Nghiên cứu trình bày Martin Gardner, một nhân vật trọng yếu của lịch sử toán học nhưng bản thân lại không phải là một nhà toán học, thậm chí cũng chưa từng kinh qua đào tạo bài bản về toán. Mời các bạn tham khảo!
MARTIN GARDNER NGƯỜI LÀM VƯỜN CỦA TOÁN HỌC ĐẶNG NGUYỄN ĐỨC TIẾN (Đại học Trento, Italy) Roses are red, Violets are blue, Sugar is sweet, And so are you Có đồng dao thế, có vĩ nhân nguệch ngoạc viết thêm vào báo sau: Roses are red Violets are blue, One point 414 Is the square root of two Giới thiệu Nền toán học kỷ hai mươi sản sinh nhiều đại thụ John Nash, Andrew Wiles, Grothendieck, Paul Erdăos, Alan Turing H tên vĩ đại mà tầm ảnh hưởng vượt xa khỏi thời đại Nhưng viết lại muốn giới thiệu đến vĩ nhân khác: Martin Gardner, nhân vật trọng yếu lịch sử toán học thân lại khơng phải nhà tốn học, chí chưa kinh qua đào tạo tốn Trong suốt nghiệp mình, ơng khơng phải người đóng góp cơng trình nghiên cứu hay phát kiến vượt bậc Nhưng ông người truyền cảm hứng, nhà làm vườn gieo trồng niềm vui đam mê toán học cho nhiều hệ người trẻ tuổi Giống Richard K Guy viết: “Gardner, ai, đem toán học đến hàng triệu người”, theo Donald Knuth, “Rất nhiều người học nhiều ý tưởng toán học hay từ Gardner người khác lịch sử giới.” 105 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Giải toán theo cách Martin Gardner Trước tiên, khởi động với ba toán theo phong cách Martin Gardner sau: Bài toán Góc hai đường thẳng màu đỏ vẽ từ hai mặt khối hộp hình bao nhiêu? Bài tốn Xét vịng kim loại hình bên đốt nóng bị nở Điều xảy với lỗ bên nó? Nó co lại, nở hay giữ ngun kích thước? Bài tốn Hai bù-loong giống hệt đặt lại đối để rãnh xoắn ốc chúng dính vào hình Nếu bạn lúc xoay bù-loong theo chiều (giữ tay tránh làm chệch hướng) hai đầu chúng tiến lại gần hay xa nhau, hay khoảng cách không đổi? 106 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Đây số toán phổ biến theo phong cách Martin Gardner Nếu bạn đọc đọc qua sách Martin, hẳn nắm rõ câu trả lời Tuy nhiên, điều thú vị ba tốn chúng khơng phải dành riêng cho người nghiên cứu tốn Chúng giải có kiên nhẫn, đam mê tất nhiên với chút kiến thức phổ thông vật lý Chúng không hứa hẹn trao cho bạn khám phá vượt bậc nào, mà đơn giản, chúng mang lại cảm giác thoả mãn ngào cho tìm lời đáp Đúng Robert P Crease viết: “Tìm kiếm câu trả lời Google phong cách Gardner Cách Gardner tự đốt cháy niềm đam mê trải nhiệm niềm vui vào lúc tự tìm câu trả lời.” Và cách đó, suốt 25 năm với chun mục “Các trị chơi toán học” tờ báo khoa học thường thức danh tiếng Scientific American, Gardner gieo mầm đam mê toán học cho hàng triệu người lứa tuổi, ông đem toán học đến với nhiều người lịch sử toán học làm “Martin biến hàng ngàn đứa trẻ thành nhà toán học hàng ngàn nhà toán học thành đứa trẻ” Ronald Graham, trích Thời báo New York số ngày 19 tháng 10 năm 2009 107 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Cuộc đời nghiệp Martin Gardner sinh vào ngày 21 tháng 10 năm 1914 Tulsa, Oklahoma, ngày 22 tháng năm 2010, không xa nơi ông sinh ra, thành phố Norman, Oklahoma Từ trái sang phải: Em trai, cha, Martin Gardner Cha ơng có tiến sĩ địa chất mẹ ông