa 52 Đề số 1 Câu 1 Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi hệ thức x 2 +2y 2 +3z 2 + xy z 9=0. Tính các đạo hàm riêng 2 z x 2 (M) và 2 z y 2 (M) tại M(1, 2, 1). Câu 2 Tìm cực trị hàm f(x, y)=2x 3 4y 3 6xy 2 21y 2 +9x 2 18xy 24y. Câu 3 Gọi L là giao của mặt trụ x 2 + y 2 =2x và mặt parabôlôit x 2 + y 2 =2z, M là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi hai mặt đó và mặt phẳng xOy. a) Tính tích phân đ-ờng loại hai L yz dx+ zx dy + xy dz trên L, h-ớng củaL ng-ợc chiều kim đồng hồ nếu ta đứng dọc theo trục Oz nhìn xuống. b) Tính thể tích của M. c) Tính tích phân mặt S dydz + dxdz +2dxdy, với S là phần mặt parabôlôit x 2 + y 2 =2z nằm trong hình trụ x 2 + y 2 2x, mặt S đ-ợc định h-ớng xuống phía d-ới. Câu 4 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) e y dx (xe y 2y)dy =0. b) y +4y = sin 3x, với điều kiện đầu y x=0 =0,y x=0 =0. Đề số 2 Câu 1 Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi hệ thức 2x 2 + y 2 +2z 2 + xy 3z 13 = 0. Tính các đạo hàm riêng z y (M) và 2 z xy (M) tại M(1, 2, 1). Câu 2 Tìm cực trị hàm f(x, y)=4x 3 2y 3 +6x 2 y +21x 2 9y 2 +18xy +24x. Câu 3 Gọi L là giao của mặt nón z = x 2 + y 2 và mặt parabôlôit x 2 + y 2 =3z, M là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi hai mặt đó. a) Tính tích phân đ-ờng loại hai L yz dx+ zx dy + xy dz trên L, h-ớng củaL ng-ợc chiều kim đồng hồ nếu ta đứng dọc theo trục Oz nhìn xuống. b) Tính thể tích của M. c) Tính tích phân mặt S dydz +2dxdz 2 dxdy, với S là phần mặt parabôlôit x 2 + y 2 =3z nằm trên mặt nón z = x 2 + y 2 , mặt S đ-ợc định h-ớng xuống phía d-ới. Câu 4 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) (x y 2 )dx +2xy dy =0. b) y + y = 4 sin x, với điều kiện đầu y x=0 =1,y x=0 =0. Đề số 3 Câu 1 Cho hàm số f(x, y)= 1 cos x 2 y 2 x 2 + y 2 nếu y =0 0 nếu y =0 a) Hàm f có liên tục tại O(0, 0) không? Tại sao? b) Tính các đạo hàm riêng f x (0, 0) và f y (0, 0). c) Hàm f có khả vi tại O(0, 0) không? Tại sao? Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm f = x 2 + x 3 3 xy 2 + y 2 trên hình tròn x 2 + y 2 1. Câu 3 Tính tích phân C xdy ydx x 2 + y 2 với C là đ-ờng tròn x 2 +(y 2) 2 =9theo h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ. Câu 4 Gọi V là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi mặt cong z = e 3x 2 y 2 và mặt phẳng z =1. a) Tính thể tích miền V . b) Tính tích phân mặt S (y 2 ye z )dydz + y + cos z 2 dxdz +2dxdy, với S là phần mặt cong z = e 3x 2 y 2 nằm trên mặt phẳng z =1, mặt S đ-ợc định h-ớng lên phía trên. Câu 5 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) (1 + x 2 )y y 1=0. b) y +2y 3y = e x . Đề số 4 Câu 1 Cho hàm số f(x, y)= x 2 + y 2 ãsin x 2 y 2 nếu y =0 0 nếu y =0 a) Hàm f có liên tục tại O(0, 0) không? Tại sao? b) Tính các đạo hàm riêng f x (0, 0) và f y (0, 0). c) Hàm f có khả vi tại O(0, 0) không? Tại sao? Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm u = x 2 + y 2 + y 3 3 yx 2 1 trên hình tròn x 2 + y 2 1. Câu 3 Tính tích phân C xdy ydx x 2 + y 2 với C là đ-ờng tròn (x 1) 2 + y 2 =4theo h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ. Câu 4 Gọi V là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi mặt cong z = e 2x 2 y 2 và mặt phẳng z =1. a) Tính thể tích miền V . b) Tính tích phân mặt S sin(y 2 + ye z )dydz + y ln(1 + z 2 ) dxdz + dxdy, với S là phần mặt cong z = e 2x 2 y 2 nằm trên mặt phẳng z =1, mặt S đ-ợc định h-ớng lên phía trên. Câu 5 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) (x 2 +1)y +2y =1. b) y y 2y = e x . Đề số 5 Câu 1 Cho hàm véc tơ u(x, y)=(2x y, xy) và điểm M(1, 2). a) Bằng định nghĩa hàm khả vi, chứng minh hàm u(x, y) khả vi tại M(1, 2). b) áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp để tính f (M), biết f = u u. Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x 2 + y 2 + z 2 với điều kiện x y +2z =6. Câu 3 Gọi V là miền không gian hữu hạn trong góc phần tám thứ nhất (x 0,y 0,z 0) giới hạn bởi các mặt z =0,x= y, x = z, y =1. Kí hiệu L là cung thuộc giao của mặt trụ x = z và mặt phẳng x = y nối điểm O (0, 0, 0) với điểm A(1, 1, 1). a) Tính thể tích miền V . b) Tính tích phân đ-ờng loại hai L xy dx +2zdy+ ydz. Câu 4 Tính tích phân mặt S dydz + dxdz +2dxdy, với S là phần mặt phẳng x + y + z =3nằm trong hình cầu x 2 + y 2 + z 2 4, mặt S đ-ợc định h-ớng theo véc tơ pháp n(1, 1, 1) của mặt phẳng. Câu 5 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) (y 2 +3x 2 )dx +2xy dy =0. b) y +2y + y =1+x. Đề số 6 Câu 1 Cho hàm véc tơ u(x, y)=(2xy, x + y) và điểm M(1, 1). a) Bằng định nghĩa hàm khả vi, chứng minh hàm u(x, y) khả vi tại M(1, 1). b) áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp để tính f (M), biết f = u u. Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x 2 + y 2 + z 2 với điều kiện x 2y + z 6=0. Câu 3 Gọi V là miền không gian hữu hạn trong góc phần tám thứ nhất (x 0,y 0,z 0) giới hạn bởi các mặt z =0,x= y, x = z, y =2. Kí hiệu L là cung thuộc giao của mặt trụ x = z và mặt phẳng x = y nối điểm O (0, 0, 0) với điểm A(2, 2, 4). a) Tính thể tích miền V . b) Tính tích phân đ-ờng loại hai L xy dx + zdy+ ydz. Câu 4 Tính tích phân mặt S dydz dxdz +2dxdy, với S là phần mặt phẳng x + y + z =3nằm trong hình cầu x 2 + y 2 + z 2 7, mặt S đ-ợc định h-ớng theo véc tơ pháp n(1, 1, 1) của mặt phẳng. Câu 5 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) (2y x)dx + xdy =0. b) y 2y +2y =2x. Đề số 7 Câu 1 Cho hàm số f(x, y)= 3 (x 1) 3 +(y 1) 3 a) Chứng minh hàm f liên tục tại điểm (1, 1) và tính các đạo hàm riêng f x (1, 1), f y (1, 1). b) Hàm f có khả vi tại (1, 1) không? Tại sao? Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x 3 +3xy 2 15x 12y. Câu 3 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt z = x 2 y 2 ,z=0,xy=1,xy=2,y 2 = x, y 2 =2x. Câu 4 Tính tích phân L (x 2 + y 2 )dx +(x 2 y 2 )dy với L là cung y =1|x 1|,x [0, 2] định h-ớng theo chiều tăng của x. Câu 5 Tính tích phân mặt S y dydz + z dxdz +2x dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC định h-ớng lên phía trên. Biết A(0, 1, 1),B(3, 2, 2),C(2, 1, 1). Câu 6 a) Tìm hàm khả vi (x) để (2xye x )dx + (x)dy =0là ph-ơng trình vi phân toàn phần. Giải ph-ơng trình với (x) tìm đ-ợc. b) Giải ph-ơng trình vi phân y +4y = cos 2x với điều kiện đầu y x=0 =0,y x=0 =2. Đề số8 Câu 1 Cho hàm số f(x, y)= 3 (x +1) 3 + y 3 a) Chứng minh hàm f liên tục tại điểm (1, 0) và tính các đạo hàm riêng f x (1, 0), f y (1, 0). b) Hàm f có khả vi tại (1, 0) không? Tại sao? Câu 2 Tìm cực trị hàm số u =3x 2 y +4y 3 6x 15y. Câu 3 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt z = x 2 + y 2 ,z=0,xy=1,xy=2,y= x, y =2x và trong góc phần tám thứ nhất (x>0,y>0). Câu 4 Tính tích phân L (x 2 + y 2 )dx +(x 2 y 2 )dy với L là cung y =1|x +1|,x [2, 0] định h-ớng theo chiều tăng của x. Câu 5 Tính tích phân mặt S x dydz y dxdz + z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC định h-ớng lên phía trên. Biết A(1, 1, 1),B(2, 2, 1),C(2, 4, 3). Câu 6 a) Tìm hàm khả vi (x) để (x) cos 2 ydx+(2y x 2 sin 2y)dy =0là ph-ơng trình vi phân toàn phần. Giải ph-ơng trình với (x) tìm đ-ợc. b) Giải ph-ơng trình vi phân y + y =4x cos x với điều kiện đầu y x=0 =1,y x=0 =0. Đề số 9 Câu 1 Cho hàm số u(x, y)= 4 (x +1) 4 + y 4 . Tính các đạo hàm riêng u x (x, y), u y (x, y) (x, y) R 2 . Hàm u có khả vi tại (1, 0) không? Tại sao? Câu 2 Tìm cực trị hàm số u =2x + y 2z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 =6 2 . Câu 3 Tính tích phân kép D dxdy xy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đ-ờng y =2x, y =3x x 2 +2y 2 =1,x 2 +2y 2 =4 (x>0). Câu 4 Tính tích phân L (3x 2 y 2 2y)dx +(2x 3 y 2x)dy với L là cung trơn bất kì nối điểm A(1, 4) với điểm B(2, 3). Câu 5 Tính tích phân mặt S 3x dydz y dxdz z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC định h-ớng lên phía trên. Biết A(a, 0, 0),B(0,a,0),C(0, 0,a) với (a>0). Câu 6 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) y = y x + y 3 . b) (x 2 1)y +4xy +2y =6x, biết y 1 = x và y 2 = x 2 + x +1 x +1 là 2 nghiệm riêng của ph-ơng trình. Đề số 10 Câu 1 Cho hàm số u(x, y)= 4 x 4 +(y 1) 4 . Tính các đạo hàm riêng u x (x, y), u y (x, y) (x, y) R 2 . Hàm u có khả vi tại (0, 1) không? Tại sao? Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x +2y 2z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 =6 2 . Câu 3 Tính tích phân kép D dxdy xy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đ-ờng y = x 2 ,y= x 3 2x 2 + y 2 =1, 2x 2 + y 2 =4 (x>0). Câu 4 Tính tích phân L (6x 2 y 2 3y 3 )dx +(4x 3 y 9xy 2 )dy với L là cung trơn bất kì nối điểm A(2, 3) với điểm B(1, 2). Câu 5 Tính tích phân mặt S x dydz +2y dxdz z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC định h-ớng lên phía trên. Biết A(a, 0, 0),B(0,a,0),C(0, 0,a) với (a>0). Câu 6 Giải các ph-ơng trình vi phân sau a) (x +2y 3 )y = y. b) xy +2y xy = e x , biết y 1 = 1 2 e x và y 2 = x +2 2x e x là 2 nghiệm riêng của ph-ơng trình. Đề số 11 Câu 1 Cho hàm số f(x, y)=(x + y) x 2 xy + y 2 . Tính các đạo hàm riêng f x (x, y), f y (x, y) với mọi (x, y) R 2 . Hàm f có khả vi tại (0, 0) không? Tại sao? Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x 2 + y 3 z 2 +6xy +2z. Câu 3 Tính diện tích miền D hữu hạn trong mặt phẳng xOy, biết D giới hạn bởi các đ-ờng x 2 +1y =0, x 2 2(y 1)=0,x 2(y 1) 2 =0,x3(y 1) 2 =0. Câu 4 Tính tích phân L (3x 2 y 2 2y 3 )dx +(2x 3 y 6xy 2 )dy với L là cung trơn bất kì nối điểm A(1, 2) với điểm B(2, 3). Câu 5 Tính tích phân mặt S x dydz + y dxdz + z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC định h-ớng lên phía trên. Biết tọa độ các đỉnh A(1, 0, 0),B(0, 2, 0),C(0, 0, 1). Câu 6 Giải ph-ơng trình vi phân y 3y = e x + cos x thỏa mãn điều kiện y(0) = 0,y (x)=0. Đề số 12 Câu 1 Cho hàm số f(x, y)=(x y) x 2 + xy + y 2 . Tính các đạo hàm riêng f x (x, y), f y (x, y) với mọi (x, y) R 2 . Hàm f có khả vi tại (0, 0) không? Tại sao? Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x 2 y 3 z 2 6xy +2z. Câu 3 Tính diện tích miền D hữu hạn trong mặt phẳng xOy, biết D giới hạn bởi các đ-ờng x 2 +1y =0, x 2 + 2(1 y)=0, 2(y 1) 2 + x =0, 3(y 1) 2 + x =0. Câu 4 Tính tích phân L (3x 2 y 2 3y)dx +(2x 3 y 3x)dy với L là cung trơn bất kì nối điểm A(1, 2) với điểm B(2, 3). Câu 5 Tính tích phân mặt S x dydz y dxdz +2z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC định h-ớng lên phía trên. Biết tọa độ các đỉnh A(1, 0, 0),B(0, 3, 0),C(0, 0, 2). Câu 6 Giải ph-ơng trình vi phân y +2y = e x + sin x thỏa mãn điều kiện y(0) = 0,y (x)=0. . Các Đề thi môn Giải tích 2 khóa 52 Đề số 1 Câu 1 Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi hệ thức x 2 +2y 2 +3z 2 + xy z 9=0. Tính các đạo hàm riêng 2 z x 2 (M). hữu hạn giới hạn bởi các đ-ờng y =2x, y =3x x 2 +2y 2 =1,x 2 +2y 2 =4 (x>0). Câu 4 Tính tích phân L (3x 2 y 2 2y)dx +(2x 3 y 2x)dy với L là cung trơn