Nội dung chính của bài viết trình bày định lý Carnot về sự đồng quy của các đường vuông góc với các cạnh của tam giác và ứng dụng. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
ĐỊNH LÝ CARNOT VỀ SỰ ĐỒNG QUY CỦA CÁC ĐƯỜNG VNG GĨC VỚI CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VŨ THANH TÙNG, NGUYỄN CHƯƠNG CHÍ Lời giới thiệu Vừa qua Forum "Bài toán hay–Lời giải đẹp–Đam mê toán học" diễn thảo luận sôi thành viên đề tài mà đề cập báo Đầu tiên toán hay giả thiết đưa Đào Thanh Oai Khi đó, giả thiết chưa có lời giải Bài tốn (Đề Đào Thanh Oai [1]) Cho tam giác ABC có Ma , Mb , Mc trung điểm cạnh BC, CA, AB Ha , Hb , Hc chân đường cao tương ứng với đỉnh A, B, C Gọi A1 , B1 , C1 tâm ba đường tròn (AMb Hc ), (BMc Ha ) (CMa Hb ) Chứng minh ba đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với ba cạnh BC, CA, AB đồng quy Bài tốn thử thách khơng nhỏ có nhiều điểm, nhiều đường Trong đó, phương pháp chứng minh đồng quy lại đa dạng sử dụng tứ giác nội tiếp, Ceva, Desargues, v.v Tuy vậy, tốn khơng q phức tạp Sử dụng định lý Carnot, chứng minh toán cách gọn gàng Ngay sau tốn chứng minh, có nhiều nghiên cứu sâu hướng mở rộng khác Bài toán (Nguyễn Ngọc Giang [1]) Cho tam giác ABC có Ma , Mb , Mc ba trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi P điểm mặt phẳng chứa tam giác ABC có hình chiếu vng góc xuống BC, CA, AB Pa , Pb , Pc Gọi A1 , B1 , C1 tâm ba đường tròn (AMb Pc ), (BMc Pa ), (CMa Pb ) Chứng minh ba đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với ba cạnh BC, CA, AB đồng quy 181 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hình 11.1: Giả thiết Đào Thanh Oai Bài toán (Nguyễn Văn Lợi [1]) Cho tam giác ABC hai điểm P, N mặt phẳng Gọi hình chiếu vng góc P xuống BC, CA, AB Pa , Pb Pc N Na , Nb Nc Gọi A1 , B1 , C1 tâm ba đường tròn (ANb Pc ), (BNc Pa ) (CNa Pb ) Chứng minh ba đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với cạnh BC, CA, AB đồng quy Như ban đầu Đào Thanh Oai dùng trực tâm tâm ngoại tiếp, Nguyễn Ngọc Giang dùng điểm P tâm ngoại tiếp, Nguyễn Văn Lợi dùng hai điểm P N làm liệu cho giả thuyết Điều đáng lưu ý ba giả thuyết chứng minh cách gọn gàng dùng định lý Carnot cơng cụ Đến câu hỏi đặt ra: Nếu bỏ qua điều kiện sáu điểm Na , Nb , Nc , Pa , Pb , Pc hình chiếu vng góc hai điểm N, P để lại điều kiện điểm nằm ba cạnh tam giác điều kiện cần đủ để kết luận tốn gì? Chúng tơi nghiên cứu lời giải 182 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hình 11.2: Hai tam giác trực giao tốn đưa tìm điều kiện cần đủ cho sáu điểm Na , Nb , Nc , Pa , Pb , Pc cho kết luận toán Bài toán (Bài toán tổng quát [1]) Cho tam giác ABC sáu điểm Na , Pa ∈ BC, Nb , Pb ∈ CA, Nc , Pc ∈ CA Gọi A1 , B1 , C1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANb Pc , BNc Pa CNa Pb Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC, CA, AB đồng quy đường trung trực Na Pa , Nb Pb , Nc Pc đồng quy Rõ ràng toán trường hợp đặc biệt toán tổng quát vừa giới thiệu Cùng với việc nhắc lại nội dung định lý Carnot đưa khái