dạy tiểu học Lexiton, sau bà nghỉ việc để chăm sóc cho ba anh em ơng Thuở nhỏ, Gardner thích chơi bài, trò ảo thuật đọc tác phẩm phiêu lưu “Phù thủy xứ Oz” nhà văn Braum, hay “Alice lạc vào xứ thần tiên” Lewis Caroll Chính thú đam mê trị chơi trí tuệ câu chuyện phiêu lưu thuở ấu thơ ảnh hướng lớn đến định gắn bó với Tốn học giải trí đời Gardner Ơng kể rằng: “Mẹ tơi đọc “Phù thủy xứ Oz” cho nghe bé, tơi nhìn qua vai mẹ lần bà đọc Tơi học chữ đấy.” Năm 1936 Gardner tốt nghiệp khoa triết trường Đại học Chicago Sau làm việc thời gian ngắn phịng truyền 108 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 thơng Đại học Chicago, năm 1937 ông trở lại Oklahoma trở thành phóng viên cho tờ báo Tulsa Tribune Sau ơng chuyển đến làm việc cho tạp chí Humpty Dumpty, tạp chí dành cho thiếu nhi Ơng viết đặn tháng câu truyện ngắn thơ đưa lời khuyên đạo đức cho thiếu niên Đến năm 1956, ông mời viết cho chun mục trị chơi tốn học (Mathematical Games) với Scientific American Cũng từ nghiệp huyền thoại Gardner bắt đầu Cùng với niềm say mê ảo thuật đầu óc hiếu kỳ, Gardner trụ vững tạp chí khoa học có uy tín đặn đưa câu đố làm bối rối độc giả Lạ lùng, mẻ, sinh động dễ hiểu yếu tố khiến chuyên mục xuất đặn từ 1956 đến 1980 Gardner nhiều người đón đọc Chuyên mục ông mở cánh cổng dẫn đến giới toán học đầy rẫy điều thú vị Chúng không mang lại niềm vui cho người u tốn hay nhà tốn học mà cịn góp phần ni dưỡng tình u tốn cho hệ trẻ tuổi, truyền cho họ cảm hứng niềm say mê giải vấn đề Gardner phát biểu thành cơng sau: “Bí mật lớn cho thành công với vai trị chủ bút chun mục tơi khơng biết nhiều tốn.” 109 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Martin nói với tơi ơng dành 25 ngày tháng cho chuyên mục tờ Scientific American Persi W Diaconis Một bị khơng có kỹ giải vấn đề tinh tinh, chúng biết cách dùng gậy để chọc vào tổ để đuổi đám mối khỏi mặt đất Sự tiến hóa phát triển khả não để giải vấn đề, thời điểm niềm vui việc giải vấn đề tạo thành não Martin Gardner Science Good, Bad and Bogus (1981), 123 Ông tin giây phút người tận hưởng niềm vui tìm đáp án vấn đề điều quan trọng văn hố nhân loại Ơng tin điều làm nên khác biệt xã hội công nghiệp đại với thời kỳ Hy Lạp cổ khả giải câu Một hình tivi thời đại, khơng thể nỗ lực cá nhân hai mà thành hàng trăm người góp trí lực vào giải câu đố nhỏ Đối với ông niềm vui đến từ câu đố nhỏ nhặt Một thứ niềm vui khiết diệu kỳ khơng nhà khoa học phát kiến điều vĩ đại Đó thứ niềm vui mà Gardner truyền vào chuyên mục suốt phần tư kỷ Ơng đơn giản hố phát kiến tốn học lớn lao Ơng nhìn vấn đề vĩ đại với mắt nhà khám phá viết lại chúng theo cách nhà văn kể chuyện xứ Oz Ông đặt lửa dẫn đường cho hệ trẻ tự mày mò say đắm giới thần tiên tốn học Suốt nghiệp mình, ơng đóng vai trò người truyền cảm hứng, nhà ảo thuật biến điều phức tạp cao siêu trở thành q bí ẩn thú vị cho tất giàu lòng say mê khám phá 110 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Trong lễ hội Tốn học (1975) ơng viết: “Tơi cách tốt để đánh thức sinh viên đưa cho họ trị chơi tốn học hấp dẫn, câu đố, trị ảo thuật, câu nói đùa, nghịch lý, mơ hình, hay thơ câu (limerick) Không