ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP

VIET VIETMATHS.NET HỘI NHỮNG NGƯỜI U THÍCH TỐN HỌC - PHẠM QUỲNH THƠ ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Google Plus: https://plus.google.com/+Vietmaths Facebook: https://facebook.com/kinhtoanhoc MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn NET 1.2 Phép chia có dư 1.3 Nghiệm đa thức 1.3.1 Nghiệm bội 1.3.2 Định lý Bezout THS 1.3.3 Biểu diễn đa thức thông qua nghiệm 1.3.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên 1.4 Công thức Viete, lược đồ Hoocner 1.4.1 Công thức Viete 1.5 Đa thức đồng dư TMA 1.4.2 Lược đồ Hoocner 5 6 6 7 8 1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.7 Đa thức đối xứng 10 10 1.7.2 Ví dụ đa thức đối xứng sau gọi đa thức đối xứng 10 1.7.3 Đưa đa thức đối xứng đa thức đa thức đối xứng 10 VIE 1.7.1 Định nghĩa đa thức đối xứng Chƣơng Ứng dụng đa thức ẩn 11 2.1 Chứng minh đẳng thức 11 2.2 Bài toán chia hết 13 2.3 Ứng dụng định lý Viete 15 2.3.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng K nghiệm 15 2.3.2 Dạng 2: Tìm miền giá trị tham số để nghiệm phương trình f  x,m   thỏa mãn điều kiện K 18 2.3.3 Dạng 3: Tìm mối quan hệ hệ số số phương 21 2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử 24 Chƣơng Ứng dụng đa thức nhiều ẩn 28 3.1 Chứng minh đẳng thức 28 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 32 NET trình bậc 3, bậc biết mối quan hệ nghiệm ngược lại 3.3 Phân tích đa thức nhiều ẩn thành nhân tử 36 3.4 Giải hệ phương trình 40 3.5 Trục thức mẫu 3.6 Giải phương trình thức 43 45 48 KẾT LUẬN 52 VIE TMA TÀI LIỆU THAM KHẢO THS 3.7 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 53 MỞ ĐẦU Trong nhà trường phổ thơng, mơn tốn giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt mơn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động đời sống thực tế Mơn tốn NET có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn tốn học, đa thức khái niệm quan trọng sử dụng nhiều đại số mà cịn giải tích, tốn cao cấp toán ứng dụng THS Tuy nhiên nay, vấn đề đa thức ứng dụng việc giải tốn sơ cấp trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức cịn ít, chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải, việc nghiên cứu đa TMA thức cịn gặp nhiều khó khăn Với lý trên, với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga em mạnh dạn chọn đề tài: “Đa thức ứng dụng giải tốn đại số sơ cấp” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức ứng VIE dụng mơn tốn nhà trường phổ thơng Nội dung khóa luận chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Ứng dụng đa thức ấn Chương ứng dụng đa thức nhiều ẩn Do thời gian có hạn lực thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hốn có đơn vị (ký hiệu 1) Khi đó:  / a i  A,a i  phép toán: - Phép cộng:  a ,a1, ,a n ,    b0 ,b 1, ,bn ,   a  b0 ,a1  b1,    b0 ,b 1, ,bn ,   c0 ,c1, - Phép nhân: ,a n , với ck   a b , k  0,1, i  jk THS  a ,a1, i , hầu hết, i  NET P   a ,a1, ,a n , j ,cn , với hai ,a n  bn ,  ,n, lập thành vành giao hốn có đơn vị  1,0,0, ,0,  Ta gọi P vành đa thức, phần tử thuộc P gọi đa thức Xét ánh xạ: f : A  P  a,0,  TMA a ,0, đơn cấu vành Do vậy, ta đồng a  A với phần tử: f  a    a,0, ,0, Khi đó: VIE Ký hiệu:   P Khi đó, A vành P x   0,1,0, ,0,  , x   0,0,1,0, ,0,  , x   0,0,0,1,0, ,0,  ,  x n   0,   ,0,1,0, ,0, n     Do đó, phần tử  P:    a ,a1, ,a k ,  Do a i  hầu hết nên tồn n  cho  a n 1  a n 2  0 Vì    a ,a1, ,a n ,0,  a  a1x    a1  0,1,0,     a n  0,   ,0,1,0, n      an xn NET Khi đó:   