niệm - đại lượng Carnot, kèm theo số tính chất nhằm trợ giúp cho việc áp dụng định lý Lời giải toán tổng quát đưa đầy đủ Cuối số toán dùng để minh họa cho định lý Carnot để bạn tự luyện tập 183 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hình 11.3: Bài tốn tổng qt Định lý Carnot Xét hai tam giác ABC A B C mặt phẳng Các đường thẳng dA , dB , dC qua A , B , C vng góc với BC, CA, AB Ta định nghĩa đại lượng Carnot tam giác A B C tam giác ABC sau: cABC (A B C ) = (A B − A C ) + (B C − B A2 ) + (C A2 − C B ) Đại lượng đưa tiện lợi cho việc phát biểu định lý Carnot theo cách Chú ý đại lượng Carnot phụ thuộc vào thứ tự đỉnh ta xét hai tam giác Nói cách khác cABC (A B C ) khác với cABC (B A C ) hay cABC (A C B ) Định lý (Định lý Carnot - 1803) : [2] Ba đường thẳng dA , dB , dC qua A , B , C vng góc với BC, CA, AB đồng quy vả (A B − A C ) + (B C − B A2 ) + (C A2 − C B ) = 184 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 hay cABC (A B C ) = Từ định nghĩa đại lượng Carnot ta thấy: cABC (A B C ) + cA B C (ABC) = Nhờ định lý Carnot, ta thấy dA , dB , dC đồng quy điểm X ba đường thẳng dA , dB , dC qua A, B, C vng góc với B C , C A , A B đồng quy điểm X Trong hình học, hai tam giác ABC A B C thỏa mãn điều kiện định lý Carnot gọi trực giao với (orthologic), hai điểm đồng quy gọi hai tâm trực giao (orthologic centers) X gọi tâm trực giao tam giác ABC với tam giác A B C X gọi tâm trực giao tam giác A B C với tam giác ABC [3] Sau số tính chất đại lượng Carnot Bổ đề Gọi Ta , Tb , Tc trung điểm BC, CA, AB số thực k ∈ R Ta có: −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ cABC (A B C ) = −2.(BC.A Ta + CA.B Tb + AB.C Tc ) Nếu A1 A2 ⊥BC, B1 B2 ⊥CA, C1 C2 ⊥AB thì: cABC (A1 B1 C1 ) = cABC (A2 B2 C2 ) Những mệnh đề sau tương đương: (a) dA , dB , dC đồng quy (b) (A B − A C ) + (B C − B A2 ) + (C A2 − C B ) = (c) cABC (A B C ) = (d) cA B C (ABC) = (e) dA , dB , dC đồng quy −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ Nếu A1 A0 = k A1 A2 , B1 B0 = k B1 B2 , C1 C0 = k C1 C2 thì: (a) cABC (A0 B0 C0 ) = k.cABC (A1 B1 C1 ) + (1 − k).cABC (A2 B2 C2 ) (b) Nếu A1 B1 C1 , A2 B2 C2 trực giao với ABC A0 B0 C0 −−−→ −−−→ trực giao với ABC Hơn nữa, X1 X0 = k.X1 X2 với X0 , X1 , X2 tâm trực giao tam giác A0 B0 C0 , A1 B1 C1 , A2 B2 C2 tam giác ABC 185 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hình 11.4: Bổ đề 1.4 2.0.0.1 Chứng minh Ta có: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ A B − A C = A B.(A C − BC) − A C.(A B + BC) −−→ −−→ −−→ = −BC.(A B + A C) −−→ −−→ = −2.BC.A Ta Tương tự vậy, ta có: −→ −−→ B C − B A2 = −2.CA.B Tb ; −→ −−→ C A2 − C B = −2.AB.C Tc Cộng ba đẳng thức trên, ta được: −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ cABC (A B C ) = −2.(BC.A Ta + CA.B Tb + AB.C Tc ) Từ phần ta có: −−→ −−−→ −→ −−−→ −→ −−−→ cABC (A1 B1 C1 ) − cABC (A2 B2 C2 ) = −2.