phải đề nghị giáo viên không nên làm khác ngoại trừ giới thiệu trị chơi giải trí cho sinh viên Rõ ràng có hốn đổi nghiêm túc tính giải trí Giải trí giữ cho người đọc tỉnh táo Sự nghiêm túc làm cho trò chơi đáng giá.” Martin Gardner vợ Bên cạnh Scientific American, Martin Gardner tác giả 70 đầu sách, trò chơi, ảo thuật, triết học, thiên văn, tôn giáo Ơng có bạn bè đồng nghiệp ông khắp lĩnh vực sáng tạo, từ nhà logic học, toán học Raymond Smullyan, Roger Penrose, Piet Hein đến nhà văn Isaac Asimov Vladimir Nabokov, nghệ sĩ M C Escher Salvador Dalí Vì khơng có ngạc nhiên tác phẩm ông bao hàm nhiều lĩnh vực khác Ngồi ơng chun gia hàng đầu Mỹ Lewis Carroll – tác giả “Alice lạc vào xứ thần tiên” Ngày 22/5/2010, Martin Gardner qua đời bệnh viện Norman, Oklahoma 111 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Những hạt mầm khu vườn Martin Gardner Trong phần tư kỷ (1956-1980), đề mục chung Các trị chơi tốn học, Martin Gardner làm say mê bạn đọc trị chơi trí tuệ vừa dễ hiểu vừa sâu sắc gợi mở nhiều khí cạnh mẻ Tất chúng khơng trị chơi ông sáng tạo mà phần lớn ơng tìm thấy sách Sau thơng qua trao đổi với nhà khoa học để nắm bắt ý tưởng, ơng trình bày lại chúng dạng trò chơi đơn giản Trong phần viết, muốn giới thiệu đến độc giả vài toán quan trọng tiếng Gardner giới thiệu qua chuyên mục “Các trị chơi tốn học" tờ Scientific American qua số sách ông 3.1 Flexagon Flexagon viết tính từ Gardner thức tham gia Scientific American (ơng có trước vào năm 1952 “Các máy logic” cịn làm việc Humpty Dumpty) Bài viết hoàn thành vào tháng 12 năm 1956, nhờ vậy, vào tháng Giêng 1957, chun mục “Các trị chơi tốn học” thức đời Flexagon mẫu giấy/vải phẳng, gấp nếp hay uốn cong để lật hai mặt trước sau cách sáng tạo, độc đáo Ví dụ sau cho thấy cách tạo Flexagon với mảnh hình tam giác gấp “uốn cong” lại thành lục giác Sau đó, vài động tác, mặt thay đổi hốn đổi vị trí cho để tạo thành hình dạng khác Đôi người ta viết lên mặt Flexagon số hay lời tiên đoán vận may dùng trị chơi Độc giả liên tưởng Flexagon với trị chơi “đơng tây nam bắc” quen thuộc Việt Nam Flexagons có lịch sử phong phú, phát minh cách tình cờ vào năm 1939 Arthur Harold Stone, đương thời 112 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 nghiên cứu sinh đại học Princeton Chuyện đường từ Anh sang Mỹ, Stone tình cờ cắt mẫu báo lớn gấp nó, Flexagon đời Stone sau với bạn Princeton John Tukey (nổi tiếng với phép biến đổi Fourier nhanh (FFT)), Bryant Tuckerman (nhà tô-pô học, người phát số nguyên tố Mersenne thứ 24), Richard Feynman (nhà vật lý xuất sắc, cha đẻ sơ đồ Feynman) khai phá tính chất tốn học Flexagon Nhưng chiến tranh nổ sau khiến báo họ chìm vào qn lãng 15 năm sau, Martin Gardner làm sống lại nó, đặt tảng đưa ơng vào giai đoạn thành cơng nghiệp 113 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 3.2 Bài toán thư ký Năm 1960, tờ Scientific American, lần Martin Gardner giới thiệu toán sau: “Yêu cầu người lấy số mảnh giấy tùy ý viết vào mảnh số nguyên dương khác Các số nhỏ hay lớn đến kích thước googol (bắt đầu theo sau trăm số 0) chí lớn Các mảnh đặt úp mặt xuống xếp ngẫu nhiên mặt bàn Tại