Bài viết này, giới thiệu với các bạn 5 cách giải cho bài toán số 6 về Số học khá hay và khó trong kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) lần thứ 42 tại Hoa Kỳ. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC HAY VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI NGUYỄN DUY LIÊN (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Lời giới thiệu Giải tốn Số học hay khó, ta cảm thấy thích thú Nhưng tốn Số học hay khó mà giải nhiều cách mà từ ta giải được, hay tạo số toán lớp tốn niềm vui cịn nhân lên nhiều lần Bài viết này, xin giới thiệu với bạn cách giải cho toán số Số học hay khó kỳ thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) lần thứ 42 Hoa Kỳ Chúng ta bắt đầu với tốn Bài toán Cho số nguyên dương a, b, c, d với a > b > c > d > Giả sử ac + bd = (b + d + a − c) (b + d − a + c) Chứng minh ab + cd số nguyên tố Lời giải Giả sử ab + cd số nguyên tố Ta có ab + cd = (a + d) c + (b − c) a = m · gcd (a + d, b + c) (∗) ( với m số nguyên dương gcd (a + d, b − c) ước số chung lớn a + d b − c) Từ (∗) suy m = gcd (a + d, b − c) = Trường hợp : m = gcd (a + d, b − c) = ab + cd > ab + cd − (a − b + c + d) = (a + d) (c − 1) + (b − c) (a + 1) ≥ gcd (a + d, b − c) điều dẫn tới vô lý 175 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Trường hợp : gcd (a + d, b − c) = Ta có ac + bd = (a + c) b − (b − c) a kết hợp với đề ac + bd = (b + d + a − c) (b + d − a + c) ta : (a + c) b − (b − c) a = (b + d + a − c) (b + d − a + c) Suy (a + d) (a − c − d) = (b − c) (b + c + d) (∗∗) Từ đẳng thức (∗∗) tồn số nguyên dương k cho: a − c − d = k (b − c) b + c + d = k (a + d) từ suy ra: a + b = k (a + b − c + d) ⇔ k (c − d) = (k − 1) (a + b) kết hợp với a > b > c > d > ta có: • Nếu k = ⇒ c = d vô lý • Nếu k ≥ ≥ a+b k = > vô lý k−1 c−d Từ vô lý trường hợp 2, nên ab + cd số nguyên tố Lời giải Theo đề ac + bd = (b + d + a − c) (b + d − a + c) biến đổi ta a2 − ac + c2 = b2 + bd + d2 Xét tứ giác ABCD với AB = a, BC = d, CD = b, DA = c ; BAD = 600 ; BCD = 1200 Rõ ràng tứ giác ABCD tồn ( qua việc dựng hình) Gọi ABC = α ⇒ ADC = 1800 − α 176 (1) Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Áp dung định lý hàm số côsin hai tam giác BAD BCD , ta có BD2 = a2 + c2 − 2ac cos BAD = b2 + d2 − 2bd cos BCD Suy đẳng thức (1) Áp dung định lý hàm số côsin hai tam giác ABC ACD, ta có AC = a2 + d2 − 2ad cos α = b2 + c2 + 2bc cos α Suy cos α = a2 + d2 − b2 − c2 ad + bc AC = a2 + d2 − ad a2 + d − b − c (ab + cd) (ac + bd) = ad + bc ad + bc Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn, theo định lý Ptơlêmê ta có (AC · BD)2 = (ab + cd)2 suy (ac + bd) a2 − ac + c2 = (ab + cd) (ad + bc) (2) Từ a > b > c > d > 0, ta suy ab + cd > ac + bd > ad + bc (3) Giả sử ab + cd số nguyên tố Từ (3) ta thấy hai số ab + cd ac + bd nguyên tố Cho nên từ đẳng thức (2) ta có ac + bd chia hết ad + bc theo (3) vô lý Nên ab + cd số nguyên tố Lời giải Từ a > b > c > d > 0, ta suy ab + cd > ac + bd > ad + bc (3) Theo đầu ac + bd = (b + d + a − c) (b + d − a + c) nên ta có a2 − ac + c2 = b2 + bd + d2 177 (4) Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Do : (ab + cd) (ad + bc) = ac b2 + bd + d2 + bd a2 − ac + c2 (5) Từ (4) (5), suy (ab + cd) (ad + bc) = (ac + bd) a2 − ac + c2 (6) Giả sử ab + cd số nguyên tố Từ (3) ta thấy hai số ab + cd ac + bd nguyên tố Cho nên từ đẳng thức (6) ta có ac + bd chia hết ad + bc theo (3) vô lý Nên ab + cd số nguyên tố Lời giải Theo đề ac + bd = (b + d + a − c) (b + d − a + c) biến đổi ta a2 − ac + c2 = b2 + bd + d2 (7) Giả sử ab + cd số nguyên tố, đặt ab + cd = p ⇒ ab ≡ −cd (modp) ¯ kết hợp với (7) ta có = b2 a2 − ac + c2 + b2 b2 + bd + d2 ≡ c2 d2 + bc2 d + b2 c2 + b4 + b3 d + b2 d2 ≡ b2 + c b2 + bd + d2 (modp) (8) Từ (8) suy b2 + c2 ≡ (modp) b2 + bd + d2 ≡ (modp) Trường hợp b2 + c2 ≡ (modp) < b2 + c2 < (ab + cd) = 2p ⇒ b2 + c2 = p nên ta suy b2 + c2 = ab + cd ⇔ b (a − b) = c (c − d) dẫn tới ⇒ c (c − d) ≡ (modp) (9) Theo giả thiết ab + cd số nguyên tố hai số (b, c) = 1, từ (9) suy c − d ≡ (modp) vô lý Trường hợp b2 + bd + d2 ≡ (modp) Điều tương đương với a2 − ac + c2 ≡ (modp) 178 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 mà < a2 − ac + c2 < (ab + cd) = 2p nên ta suy a2 − ac + c2 = p = ab + cd đó, ta có a2 − ac + c2 = ab + cd b2 + bd + d2 = ab + cd ⇔ c (c − d) = ab + ac − a2 d (c − d) = b2 + bd − ab ⇒ a| c (c − d) b| d (c − d) (10) Mà ab + cd số nguyên tố (a , c) = (b , d) = nên từ (10) suy a| c − d b| c − d điều vô lý Từ vô lý trường hợp 2, nên ab + cd số nguyên tố Lời giải Theo đề ac + bd = (b + d + a − c) (b + d − a + c) suy a + b − c + d | ac + bd ⇒ a + b − c + d | ac + bd + a (a + b − c + d) hay a + b − c + d | a2 + bd + ab + ad = (a + b) (a + d) Giả sử (a + b − c + d, a + d) = ⇒ a + b − c + d | a + b Đặt a + b = k (a + b − c + d) (11) với k số nguyên dương Nếu k = 1, từ (11) ⇒ a + b = a + b − c + d ⇒ c = d vô lý Nếu k ≥ 2, từ (11) ta suy a + b = k (a + b − c + d) ≥ (a + b − c + d) > a + b điều vô lý a > b > c > d > Vậy (a + b − c + d, a + d) = Giả sử có số nguyên tố p cho p | (a + b − c + d , a + d) Ta có p | a+d p | b−c 179 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 ⇔ a ≡ −d (modp) b ≡ c (modp) dẫn tới ab ≡ −cd (modp) ⇔ ab + cd ≡ o (modp) Mà ab + cd > p ab + cd số nguyên tố, hợp số Từ cách giải bạn vận dụng vào giải toán tương tự sau Bài Chứng minh : a2 + ac − c2 = b2 + bd − d2 với số nguyên dương a > b > c > d > ab + cd số nguyên tố Bài Cho số nguyên dương a, b, c, d với a > b > c > d > thoả mãn điều kiện a + b − c + d | ac + bd Chứng minh rằng: an bm + cm dn khơng phải số ngun tố ( m, n số nguyên dương n số lẻ ) Bài Cho số nguyên dương a, b, c, d số nguyên tố p thoả ap + b p = Chứng minh rằng: a + b + c + d chia mãn hệ thức p p c +d p−1 hết cho p Và tốn liệu có cách giải bạn tìm tịi suy nghĩ tơi 180 ... cd số nguyên tố, hợp số Từ cách giải bạn vận dụng vào giải toán tương tự sau Bài Chứng minh : a2 + ac − c2 = b2 + bd − d2 với số nguyên dương a > b > c > d > ab + cd số nguyên tố Bài Cho số nguyên... c, d với a > b > c > d > thoả mãn điều kiện a + b − c + d | ac + bd Chứng minh rằng: an bm + cm dn khơng phải số ngun tố ( m, n số nguyên dương n số lẻ ) Bài Cho số nguyên dương a, b, c, d số nguyên... Giả sử ab + cd số nguyên tố Từ (3) ta thấy hai số ab + cd ac + bd nguyên tố Cho nên từ đẳng thức (2) ta có ac + bd chia hết ad + bc theo (3) vô lý Nên ab + cd số nguyên tố Lời giải Từ a > b >