a 1,0,  Thay cho P viết A  x  gọi vành đa thức ẩn x, lấy hệ tử A Mỗi phần tử thuộc A  x  gọi đa thức ẩn x ký hiệu là: f  x  ,g  x  , 1.2 Phép chia có dƣ THS Cho A  x  vành đa thức, A trường, f  x  ,g  x  hai đa thức vành A x ,g  x   Khi đó, tồn q  x  ; r  x   A  x  cho: TMA f x  gx  qx  r x Nếu r  x   deg r  x   deg g  x  Đa thức q  x  gọi thương r  x  gọi dư phép chia f  x  cho g  x  Nếu r  x   f  x  g  x  A  x  VIE 1.3 Nghiệm đa thức * Định nghĩa: Cho K vành chứa vành A Phần tử  K gọi nghiệm đa thức f  x   A  x  f     Ta nói  nghiệm phương trình đại số f  x   K Nếu deg f  x   n phương trình f  x   gọi phương trình đại số bậc n  n  1 1.3.1 Nghiệm bội Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử  A gọi nghiệm bội bậc k đa thức f  x   A  x  f  x   x    f  x  k không chia hết cho  x    k 1 1.3.2 Định lý Bezout NET a) Định lý Bezout Cho vành đa thức A  x  ; A trường; f  x   A  x ;  A Khi đó, dư phép chia f  x  cho  x    f    b) Hệ Cho A trường THS Phần tử   A nghiệm đa thức f  x   A  x  f  x   x   1.3.3 Biểu diễn đa thức thông qua nghiệm Định lý: TMA Cho đa thức f  x   a x n  a1x n 1   a n 1x  a n  A  x  ; a  tồn trường K  A f  x  viết dạng:  x  n  vành K  x  nghiệm đa thức f  x  K f  x   a  x  1  x  2  với 1, 2 , , n VIE 1.3.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên a) Nhận xét Với f  x   Q x  ln tìm a  Q* để f  x   a  f1  x  ; f1  x   Do f  x   f1  x   Để tìm nghiệm hữu tỉ chuyển tìm nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên f1  x  b) Định lý Cho f  x   a x n  a1x n 1  Nếu phân số tối giản  a n 1x  a n  x p nghiệm đa thức f  x  thì: q x f  x  ta p a n q a c) Định lý Nếu phân số tối giản p nghiệm đa thức với: q f  x   a x n  a1x n 1   a n 1x  a  x NET với số nguyên m ta có f  m  chia hết cho  p  mq  Trường hợp đặc biệt p + q ước f  1 ,p  q ước f 1 d) Nhận xét Nếu   1 nghiệm f  x    x  ;  nguyên thì: THS f 1 f  1 nguyên 1  1  1.4 Công thức Viete, lƣợc đồ Hoocner 1.4.1 Công thức Viete Cho f  x   a x n  a1x n 1   a n 1x  a n  A  x  ; deg f  x   n Giả sử TMA f  x  có n nghiệm 1, 2 , , n  K với K  A Khi đó: f  x   a  x  1  x  2   x  n  Đồng hệ tử hai đa thức Ta có:  n   1  13  1 a1 a0 VIE 1      n 1 n  a2 a0  k    n k 1 n k 2  n   1 n  n   1 1 an a0 k ak a0 1.4.2 Lược đồ Hoocner Cho A trường Và f  x   A  x  đa thức bậc n Giả sử: f  x   a x n  a1x n 1   a n 1x  a n (   A ) Chia f  x  cho  x    A  x  , giả sử thương phép chia là: Nghĩa là: a0 xn  a1xn1   bn 2 x  bn 1 , bi  A, i  0,n  NET q  x   b0 x n 1  b1x n 2   an1x  an  (x   )(b0 x n1  b1x n2   bn2 x  bn1  f   a0  b0  a0 a1 b1  a1   b0 an f ( )  an   bn1 TMA 1.5 Đa thức đồng dƣ a) Định nghĩa: THS Đồng hệ số ta có bảng sau, gọi lược đồ Horner Cho vành đa thức A[x], u  x  ,p  x  ,q  x   A  x  u(x) đa thức khác khơng Ta nói đa thức p(x) q(x) đồng dư theo môđun đa thức VIE u(x)  p( x)  q(x)  u( x) vành A[x] Kí hiệu: p ( x)  q (x) (mod u(x)) b) Các tính chất: Cho p  x  ,q  x  ,   x   A  x  Nếu p  x   q  x   mod   x   q  x   p  x   mod   x   Nếu p  x   q  x   mod   x   p  x   r  x   mod   x   thì: p  x   r  x   mod   x   Cho đa thức p1 ( x), p2 ( x), ,pn ( x), q1 ( x),q ( x), , qn ( x) u1 ( x),u ( x), ,u n ( x)  A  x Nếu pi ( x)  qi ( x) (mod  (x)) với i  1,n u1 ( x) p1 ( x)   un ( x) pn ( x)  u1 ( x).q1 ( x)   un ( x).qn ( x)(mod  ( x)) Cho đa thức p  x  ,q  x  ,r  x   A x  , NET Nếu p  x   q  x   mod   x   p  x   r  x   q  x   r  x   mod   x   Với đa thức p  x  ,q  x  ,r  x   A x  Nếu p ( x)  q(x)  r ( x)(mod  (x)) p ( x)  r ( x)  