thời điểm bạn phép chọn mảnh lật lên Mục tiêu toán tìm thời điểm kết thúc việc lật số để chọn mảnh giấy có số lớn Bạn quay lại chọn cách mảnh giấy lật trước Nếu bạn lật tất mảnh giấy mảnh cuối mảnh chọn." Một toán tương tự đề xuất bới Arthur Cayley vào năm 1875 tốn đưa từ trước lâu Johannes Kepler Về sau, toán sau thường biết đến với tên "bài toán thư ký", chi tiết độc giả xem Bài tốn có lời giải đẹp Đầu tiên chọn lật hết n/e mảnh (trong e số lơgarit tự nhiên) Sau chọn mảnh số mảnh cịn lại có giá trị lớn tất mảnh lật Nếu áp dụng thuật toán xác suất chọn mảnh có số lớn khoảng 1/e xác suất tối ưu Bài toán thư ký toán tiếng lý thuyết dừng tối ưu Bài toán nghiên cứu xác suất ứng dụng, thống kê, lý thuyết định 3.3 Các toán nghịch lý Các toán chọn Gardner bao gồm nhiều lĩnh vực, nghịch lý vấn đề u thích ơng Một toán kinh điển thường nhắc đến giáo trình xác suất nghịch lý ngày sinh: Trong nhóm người chọn ngẫu nhiên, xác suất để có hai người có ngày sinh bao nhiêu? 114 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Trái với dự đốn cảm tính thơng thường (theo nguyên lý Dirichlet chẳng hạn), xác suất cao buổi tiệc có 70 người xác suất có người có ngày sinh lên đến 99.9% Chi tiết hơn, độc giả xem Một nghịch lý tiếng khác Gardner giới thiệu vào tháng năm 1974 mà ngày gọi "Nghịch lý Newcomb", bắt nguồn từ nhà toán học William Newcomb Bài toán sau: Giả sử bạn tham gia trò chơi trước mặt bạn có hai hộp đậy kín Hộp chắn có chứa 1.000$, hộp thứ trống, chứa 1.000.000$ Bạn phép chọn hai hộp chọn hộp thứ Luật chơi cho biết thêm người dẫn trò dự đốn trước xem bạn chọn phương án nào: họ đốn bạn chọn hộp để trống hộp thứ 2, họ đoán bạn chọn phương án chọn hộp thứ 2, họ đặt vào 1.000.000$ Nếu họ đốn bạn chọn ngẫu nhiên hai phương án, họ để hộp trống Và quan trọng hơn, người dẫn trị ln đốn ý định bạn! Các trường hợp có cho nghịch lý Newcomb TH1 TH2 TH3 TH4 Dự đoán Lựa chọn Số tiền nhận Cả hộp Cả hộp 1.000 Cả hộp Chỉ mở hộp Chỉ mở hộp Cả hộp 1.001.000 Chỉ mở hộp Chỉ mở hộp 1.000.000 Bài tốn gọi nghịch lý có hai cách suy luận trái mà hợp lý Lập luận thứ cho rằng, chiến thuật người dẫn trò sao, lấy hộp ln có lợi Điều xảy người dẫn trị đốn bạn chọn hộp (TH1 TH2) tối đa bạn lấy 1.000 $ (ứng với TH1) tình người dẫn trị đốn bạn chọn hộp (TH3 TH4) chọn hộp (ứng với TH3) bạn 1.001.000 $ Lập luận thứ hai cho rằng, chọn hộp phương án đắn, người dẫn trị ln đốn ý định bạn, nên có TH1 TH4 xảy ra, chọn phương án mở hộp có lợi với phần thưởng 1.000.000 $ Chi tiết giải đáp cho nghịch lý này, độc giả tìm hiểu thêm 115 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 3.4 Bài tốn tơ màu Trên Scientific American số tháng năm 1975, Gardner đăng đồ giấy đặt yêu cầu dùng màu khác để tô cho vùng cho hai vùng kề phải tô hai màu khác Trong trị chơi ơng cố tình chơi trị "Cá tháng tư" nói đồ với 110 vùng bên phản ví dụ cho định lý màu Nguồn: Wolfram Bài tốn tơ màu nêu khoảng năm 1840 Măobius, cha ca di bng Măobius ni ting Gi thuyết định lý 4-màu phát biểu thức lần Guthrie vào năm 1852, gọi định lý Guthrie, phát biểu với đồ phẳng tô màu cho vùng có đường biên không tô giống màu Hai số người