Nghiên cứu trình bày đôi chút về lịch sử định lý, các cách chứng minh định lý, cách chứng minh của Lagrange và chứng minh của D.Tsagir. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung chính của bài viết này.
ĐỊNH LÝ FERMAT-EULER VỀ TỔNG HAI BÌNH PHƯƠNG V Tikhomirov (Trần Nam Dũng dịch từ tạp chí Kvant – dịch năm 1995) Các bạn để ý xem số nguyên tố đầu tiên: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 : : : : Các số 5, 13 17 biểu diễn dạng tổng hai bình phương: D 12 C 22; 13 D 22 C 32; 17 D 12 C 42; : : : số lại 3; 7; 11; 19/ khơng thể biểu diễn Có thể cách giải thích điều hay khơng? Có, ta có định lý sau: Định lý 0.1 Điều kiện cần đủ để số nguyên tố biểu diễn dạng tổng hai bình phương số dư phép chia số cho (Thật thế, D 4:1 C 1; 13 D 4:3 C 1; 17 D 4:4 C 1, D 4:0 C 3; D 4:1 C 3; 11 D 4:2 C 3; 19 D 4:4 C : : :) Đôi chút lịch sử định lý Ai người phát điều này, nào? Vào dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày 25:12:1640) nhà toán học vĩ đại Pier Fermat (1601-1665) thông báo cho Mersenne, bạn thân Descartes “liên lạc viên” nhà bác học đương thời “Mọi số nguyên tố có số dư phép chia cho biểu diễn cách dạng tổng hai bình phương” Thời chưa có tạp chí tốn học, tin tức trao đổi qua thư kết thông thường thông báo mà không kèm theo chứng minh Thực sau gần 20 năm sau thư đó, thư gửi cho Carcavi, gửi vào tháng năm 1659, Fermat tiết lộ ý tưởng phép chứng minh định lý Ông viết ý tưởng phép chứng minh dùng phương pháp xuống thang, cho phép từ giả thiết định lý không với p D 4k C 1, suy khơng với số nhỏ cuối ta đến số 5, mà rõ ràng mâu thuẫn Những cách chứng minh Euler (1707-1783) tìm khoảng 1742-1747 Hơn nữa, để tỏ rõ vị trí Fermat, người mà ơng kính trọng, Euler tìm phép chứng minh dựa theo ý tưởng Fermat Vì vậy, ta gọi định lý định lý Fermat-Euler Những kết tốn học thường có tính chất chung: ta đến nhiều đường khác nhau, cơng chúng từ nhiều hướng, đường đem đến cho người khơng biết sợ khó khăn khối cảm tuyệt vời Tơi muốn chứng tỏ điều ví dụ định lý Fermat-Euler Ta đến đỉnh cao, phát minh vào kỷ XVII ba đường khác Một chúng tìm vào kỷ XVIII, đường khác – kỷ XIX đường thứ ba kỷ XX 97 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Các cách chứng minh định lý 2.1 Cách chứng minh Lagrange Cách chứng minh (có thay đổi đơi chút) trình bày hầu hết sách lý thuyết số Nó dựa bổ đề Wilson (1741-1793): Nếu p số nguyên tố số p 1/Š C chia hết cho p Để không sâu vào chứng minh kết phụ này, ta tường minh ý tưởng phép chứng minh ví dụ số 13 Với số nằm 11 (kể số này), ta tìm số mà tích chúng chia 13 cho dư 1: 13 1/Š D 12Š D 2:7/:.3:9/:.4:10/:.5:8/:.6:11/:12.2:7 D 14 D 13 C 1; 3:9 D 27 D 13:2 C 1; 4:10 D 40 D 13:3 C 1; 6:11 D 66 D 13:5 C 1/: Từ đẳng thức viết suy số 12Š Khi chia 13 dư 12, nghĩa 12Š C chia hết cho 13 Trường hợp tổng quát chứng minh tương tự Từ bổ đề Wilson, ta rút hệ sau: Nếu p D 4n C số nguyên