q( x) (mod  (x)) Với hai đa thức p  x  ,q  x   A  x ; f  x   A x  t số tự nhiên THS Nếu p ( x)  q ( x) (mod  (x)) pt ( x)  qt ( x) (mod  (x)) Với hai đa thức p  x  ,q  x   A  x ; f  x   A x  , nếu: p ( x)  q ( x) (mod  (x)) F ( p ( x))  F (q( x))(mod  (x)) 1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn TMA Ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn phương pháp quy nạp Giả sử A vành giao hốn có đơn vị Đặt A1 = A[x1] Khi A1 vành giao hốn có đơn vị Đặt A2 = A[x2] = A  x1, x  A2 vành giao hốn có đơn vị VIE Cứ tiếp tục Khi ta có vành An= A[x1, x2, , xn] vành đa thức n ẩn x1, x2, ,xn Mỗi phần tử vành A[x1,x2, xn] kí hiệu f(x1,x2, ,xn); g(x1,x2, ,xn); gọi đa thức n ẩn x1,x2, ,xn lấy hệ tử A Cho đa thức f  x1,x , ,x n   A  x1, ,x n  Khi f  x1, x , biểu diễn dạng: , xn  u  x  y  v  x  z r  z  x  Ta có: u  r  v  2( x  y  z )  21 NET  uv  vr  ru  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  ( z  x )( x  y )  (x  y  z )  ( xy  yz  zx)   12   THS Do đó: f ( x, y,z)  21 (412  312  3 )  2 ( 12  3 )  2( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx) 3.3.4 Bài tập áp dụng TMA Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử  x, y a) f ( x, y)  10 x4  27 x3 y  110 x2 y  27 xy3  10 y b) f ( x, y)  x3  x3 y  x2 y  x2 y  3xy  xy3  y3 c) f ( x, y)  x4  119 x3 y  18x2 y  11xy3  y VIE Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x, y, z)  x3  y3  z  3xyz b) g ( x, y, z)  ( x  y  z)5  x5  y5  z c) h( x, y, z)  ( x  y  z)3  x3  y3  z Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x, y)  ( x  y)5  x5  y5 b) g ( x, y, z)  ( x  y  z)3  x3  y3  z 39 3.4 Giải hệ phƣơng trình 3.4.1 Cơ sở lý luận Ta hay gặp hệ phương trình mà vế phương trình hệ đa thức đối xứng ẩn Trong trường hợp ta chuyển hệ phương trình thành hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng bản, hệ NET phương trình thường hệ phương trình đơn giản so với hệ phương trình ban đầu 3.4.2 Thuật tốn Bước 1: Biểu diễn vế trái phương trình qua đa thức THS đối xứng  i (i  1,n) Bước 2: Ta thu hệ chứa σi Giải hệ tìm σi Bước 3: Vận dụng cơng thức Viet tìm nghiệm hệ ban đầu 3.4.3 Ví dụ minh họa TMA Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x  y  65  2  x y  xy  20 (I ) Giải VIE  x  y  1 Đặt   xy   Ta có: 12  4  0) (*) Hệ (I) trở thành ( x  y)3  3xy( x  y)  65   xy( x  y)  20  13  3 1  65 tương đương   1  20 40  13  3.20  65 tương đương   1  20   tương đương    Các giá trị tìm thỏa mãn điều kiện (*) t  5t   t   t  NET Do x, y nghiệm phương trình: Vậy hệ cho có nghiệm (4; 1) (1; 4)  x  y  z  3  3  x  y  z  27  x  y  z  113  THS Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: TMA Giải Đặt:   x  y  z;   xy  xz  yz;   xyz Hệ phương trình tương đương với VIE  x  y  z  1   xy  yz  zx    xyz    Ta có x3  y3  z  13  31  3 x4  y5  z  14  412  2 22  41  113 Do ta có hệ phương trình:   3    3 1  3  27  2   4   2  4 1  113 41   3  Suy 3    36  2  12  32   3     3  2  32 (1) NET    3        12     3    4     12 (2) t  3t  4t  12  THS a) Với 1  3;  4;  12 x, y, z nghiệm phương trình t1  3 t  2i 2 t3  2i TMA Khi (t  3)(t  4)  Khi x, y, z hoán vị (- 3, - 2i; 2i) b) Với 1  3;  4,  12 x, y, z nghiệm phương trình: t  3t  4t  12  VIE Khi (t  3)(t  4)  t1  3 Suy t2  t3  2 Khi x, y, z hoán vị (- 3; - 2; 2) Vậy hệ phương trình cho có 12 nghiệm có nghiệm hốn vị (- 3; - 2i; 2i) nghiệm hoán vị (- 3; -2; 2) 3.4.