tiên phong chứng minh định lý Alfred Kempe, người nghiên cứu luật, vào năm 1879, Peter Tait, nhà vật lý, vào năm 1880 Nhưng 10 năm sau, Percy Heawood sai lầm cách chứng minh Kempe đồng thời đưa định lý 5-màu Đến năm 1891, Julius Petersen sai lầm cách chứng minh Tait Hơn kỷ kể từ đời, đến năm 1977, cuối định lý chứng minh Kenneth Appel Wolfgang 116 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Haken trường Đại học Illinois với trợ giúp máy tính Mặc dù nhiều nhà tốn học khơng chấp nhận kết nghi ngờ tính đắn xử lý máy tính vấn đề liên quan Năm 1996, chứng minh độc lập, ngắn gọn đưa Robertson cộng Chi tiết cho toán tiếng này, độc giả xem Dưới cách tô màu đồ đặt câu hỏi Gardner, tìm thấy Stan Wagon, nhà toán học quen thuộc với Epsilon hai số Mặc dù đồ phẳng chứng minh tô màu, thực tế việc tìm cách tơ với màu cho đồ cụ thể thường thách thức Lời giải cho tốn tơ màu đồ Martin Gardner với màu Nguồn: Wolfram 3.5 Phân dạng Phân dạng, hay quen thuộc Fractal hay hình (học) Fractal, hình có cấu trúc tự đồng dạng, giới thiệu Gardner vào tháng 12 năm 1976, với tên gọi ban đầu "đường cong quái vật" (Monster curve) Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu hình tự đồng dạng từ kỷ 17, Gottfried Leibniz xem xét đường gấp khúc 117 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 định nghĩa đường thằng đường phân dạng chuẩn: "các đường thẳng đường cong, phần tương tự với toàn bộ" Benoˆıt Mandelbrot người đưa khái niệm fractal, bắt nguồn từ tiếng La-tinh fractus nghĩa "đứt gãy" Mandelbrot sống không xa Gardner viết, thời gian này, nhà riêng mình, Gardner giới thiệu Mandelbrot với Conway, nhà toán học người Anh chuyên nghiên cứu lý thuyết số, mã hóa, tổ hợp đặc biệt người phát minh "trò chơi đời" Như Gardner thuật lại hồi ký mình, "Conway có phát cho tốn ghép hình Penrose (Penrose tiling), Mandelbrot quan tâm đến phát minh mẫu ghép Penrose có dạng Fractals Bạn mở rộng thu hẹp chúng, chúng ln ln có hình dạng tương tự." 3.6 Mã hóa RSA Tháng năm 1977, Martin Gardner cho đăng “Một cách mã hóa hàng triệu năm để giải mã" Bài viết giới thiệu phương pháp mã hóa RSA, phương pháp mã hóa cơng khai mà trước khơng tin thực Khi nhận viết từ tác giả Ron Rivest, Adi Shamir Leonard Adleman, Gardner thích thú có ấn tượng sâu sắc Ơng phá vỡ ngun tắc thơng thường mình, chuẩn bị đăng từ trước nhiều tháng mà xuất viết phương pháp RSA 118 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Ý tưởng RSA độc giả tìm hiểu Để chứng tỏ khả RSA, tác giả gửi cho Gardner thơng điệp E mã hóa gồm 128 ký tự, với khóa cơng khai s = 9007 trao giải thưởng 100 $ cho giải mã thông điệp gốc E Thông điệp mã hóa thách thức Gardner gửi đến độc giả Mật mã RSA trở thành tiêu chuẩn cơng nghiệp biến thể sử dụng ngày hôm Trong thời gian gần câu hỏi độ an toàn xem xét lại Và viết Gardner mang tính chất đột phá, tiêu đề khơng hồn tồn xác Thông điệp thách thức giải mã thành công vào khoảng tháng năm 1994, 17 năm sau tốn đăng thay hàng triệu năm Ngồi vấn đề nêu trên, nhiều tốn tiếng quan trọng khác Gardner phổ biến đến đông đảo độc định lý lớn Fermat, trò chơi đời, giả thuyết 3n + hẳn độc giả nhớ, "bài tốn đội nón" mà chúng tơi giới thiệu hai số Epsilon ươm mầm từ người bạn tốt mà tốn học có Những điều biết Gardner Chú giải tác phẩm Alice lạc vào xứ thần tiên (The Annotated Alice) (1960) tác phẩm bán chạy ông Nó phản ánh 119 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 tình yêu Gardner tác phẩm nhà văn tiếng người Anh, Lewis Carroll (cũng nhà toán học Charles Dodgson) Những giải Gardner giải đáp ẩn ý lô-gic toán học “Alice lạc vào xứ thần tiên” "Through the Looking-Glass" Gardner Alice Central Park Bên cạnh niềm say mê toán học, Gardner bút nhiệt tình việc lên tiếng chống lại tượng mạo danh khoa học Trong số 100 sách, “Những trò lố bịch nhân danh khoa học” nói nhiều lỗi khoa học trị thủ đoạn Năm 1976, Gardner tham gia vào nhóm Carl Sagan, Isaac Asimov nhiều người khác thành lập Ủy ban điều tra tượng huyền bí, siêu nhiên Ông xuất báo khoa học (có bình duyệt) tuổi 74! Bài báo ông viết chung với cặp vợ chồng Fan Chung Ronald Graham đăng tạp chí Mathematics Magazine Hơn hai thập kỷ kế tiếp, nhiều báo khác đăng MAA, bao gồm báo đạt giải thưởng Math Horizons “The Square Root of Two = 1.41421 35623 73095 ” (Căn bậc 1.41421 35623 73095 ) khảo sát tính vơ tỷ bậc mà sử dụng bốn câu "đồng dao" ông làm lời "đề từ" cho viết Đây điểm kết cho viết giới thiệu Martin Gardner, người làm vườn vĩ đại tốn học 120 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Chú thích Vì viết trích dẫn đề cập đến nhiều nhà khoa học, nhà văn, nghệ sĩ khác nên liên kết trực tiếp tiểu sử người thông qua Wikipedia mà khơng sử dụng thích Bài viết tổng hợp biên dịch từ nguồn sau: BBC - Martin Gardner, puzzle master extraordinaire Tham khảo chủ yếu cho phần Huffingtonpost - Martin Gardner – The Best Friend Mathematics Ever Had - Colm Mulcahy Tham khảo chủ yếu cho phần AMS - Magical Mathematics - A Tribute to Martin Gardner - Joseph Malkevitch Tham khảo chủ yếu cho phần Tia sáng - Martin Gardner Người gợi cảm hứng cho niềm say mê toán học - Ngọc Tú Tham khảo chủ yếu cho phần New York Times - Martin Gardner, Puzzler and Polymath, Dies at 95 - Douglas Martin Tham khảo chủ yếu cho phần Scientific American (blog) - The Top 10 Martin Gardner Scientific American Articles - Colm Mulcahy Tham khảo chủ yếu cho phần Trò chơi đời - Hà Dương Tường Tham khảo chủ yếu cho phần Recreational Mathematics Magazine No 2014 - Martin Gardner’s Mathemagical Life - Tereza Bártlová Tham khảo cho toàn Tất tài liệu từ Internet truy cập vào tháng năm 2015 121 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 122 ... Gardner gieo mầm đam mê toán học cho hàng triệu người lứa tuổi, ơng đem tốn học đến với nhiều người lịch sử toán học làm ? ?Martin biến hàng ngàn đứa trẻ thành nhà toán học hàng ngàn nhà toán học. .. Tia sáng - Martin Gardner Người gợi cảm hứng cho niềm say mê toán học - Ngọc Tú Tham khảo chủ yếu cho phần New York Times - Martin Gardner, Puzzler and Polymath, Dies at 95 - Douglas Martin Tham... phần Huffingtonpost - Martin Gardner – The Best Friend Mathematics Ever Had - Colm Mulcahy Tham khảo chủ yếu cho phần AMS - Magical Mathematics - A Tribute to Martin Gardner - Joseph Malkevitch