tố 2n/Š/2 C chia hết cho p Thật vậy, (bổ đề Wilson) 4n/Š C chia hết cho p, phép biến đổi bản, ta thu 4n/Š C D 1:2 : : : 2n:.2n C 1/ : : : 4n/ C D 1:2 : : : 2n:.p 2n/.p D 2n/Š 1/2n 2n/Š C pk C Á 2n/Š/2 C 2n C 1/ : : : p 1/ C mod p/ từ suy đpcm Đặt N D 2n/Š Như ta chứng minh N Á mod p/: Bây ta phải vượt qua khó khăn Xét tất cặp số nguyên mI s/ cho Ä p p p p ( p - phần nguyên p) m; s Ä p Số cặp số p C > p Như với hai cặp số m1 I s1 / m2 I s2 /, số dư phép chia m1 CN s1 m2 CN s2 cho p giống nhau, nghĩa số a CN b, a D m1 –m2 ; b D s1 –s2 chia hết cho p Nhưng đó, a2 –N b D a C N b/.a N b/ chia hết cho p, và, nghĩa là, ý N Á mod p/ ta thu a2 C b chia hết cho p, nghĩa a2 C b D rp, r nguyên dương Mặt khác, a2 C b < 2p, nghĩa r D a2 C b D p Định lý chứng minh 2.2 Chứng minh D.Tsagir Phép chứng minh nhà tốn học đương đại D.Tsagir làm tơi hồn tồn bất ngờ: điều kỳ diệu mà kết thu tưởng chừng khơng từ Sau cách chứng minh Ta xét phép biến đổi mà ba số nguyên dương xI yI z/ đặt tương ứng với ba số x I y I z / theo quy tắc: x D x C 2z; y D z; z D y–x–z; x < y–z 1/ x D 2y–x; y D y; z D x–y C z; y–z Ä x Ä 2y 2/ x D x–2y; y‘ D x–y C z; z D y trường hợp lại 3/ Ta ký hiệu phép biến đổi B: B.x; y; z/ D x ; y ; z /: 98 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Rất dễ dàng chứng minh phép biến đổi B giữ nguyên dạng x C 4yz Ta chứng minh điều này, chẳng hạn cho trường hợp (1) Ta có x 02 C 4y z D x C 2z/2 C 4z.y x z/ D x C 4xz C 4z C 4zy–4zx–4z D x C 4yz: Trong trường hợp lại, việc kiểm tra đơn giản Có nghĩa số p ta có đẳng thức x C 4yz D p, đẳng thức giữ nguyên sau phép biến đổi B Ta kiểm chứng phép biến đổi B xoắn, có nghĩa áp dụng B hai lần, quay trở lại ví trí ban đầu Ta lại làm điều cho (1) Với x < y–z, x D 2z C x, y D z, z D y–z–x, từ x C x C 2z > 2z D 2y nghĩa phải tính B.x ; y ; z / theo công thức (3): x” D x –2y D x C 2z–2z D xI y” D x –y C z D x C 2z–z C y–x–z D yI z” D y D z: Các trường hợp khác tương tự Bây ta giả sử p số nguyên tố dạng 4nC1 Khi đó, thứ nhất, phương trình x C4yz D p có hai nghiệm: x D 1; y D n; z D x D y D 1; z D n: Và, thứ hai, phương trình có hữu hạn nghiệm (ngun dương!) Nếu giả sử nghiệm phương trình khơng có nghiệm mà y D z (nếu có nghiệm định lý chứng minh: p D x C 2y/2 ), ta thu phép biến đổi B chia tất nghiệm thành cặp (.x; y; z/; B.x; y; z/), như, tt nhiờn x; y; z/ Ô B.x; y; z/ Ta thử tìm xem, có cặp khơng, hay, người ta thường nói, tồn điểm bất động phép biến đổi B Nếu nhìn vào công thức (1) – (3) ta dễ dàng nhận thấy điểm bất động B điểm mà x D y Nhưng x D y > phương trình x C 4yz D p khơng có nghiệm (vì p khơng chia hết cho y) Nghĩa có điểm bất động 1; 1; n/ Từ tất lý luận ta suy số nghiệm phương trình x C 4yz D p số lẻ: có điểm bất động 1; 1; n/, cịn tất nghiệm khác chia thành cặp Nhưng, ta lại có phép biến đổi nữa, ta ký hiệu J J thay đổi chỗ y z: J.x; y; z/ D x; z; y/ Phép biến đổi