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 42  x  xy  y    x  y  xy  Bài tập 2: Giải hệ phương trình:  x  xy  y  1  2  x y  xy  2 x  y  z   2  x  y  z  25  3  x  y  z  27 NET Bài tập 3: Giải hệ phương trình: Bài tập 4: Giải hệ phương trình: 3.5 Trục thức mẫu TMA 3.5.1 Cơ sở lý luận THS x  y  z   2  x  y  z  37  3 x  y  z  Để khử thức mẫu số, người ta dùng đẳng thức nhận biểu thức nhận biểu thức liên hợp mẫu số Nhưng trường hợp mẫu số chứa hai biến dạng: a  n b hay n a n b thức đối xứng VIE Còn trường hợp mẫu số ba (hay nhiều hơn) thức vận dụng đa 3.5.2 Thuật tốn Bước 1: Biến đổi biểu thức cho biểu thức chứa đa thức đối xứng Bước 2: Sử dụng đa thức đối xứng dạng tổng    12  2    13  3 1    14  4 12  4 1  2 22 43 Bước 3: Biểu diễn biểu thức qua 1, , thay vào thức ban đầu 3.5.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trục thức mẫu số biểu thức: a b c Đặt a  x; b  y ; c  z   x  y  z  Đặt   xy  yz  zx   xyz  NET Giải THS 1   a  b  c x  y  z 1 Khi đó: Lại có:   x2  y  z  12  2  a  b  c   x4  y  z  14  412  41  2 22  a2  b2  c2 TMA Ta tổ hợp tổng cho  lamf thừa số chung Có:  22  2  (12  2 )2  2(14  412  41  2 22 )   14  4 12  8 1   (4 1   13  8 ) 4 1   13  8 Từ đó:  1  22  2 Tức : VIE 1 4( a  b  c )( ab  bc  ca  ( a  b  c )3  abc  (a  b  c)2  2(a  b  c ) a b c Ví dụ 2: Trục thức mẫu: A 433 44 Giải Ta có:  Vậy A  7( 16  12  9)   3 (  3)( 16  12  9) 7( 16  12  9) 91 NET A 7( 16  12  9) 91 3.5.4 Bài tập áp dụng a b c d THS Bài tập 1: Trục thức mẫu biểu thức sau: Bài tập 2: Trục thức mẫu biểu thức sau: a b5c TMA Bài tập 3: Trục thức mẫu biểu thức sau: n a  n a   n a m (m, n  * ) 3.6 Giải phƣơng trình thức VIE 3.6.1 Cơ sở lý luận Một số phương trình thức mà việc giải chuyển việc giải hệ phương trình đối xứng thơng qua việc đặt ẩn phụ 3.6.2 Thuật toán Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình thức hệ phương trình đối xứng Bước 2: Giải hệ phương trình đối xứng tìm giá trị ẩn phụ Bước 3: Thay giá trị ẩn phụ vào tìm giá trị ẩn ban đầu 45 3.6.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình x    x 1 Giải Đặt x   u;  x  v; (u, v  0) Ta có hệ: 1     1        - Với    NET 1  u  v    4 2 u  v  (1  2 )  2  u   v  u   v  THS + Nếu u = 1; v = phương trình có nghiệm x = + Nếu u = 0; v = phương trình có nghiệm x =   - Với     vơ nghiệm TMA Vậy phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = Ví dụ 2: Giải phương trình:  8 x    x  27   (8  x)( x  27)  Giải (*) VIE 8  x  Điều kiện:   27  x  x  27   Đặt u   x ; v  x  27 ; (u, v  0) Suy ra: u3   x; v  x  27 u  v  uv  Ta có hệ:  3 u  v  35 (u  v)  3uv   (u  v)  3uv (u  v )  35 Đặt 1  u  v;   uv hệ trở thành: 46   12     3    (  7)  35  1        Với     u, v nghiệm phương trình t  1t    , nghĩa phương trình t2 – 5t + = THS t   t   u   v    u    v  NET   32     3 1  35 TMA x    x  15 x  Vậy nghiệm phương trình cho   x  15 VIE 3.6.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau a) 18  x  64  x  b)  x2   x3   53 ( x  2)( x  3) Bài tập 2: Giải phương trình sau: 1  x   x 1 2 47 Bài tập 3: Giải phương trình sau a) x   x   2x b) x3   x  3.7 Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình đối xứng 3.7.1 Cơ sở lý luận NET Từ phương trình mà hai vế đa thức đối xứng hai biến ta đưa phương trình đơn giản với ẩn  1, Tìm nghiệm  1, suy tìm nghiệm nguyên phương trình ban đầu 3.7.2 Thuận toán   x  y    xy THS + Biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình  1, với Khi x, y nghiệm phương trình t  1t    (  0) TMA + Tìm x, y theo  1, 3.7.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  y  x  y  xy (1) Giải Đặt VIE Phương trình (1)  ( x  y)2  ( x  y)  3xy  x  y  1 Điều kiện   xy   12  4 Khi đó, phương trình (1) trở thành: 12  1  3  12  1  3  Kết hợp điều kiện (*) suy ra: 48 (*)    12   Khi 12  41  Khi  1  Do x, y  suy  nhận giá trị 0, 1, 2, 3, x  y  Suy   xy  x   y  NET + Với 1  ta tìm   + Với   ta tìm   x  x    y 1 y  THS x  y  Suy   xy  + Với 1  ta tìm    Với   ta tìm   x   y  x   y 1 TMA x  y  Suy   xy  + Với 1  ta tìm   x  y  Suy   xy  x   y  VIE Vậy phương trình có nghiệm số (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2) , (2; 1), (2; 2) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3  y3  z  3xyz  Giải Đặt   x  y  z    xy  yz  zx   xyz  49 Phương trình cho trở thành: 13  31  3  3   13  31   Vì x, y, z   1; ;  13  31   với ẩn  NET Xét phương trình: Nếu phương trình có nghiệm ngun 1  1 + Nếu 1     Ta có hệ: (1) (2) Suy x2  y  z   x2   y  z  nên:  y2   x  z  z2   x  y  TMA Do x, y, z  THS x  y  z    xy  yz  zx   ( x, y, z )  (1,0,0);(1,0,0)  y2  - Với  x  z   ( x, y, z )  (0,1,0);(0, 1,0) z2  - Với  x  y   ( x, y, z )  (0,0,1);(0,0, 1) VIE  x2  - Với  y  z  Vì x, y, z > nên nghiệm thỏa mãn là: (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) + Nếu   1    (loại   ) Vậy nghiệm phương trình là: (x, y, z) = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} 50 3.7.4 Bài tập áp dụng Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 1) x2  y  x  y  2) x  y  x2  xy  y VIE TMA THS 4) 39( x  y)  7( x2  xy  y ) NET 3) x3  y3  xy  25 51 KẾT LUẬN Đa thức có vị trí quan trọng Tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu chủ yếu Đại số mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích Nó phần kiến thức quan trọng giới thiệu từ năm đầu bậc NET phổ thông dạng đơn giản mà ta thường gọi biểu thức chứa chữ đại diện cho số Ngoài ra, lý thuyết đa thức sử dụng nhiều toán cao cấp, toán ứng dụng Và thường xuyên gặp toán đa thức kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học trường phổ thơng THS Tuy khóa luận trình bày kiến thức đa thức tốn đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức nhỏ so với lượng kiến thức đa thức Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu, giúp việc dạy học học tập môn tốn TMA trường phổ thơng Từ khóa luận giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng đa thức Do lần làm quen với công tác nghiên cứu, thời gian lực cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên VIE Em xin chân thành cảm ơn! 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, Nxb Giáo dục [3] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học, tập 3, Nxb Giáo dục .NET [4] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục [5] Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan (2005), Bài tập đại số số học, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội VIE TMA THS [6] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 53 ... cụ để ho? ?t động đời sống thực t? ?? Mơn t? ??n NET có tiềm to lớn việc khai thác ph? ?t triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao t? ?c phẩm ch? ?t tư Đại số phận lớn t? ??n học, đa thức khái niệm quan trọng sử... 3.3.2 Thu? ?t toán Bước 1: Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đa thức đối xứng Bước 2: Phân t? ?ch đa thức đa thức đối xứng thành nhân t? ?? Bước 3: Thay trở lại, sau x? ?t nhân t? ?? mới, tiếp t? ??c đến... 91 NET A 7( 16  12  9) 91 3.5.4 Bài t? ??p áp dụng a b c d THS Bài t? ??p 1: Trục thức mẫu biểu thức sau: Bài t? ??p 2: Trục thức mẫu biểu thức sau: a b5c TMA Bài t? ??p 3: Trục thức mẫu biểu thức