(BC.A1 A2 + CA.B1 B2 + AB.C1 C2 ) 186 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 = Trước hết ta thấy rằng: b ⇔ c ⇔ d Ta chứng minh a ⇔ c Gọi H giao điểm dB dC Khi đó, từ phần ta có: −−→ −−→ −−→ −−→ cABC (A B C ) = cABC (A HH) = cABC (HHH)−2.BC.A H = −2.BC.A H −−→ −−→ Suy cABC (A B C ) = ⇔ BC.A H = ⇔ BC⊥A H Như a ⇔ c Tương tự ta có: e ⇔ d a Từ giả thiết ta có: −−−→ −−−→ −−−→ Ta A0 = k.Ta A1 + (1 − k).Ta A2 ; −−→ −−→ −−→ Tb B0 = k.Tb B1 + (1 − k).Tb B2 ; −−→ −−→ −−→ Tc C0 = k.Tc C1 + (1 − k).Tc C2 Từ ba đẳng thức từ phần ta suy hệ thức cần chứng minh −−−→ −−−→ b Gọi X0 điểm cho: X1 X0 = k.X1 X2 Từ định lý Thales ta có: A1 X1 A0 X0 A2 X2 Mặt khác A1 X1 ⊥BC nên A0 X0 ⊥BC Tương tự ta có: B0 X0 ⊥CA, C0 X0 ⊥AB Do X0 tâm trực giao tam giác A0 B0 C0 tam giác ABC Lời giải tốn tổng qt bình luận 3.1 Lời giải toán tổng quát Gọi Xa , Xb , Xc trung điểm Na Pa , Nb Pb , Nc Pc Ta chứng minh rằng: cABC (Xa Xb Xc ) = cABC (A1 B1 C1 ) Thật vậy, gọi Ta , Tb , Tc điểm cho ATa , BTb , CTc đường kính đường trịn (A1 ), (B1 ) (C1 ) Khi A1 , B1 , C1 trung điểm ATa , BTb CTc Nhờ bổ đề ta có: cABC (Ta Tb Tc ) + cABC (ABC) = 2.cABC (A1 B1 C1 ) Tuy nhiên ta thấy cABC (ABC) = 0, đó: cABC (Ta Tb Tc ) = 2.cABC (A1 B1 C1 ) Mặt khác theo bổ đề ta lại có: cABC (Ta Tb Tc ) = (Ta B − Ta C ) + (Tb C − Tb A2 ) + (Tc A2 − Tc B ) 187 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hình 11.5: Lời giải tốn tổng quát = (Ta B − Ta A2 ) − (Ta C − Ta A2 ) + (Tb C − Tb B ) −(Tb A2 − Tb B ) + (Tc A2 − Tc C ) − (Tc B − Tc C ) = (BPc2 − APc2 ) − (CNb2 − APc2 ) + (CPa2 − BPa2 ) −(ANc2 − BNc2 ) + (APb2 − CPb2 ) − (CNa2 − BNa2 ) = cABC (Na Nb Nc ) + cABC (Pa Pb Pc ) = 2.cABC (Xa Xb Xc ) Từ đó, ta suy cABC (Xa Xb Xc ) = cABC (A1 B1 C1 ) Áp đụng định lý Carnot ta có: đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC, CA AB đồng quy ⇔ cABC (A1 B1 C1 ) = ⇔ cABC (Xa Xb Xc ) = ⇔ đường thẳng qua Xa , Xb , Xc vuông góc với BC, CA AB đồng quy ⇔ đường trung trực Na Pa , Nb Pb , Nc Pc đồng quy 188 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 3.2 Một số trường hợp đặc biệt Trong toán trên, tập sáu điểm Na , Pa , Nb , Pb , Nc , Pc thỏa mãn điều kiện tốn tổng qt có số trường hợp đặc biệt sau • Na , Pa , Nb , Pb , Nc , Pc giao điểm đường tròn (O) với cạnh tam giác ABC Khi đó, đường trung trực Na Pa , Nb Pb , Nc Pc đồng quy O • (Giả thuyết Nguyễn Văn Lợi nêu [1]) Gọi Na , Nb , Nc hình chiếu điểm N xuống BC, CA, AB; Pa , Pb , Pc hình chiếu điểm P xuống BC, CA, AB Khi ta dễ dàng nhận thấy đường trung trực Na Pa , Nb Pb , Nc Pc đồng quy trung điểm N P Một trường hợp đặc biệt (Na , Pa , Nb , Pb , Nc , Pc ) xây dựng tập Ngồi thấy vai trị hai điểm Na Pa BC ngang nên hốn đổi hai điểm Tương tự, hốn đổi hai điểm Nb Pb , hai điểm Nc Pc Như vậy, có tám ba đường thẳng đồng quy Các bạn thử vẽ hình tìm tính chất tám điểm đồng quy nhé! Một số toán luyện tập Tiếp theo số toán minh họa cho định lý Carnot lời giải chúng Bài toán (ví dụ sáu điểm thỏa mãn điều kiện toán tổng quát) Cho tam giác ABC, đường tròn qua B, C cắt CA, AB Ab , Ac ; đường tròn qua C, A cắt BC, BA Bc , Ba ; đường tròn qua A, B cắt CA, CB Ca , Cb Chứng minh đường trung trực đoạn Ca Ba , Ab Cb , Bc Ac đồng quy Lời giải Gọi Aa , Bb , Cc trung điểm Ca Ba , Ab Cb , Bc Ac Theo định lý Carnot, cần phải chứng minh rằng: (ACc2 − BCc2 ) + (BA2a − CA2a ) + (CBb2 − ABb2 ) = 189 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hình 11.6: điểm thỏa mãn điều kiện toán tổng quát Ta xét phần biểu thức trên: ACc2 − BCc2 = (ACc + BCc ).