này, tất nhiên, giữ nguyên dạng x C 4yz xoắn Ta thử xem, ba số (trong nghiệm phương trình x C 4yz D p) J giữ nguyên, tức x; y; z/ cho J.x; y; z/ D x; y; z/ Ta giả sử từ trc l y Ô z Nhng ú thỡ khụng thể có điểm bất động! Nghĩa tất nghiệm chia thành cặp Như số nghiệm chẵn Nhưng ta vừa khẳng định số nghiệm lẻ Mâu thuẫn Nghĩa là, chắn phải tồn nghiệm phương trình x C 4yz D p mà y D z, p tổng hai bình phương Định lý chứng minh 2.3 Cách chứng minh thứ ba Cách chứng minh cùa Minkowsky, sửa đổi đôi chút, mà nói đến đây, cịn làm ngạc nhiên gấp bội Đáng tiếc cách chứng minh không sơ cấp lắm, cụ thể là, ta cần biết ellipse cơng thức tính diện tích ellipse Tất kết Minkowsky mà tưởng chừng khơng có liên hệ với định lý Fermat-Euler Định lý 2.1 Cho a, b, c số nguyên a > ac–b D Khi phương trình ax C 2bxy C cy D có nghiệm nguyên 99 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Lời giải Ta xét hệ toạ độ Descartes vng góc cho tích vơ hướng cơng thức x; y/; x ; y // D axx C bxy C bx y C cyy Tích vơ hướng cho ta “khỏang cách” từ gốc toạ độ đến điểm x; y/ p p d 0; 0/; x; y// D x; y/.x; y/ D ax C 2bxy C cy : Ta tìm “khoảng cách” ngắn từ gốc toạ độ đến điểm khác 0; 0/ lưới nguyên m; n/ (m n số nguyên) Ta gọi khỏang cách d đạt điểm m ; n /, am /2 C 2bm n C cn /2 D d 4/ Tập hợp điểm x; y/ mặt phẳng thoả mãn bất đẳng thức ax C 2bxy C cy Ä d đưa ellipse “co” đến tâm nằm điểm nguyên (tịnh tiến) tất ellipse thu có cắt cắt theo điểm biên Dễ dàng thấy diện tích phần giao ellipse với tam giác có đỉnh 0; 0/, 1; 0/ 1; 1/ nửa diện tích tồn ellipse Mà diện tích  à d /2 d /2 d /2 a b det ac b / D ac b / D b c 4 ellipse Từ cách xây dựng ta suy vị tự ellipse theo tỷ số (chỗ không sơ cấp nhất!) Như vậy, diện tích phần mà ellipse chiếm tam giác d phần diện tích tam giác, , nghĩa d < Nhưng d số nguyên dương Nghĩa d chứng minh )d 2 < D từ d D 1! Định lý Minkowsky Nhưng kết tuyệt vời có liên quan đến định lý Fermat-Euler? Liên quan trực tiếp đấy!  à p Ta biết từ bổ đề Wilson số b C 1, b D Š chia hết cho p, không? 2 à p b2 C Bây áp dụng định lý Minkowsky cho số a D p, b D Š c D Ta thu a tồn số nguyên m n cho D am2 C 2bmn C cn2 từ a D a2 m2 C 2abmn C b C 1/n2 D am C bn/2 C n2 Như (nhớ lại a D p) p D am C bn/2 C n2 nghĩa p tổng hai bình phương Và lần định lý chứng minh 100 ... số nghiệm chẵn Nhưng ta vừa khẳng định số nghiệm lẻ Mâu thuẫn Nghĩa là, chắn phải tồn nghiệm phương trình x C 4yz D p mà y D z, p tổng hai bình phương Định lý chứng minh 2.3 Cách chứng minh thứ... ellipse Tất kết Minkowsky mà tưởng chừng khơng có liên hệ với định lý Fermat- Euler Định lý 2.1 Cho a, b, c số nguyên a > ac–b D Khi phương trình ax C 2bxy C cy D có nghiệm nguyên 99 Tạp chí Epsilon,... Nhưng d số nguyên dương Nghĩa d chứng minh )d 2 < D từ d D 1! Định lý Minkowsky Nhưng kết tuyệt vời có liên quan đến định lý Fermat- Euler? Liên quan trực tiếp đấy!  à p Ta biết từ bổ đề Wilson