(ACc − BCc ) = AB.(ACc − BCc ) Vì ACc = 1/2.(AAc + ABc ) = 1/2.(AAc + AB − BBc ) BCc = 1/2(BBc + AB − AAc ) Do ACc2 − BCc2 = AB(AAc − BBc ) Tương tự trên: BA2a − CA2a = BC(BBa − CCa ); CBb2 − ABb2 = CA(CCb − AAb ) Do ta cần phải chứng minh: AB.AAc + BC.BBa + CA.CCb = BA.BBc + CB.CCa + AC.AAb 190 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Vì bốn điểm B, C, Ac , Ab đồng viên nên AB.AAc = AC.AAb Tương tự, BC.BBa = BA.BBc CA.CCb = CB.CCa Như biểu thức Từ định lý Carnot, ta suy điều phải chứng minh Bài toán (Định nghĩa orthopole (Soons-1886) [4]) Cho tam giác ABC đường thẳng d mặt phẳng Gọi A , B , C hình chiếu A, B, C d Chứng minh đường thẳng qua A , B , C vng góc với BC, CA, AB đồng quy P (điểm đồng quy P gọi orthopole đường thẳng d tam giác ABC) Hình 11.7: Orthopole Lời giải Ta có: cABC (A B C) = (A B − A C ) + (B C − B A2 ) + (C A2 − C B ) = (B B + A B − C C − A C ) + (C C + B C − A A2 − A B ) +(A A2 + A C − B B − B C ) = 191 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Từ định lý Carnot, ta có điều phải chứng minh Bài tốn (Hai tam giác trực giao hoàn toàn (định lý Pantazi) [3]) Giả sử tam giác ABC trực giao với tam giác A B C B C A Chứng minh tam giác ABC trực giao với tam giác C AB Lời giải Từ định nghĩa của đại lượng Carnot ta dễ dàng chứng minh được: cABC (A B C ) + cABC (B C A ) + cABC (C A B ) = Từ theo định lý Carnot: cABC (A B C ) = 0; cABC (B C A ) = Do ta suy cABC (C A B ) = Theo định lý Carnot, ta có điều phải chứng minh Kết luận Chúng giới thiệu định lý Carnot, công cụ hiệu cần chứng minh đường thẳng vng góc với ba cạnh tam giác đồng quy Đại lượng Carnot khái niệm đưa vào tiện lợi việc trình bày lời giải tốn cách có hệ thống Sử dụng định lý Carnot toán tổng quát gần xuất giải gọn gàng Tài liệu tham khảo [1] Nhóm "Bài tốn hay - Lời giải đẹp - Đam mê toán học": www.facebook.com/groups/Loicenter/ [2] Định lý Carnot www.cut-the-knot.org/pythagoras/Carnot shtml [3] Hai tam giác trực giao OrthologicTriangles.html www.mathworld.wolfram.com/ [4] Cực trực giao www.mathworld.wolfram.com/Orthopole.html 192 ... ) = Theo định lý Carnot, ta có điều phải chứng minh Kết luận Chúng giới thiệu định lý Carnot, công cụ hiệu cần chứng minh đường thẳng vng góc với ba cạnh tam giác đồng quy Đại lượng Carnot khái... 06/2015 Từ định lý Carnot, ta có điều phải chứng minh Bài toán (Hai tam giác trực giao hoàn toàn (định lý Pantazi) [3]) Giả sử tam giác ABC trực giao với tam giác A B C B C A Chứng minh tam giác ABC... toán tổng quát Định lý Carnot Xét hai tam giác ABC A B C mặt phẳng Các đường thẳng dA , dB , dC qua A , B , C vng góc với BC, CA, AB Ta định nghĩa đại lượng Carnot tam giác A B C tam giác ABC sau: