Phân tích chuyển động dính – trượt ở vận tốc thấp của một hệ dao động ma sát có thành phần cản phi tuyến và chịu kích động ngoài tuần hoàn

Nghiên cứu này tập trung phân tích chuyển động vận tốc thấp của hệ dao động dính – trượt có cản phi tuyến dưới tác dụng của tải ngoài tuần hoàn và của lực ma sát mô tả bởi mô hình LuGre. Đối với chuyển động trong miền vận tốc thấp, mô hình LuGre bắt được hiệu ứng Stribeck, vốn là hiệu ứng ma sát mà trong đó lực ma sát giảm khi vận tốc tăng.

Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Phân tích chuyển động dính – trượt vận tốc thấp hệ dao động ma sát có thành phần cản phi tuyến chịu kích động ngồi tuần hồn Phạm Ngọc Chung1*, Nguyễn Như Hiếu2,3 Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất; Khoa Cơ khí – Cơ điện tử, Trường Đại học Phenikaa; Viện Nghiên cứu PRATI, Tập đoàn Phenikaa *Email liên hệ: phamngocchung@humg.edu.vn Nhận ngày 01/8/2021; Hoàn thiện ngày 08/9/2021; Chấp nhận đăng ngày 12/12/2021 DOI: https://doi.org/10.54939/1859-1043.j.mst.76.2021.157-166 TÓM TẮT Nghiên cứu tập trung phân tích chuyển động vận tốc thấp hệ dao động dính – trượt có cản phi tuyến tác dụng tải tuần hoàn lực ma sát mơ tả mơ hình LuGre Đối với chuyển động miền vận tốc thấp, mơ hình LuGre bắt hiệu ứng Stribeck, vốn hiệu ứng ma sát mà lực ma sát giảm vận tốc tăng Mơ hình hệ gồm vật nặng có liên kết lị xo tuyến tính cản phi tuyến, đặt băng tải chuyển động với vận tốc tương đối thấp Kết nhận rằng, tác dụng tải trọng tuần hồn, ứng xử hệ phong phú, xuất chuyển động tuần hồn chuyển động có tính chất hỗn độn Đặc trưng chi tiết dạng chuyển động khảo sát thơng qua phương pháp giải số Từ khóa: Ma sát khơ; Chuyển động dính-trượt; Hiệu ứng Stribeck; Tuần hồn; Hỗn độn GIỚI THIỆU Dao động dính - trượt tượng dao động phổ biến xuất thực tế chuyển động có ma sát hai bề mặt tiếp xúc với thường xảy vận tốc tương đối thấp [1-3] Người ta quan sát đặc tính dính - trượt tốn kỹ thuật q trình khoan, cắt máy cơng cụ [4, 5], q trình nhả hãm phanh hệ phanh phương tiện vận chuyển [6, 7] Các chế chuyển động dính - trượt nghiên cứu từ nhiều thập niên trở lại thông qua nghiên cứu thực nghiệm nghiên cứu lý thuyết [8] Kato đồng nghiệp [9] nghiên cứu thực nghiệm chuyển động dính - trượt máy công cụ điều kiện trượt khác Các tác giả đề xuất biểu diễn cho hệ số ma sát tĩnh ma sát động biểu thức đại số đơn giản phù hợp với đo đạc thực nghiệm thu Sự hình thành chuyển động dính - trượt xem xuất phát từ đặc tính chuyển động qua lại với vận tốc tương đối chậm hai bề mặt với You Hasia [10] xem xét ảnh hưởng mối quan hệ tốc độ chuyển động lực ma sát đến xuất chuyển động dính trượt nghiên cứu giải tích Kết tham số tốc độ tăng dẫn đến tần số dao động tăng biên độ bị giảm Tác giả độ lớn độ dốc đường cong tốc độ - ma sát ảnh hưởng đáng kể đến chuyển động dính - trượt mức gần vận tốc không Đi sâu vào chất vật lý, Ponomarev Meyerovich [11] nghiên cứu ảnh hưởng độ nhám bề mặt ảnh hưởng lớp bôi trơn chất lỏng bề mặt tới chuyển động dính - trượt Các bề mặt nhìn cấp độ vi mơ thường khơng mức độ mấp mô bề mặt ngẫu nhiên Do đó, để nghiên cứu tượng dính - trượt, tác giả xấp xỉ bề mặt ngẫu nhiên bề mặt tương đương (phẳng) sử dụng cách tiếp cận xác suất để tính đặc trưng đáp ứng bề mặt Các thí nghiệm so sánh đánh giá Chuyển động dính - trượt thường chuyển động khơng có lợi Do đó, người ta tìm biện pháp nhằm khử giảm tới mức thấp ảnh hưởng chuyển động Mới đây, nghiên cứu Kligerman Varenberg [12] đề xuất mơ hình tựa tĩnh mà giải thích triệt tiêu chuyển động dính - trượt hai bề mặt rắn đàn hồi có cấu trúc độ nhám đặc biệt tiếp xúc với Nghiên cứu gợi ý để khử chuyển động dính - trượt Lin đồng nghiệp [13] nghiên cứu khử dao động Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 76, 12 - 2021 157 Cơ kỹ thuật & Cơ khí động lực dính - trượt cho hệ máy khoan với mơ hình tham số phân bổ thơng qua phân tích bám quỹ đạo với việc sử dụng điều khiển phản hồi kiểu PD (proportional-derivative feedback controller) Phân tích ổn định điều khiển dính - trượt cho hệ máy khoan với việc xem xét đặc tính trễ phụ thuộc trạng thái trình bày nghiên cứu Zheng đồng nghiệp [14] Mới đây, chế tượng dính - trượt chuyển động có ma sát hệ ổ trục trình bày nghiên cứu thực nghiệm Han Lee [15] Các tác giả mơ hình hóa hệ hệ hai bậc tự nhận dạng tham số mơ hình từ liệu thực nghiệm đo đạc Trong hầu hết nghiên cứu trên, dao động dính - trượt quan sát từ toán thực nghiệm nghiên cứu cơng cụ giải tích cơng cụ tính tốn số [1, 16] Bởi yếu tố ma sát tính đến, phương trình chuyển động hệ mơ hình hóa có đặc điểm chung tính khơng liên tục đường đặc trưng ma sát - vận tốc vận tốc khơng, chuyển động dính - trượt xảy miền lân cận vận tốc khơng Chúng ta biết rằng, hai mơ hình đơn giản nghiên cứu hệ ma sát mơ hình ma sát Coulomb mơ hình ma sát nhớt Tuy nhiên, hai mơ hình thích hợp cho mô tả chuyển động với vận tốc đủ lớn Đối với hệ có chuyển động với vận tốc thấp, người ta quan sát thấy diện hiệu ứng Stribeck địi hỏi mơ hình thích hợp để mô tả hiệu ứng Canudas de Wit đồng nghiệp [17] đề xuất mơ hình ma sát, gọi mơ hình LuGre, mơ tả tương đối tốt hiệu ứng Stribeck, tức hiệu ứng mà lực ma sát giảm vận tốc tăng miền vận tốc thấp Ở đây, hiểu miền vận tốc thấp miền vận tốc có giá trị tương đối nhỏ, gần vận tốc không Để định lượng mức độ miền vận tốc thấp, người ta đưa tham số gọi vận tốc Stribeck Giá trị tham số xác định từ thực nghiệm [1, 2] Tham số vận tốc Stribeck cho biết mức độ thay đổi vận tốc ảnh hưởng đến đường cong đặc trưng vận tốc - ma sát chế độ chuyển động bình ổn hệ Hiệu ứng Stribeck có ý nghĩa vận tốc nằm miền giới hạn vận tốc Stribeck Từ đề xuất Canudas de Wit [17], mơ hình LuGre mơ hình sử dụng tương đối phổ biến để mô tả nhiều tượng ma sát khác nhiều hệ kỹ thuật, chẳng hạn tượng dính - trượt, tượng trễ, tượng trước trượt (từ trạng thái tĩnh bắt đầu chuyển sang trạng thái trượt), tượng lực thoát Trong năm gần đây, mơ hình LuGre cải tiến để phù với nhiều đối tượng nghiên cứu khác Saha đồng nghiệp [18] đề xuất mơ hình ma sát dựa vào mơ hình LuGre, mơ tả tương đối xác chất lực ma sát chế độ chuyển động trượt hai bề mặt Pikunov Stefanski [19] cải tiến mơ hình LuGre cách bổ sung hệ số có trọng vào phương trình chuyển động biến trạng thái trong, tức biến trạng thái mô tả độ võng lơng, mơ hình lơng thể tính chất đàn hồi cản độ nhám bề mặt Chuyển động dính - trượt sử dụng mơ hình LuGre cải tiến Pikunov Stefanski nghiên cứu phương pháp số Mới nhất, nghiên cứu Hieu Chung [20], tác giả phát triển mô hình LuGre kết hợp với hiệu ứng thời gian chờ (dwell-time) cho mơ hình hệ khối lượng chuyển động dính - trượt băng tải vận tốc thấp Các tác giả phân tích định tính tính chất ổn định, rẽ nhánh đặc trưng dính - trượt hệ có xuất hiệu ứng chờ Trong báo này, tác giả sử dụng mơ hình ma sát LuGre với hiệu ứng Stribeck để nghiên cứu dao động ma sát hệ bậc tự có cản phi tuyến tác dụng lực kích động ngồi Tính chất cản phi tuyến hệ kết hợp với toán ma sát sử dụng mơ hình LuGre vấn đề hai lý sau đây: (i) đặc trưng cản phi tuyến nghiên cứu trước thường xét hệ khơng tính đến yếu tố ma sát; (ii) hệ ma sát xem hệ có ứng xử phức tạp, tính chất cản thường xét phạm vi cản tuyến tính Sự có mặt đồng thời hai nguồn phi tuyến đến từ yếu tố cản yếu tố ma sát kỳ vọng làm cho hệ có ứng xử tương đối đa dạng xuất chuyển động tuần hồn chuyển động có tính chất hỗn độn Các tượng khảo sát chi tiết nghiên cứu 158 P N Chung, N N Hiếu, “Phân tích chuyển động dính – trượt … kích động ngồi tuần hồn.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG Mơ hình LuGre phiên mở rộng mơ hình Dahl để bắt hiệu ứng Stribeck miền vận tốc thấp Trong thực tế, cấp độ vi mơ, bề mặt có cấu trúc khơng nhau, thế, hai bề mặt tiếp xúc trượt qua vị trí có hình dạng mấp mơ [17] Người ta mơ hình hóa bề mặt tiếp xúc thơng qua mơ hình lơng đàn hồi Mỗi bề mặt có cấu trúc lơng giống bề mặt bàn chải, đó, lơng có cấu trúc dạng dầm đàn hồi kích cỡ nhỏ cấp độ micro Khi chịu tác dụng lực, lơng bị lệch có tính chuyển động đàn hồi lò xo tạo lực tiếp tuyến bề mặt gọi lực ma sát Mơ hình Canudas de Wit đồng nghiệp [17] đề xuất dựa ứng xử độ lệch trung bình lơng đàn hồi Sử dụng mơ hình LuGre [17] báo này, nhóm tác giả nghiên cứu dao động ma sát hệ minh họa hình 1, có cản phi tuyến điều kiện chuyển động với vận tốc thấp Hệ có thành phần: vật nặng có khối lượng M nằm băng tải kết nối với giá cố định thông qua lị xo tuyến tính với độ cứng K , cản nhớt phi tuyến với hệ số cản C Chuyển động băng tải giả sử có vận tốc khơng đổi Vb Một lực kích động ngồi dạng điều hòa với biên độ P0 tần số  tác dụng lên vật nặng Hình Hệ bậc tự có cản phi tuyến đặt băng tải chuyển động Giữa bề mặt vật nặng băng tải có thành phần lực ma sát Ffr Vr , Z  phụ thuộc vào vận tốc tương đối Vr  Vb  X biến trạng thái Z , gọi biến trạng thái trong, mô tả độ võng trung bình lơng mơ hình LuGre Phương trình vi phân chuyển động hệ viết cho chuyển dịch X biến trạng thái Z có dạng sau đây: MX  CX  KX  Ffr Vr , Z   P0 sin   t  (1) Vr dZ  Vr  Z dt G Vr  (2) Trong đó: Ffr Vr , Z   N0* f Vr , Z  lực ma sát với N 0* phản lực pháp tuyến hàm f Vr , Z  cho [17, 19] f Vr , Z     Z  1Z   2Vr N0*  (3) Trong đó:  độ cứng lơng; 1 ,  hệ số hệ số cản lông hệ số cản nhớt chuyển động tương đối hai bề mặt Trong phương trình (2), hàm Stribeck G  G Vr  vận tốc tương đối Vr , cho [17]: 2       Vr      Vr    *  0G Vr   FC  ( FS  FC )exp      N C   S  C  exp       V V     s     s    Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 76, 12 - 2021 (4) 159 Cơ kỹ thuật & Cơ khí động lực Trong đó: FC  C N0* FS  S N0* tương ứng lực ma sát Coulomb lực ma sát tĩnh; C  S hệ số ma sát Coulomb hệ số ma sát tĩnh; Vs vận tốc Stribeck Đặt 0  K M  g X [rads-1] tần số tự nhiên hệ, đó, độ giãn đặc trưng lò xo định nghĩa X  Mg K [m] Ta đưa hệ phương trình vi phân chuyển động (1) (2) dạng không thứ nguyên sau: d x   d  dx    h   x    p0 sin    N f  vr , z  d    v dz  vr  r z d g  vr  (5) (6)   0 t thời gian khơng thứ nguyên tham số không thứ nguyên khác cho bởi: x V P V Cg  X dx Z , z , h= , , vb  b , vr  r  vb  , p0  , 0 X 0 X X0 0 Mg d ω0 K X0 N* N  , f  vr , z   f Vr , Z   f 0 X 0vr , Z  Mg (7) Biểu thức toán học hàm ma sát f  vr , z  không thứ nguyên là: f  vr , z    z  1 dz   2vr d (8) Trong đó: 0  0 X0 N0* , 1  10 X N0* , 2   20 X N0* (9) Hàm g  vr  phương trình (6) xác định [19]: g  vr    v2   N0   C   S  C  exp   r2       vs   (10) với vs  Vs / 0 X  vận tốc Stribeck không thứ nguyên Trong không gian trạng thái, phương trình vi phân chuyển động (5), (6) đưa dạng ba phương trình vi phân cấp sau đây: dx u d du  hu  x  p0 sin    N0 f  vr , z  d v dz  vr  r z d g  vr  (11.a) (11.b) (11.c) f , g hàm xác định từ (8) (10) Có thể thấy hệ (11) có cấu trúc phi tuyến, đó, có hai nguồn phi tuyến gồm: nguồn thứ đến từ giả thiết độ cứng phi tuyến cản nhớt gắn với vật nặng M , nguồn thứ hai đến từ đặc tính tiếp xúc ma sát bề mặt vật nặng M băng tải Sự xuất hai nguồn phi tuyến làm ứng xử hệ trở nên đa dạng nghiên cứu báo thông qua cách tiếp cận khảo sát phương pháp số 160 P N Chung, N N Hiếu, “Phân tích chuyển động dính – trượt … kích động ngồi tuần hồn.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ ĐẶC TRƯNG CỦA CHUYỂN ĐỘNG DÍNH – TRƯỢT 3.1 Tiến triển theo thời gian đáp ứng biểu diễn quỹ đạo pha Trong phần này, tác giả phân tích số kết chuyển động dính - trượt hệ xét sử dụng thuật toán số dựa phương pháp Runge-Kutta bậc Trong hình 2a, hình 2b, ta quan sát đáp ứng theo thời gian hệ dao động (11) với tham số mô lấy sau: vb  0.1 , S  0.3 , C  0.15 , vs  0.1 , p0  0.1 , N0  ,   1000 , 1  30 ,   0.1 Quan sát hình 2a thấy rằng, dịch chuyển của vật tiến tới nghiệm tuần hồn thời gian khơng thứ ngun  đủ lớn (chi tiết thời gian  khoảng [150, 200] thể hình 2b) Từ đồ thị vận tốc tương đối vb  u , thấy chuyển động hệ trạng thái bình ổn chuyển động tuần hồn bao gồm hai pha xen kẽ nhau: pha chuyển động dính với vận tốc tương đối chuyển động gần không; pha chuyển động trượt với vận tốc tương đối chuyển động thay đổi khác không Đáp ứng z  t  biểu diễn độ lệch lông trình vật thể M chuyển động băng tải Bởi độ lệch lơng phản ánh chuyển động đặc trưng bề mặt thang vi mơ, biểu chuyển động cực nhỏ lông đại điện cho thay đổi độ nhám bề mặt theo thời gian hai bề mặt tiếp xúc cọ sát lên Quá trình thay đổi độ lệch lơng cho thấy diễn biến pha dính diễn hai bề mặt tiếp xúc mà mơ hình ma sát cổ điển, chẳng hạn mơ hình ma sát Coulomb khơng phản ánh Nếu chuyển động với vận tốc lớn, độ lệch lơng đạt tới mức lệch giới hạn, đó, bề mặt xem trượt tượng dính khơng đáng kể Từ phương trình (8), thực tế lực đàn hồi sinh độ cứng lông lớn nhiều so với hai lực cản cịn lại mơ hình LuGre, đó, dáng điệu đáp ứng z gần định dáng điệu lực ma sát (a) (b) Hình Đáp ứng theo thời gian hệ dao động ma sát Hình 3a mơ tả mặt phẳng pha với hai tọa độ chuyển dịch vận tốc tương đối vật Trong chuyển động bình ổn, mặt phẳng pha hình thành vịng giới hạn có tính khép kín khơng trịn, phần gần phẳng vòng đặc trưng cho giai đoạn chuyển động dính vật băng tải, phần vịng cung phía thể chuyển động trượt vật băng tải với vận tốc chuyển động tương đối thay đổi khác không Đặc tính khác hẳn so với chuyển động tuần hồn thơng thường khơng có chuyển động dính Trên hình 3b, ta thấy đường cong lực ma sát-vận tốc tương đối (còn gọi vòng trễ ma sát) có đặc điểm tự giao cắt có chiều ngược chiều kim đồng hồ Hình 4b mơ tả giảm cản lơng gây vịng trễ địa phương ngược chiều kim đồng hồ chế độ trước trượt, điều có liên quan đến dao động khơng mong muốn pha dính minh họa hình 4a Để kiểm soát dao động này, người ta cần tăng cản lông, kết minh Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 76, 12 - 2021 161 Cơ kỹ thuật & Cơ khí động lực họa hình Hơn nữa, quan sát từ mặt phẳng pha hình 4a vận tốc dao động vượt vận tốc băng tải bắt đầu pha dính Trong trường hợp 1  30 hình 5a, giá trị vượt nhỏ nhiều so với trường hợp độ cứng 1  hình 4a (a) (b) Hình (a) Hình ảnh mặt phẳng pha (b) Đường cong lực ma sát-vận tốc tương   100 , 1  10   0.04 (a) (b) Hình (a) Hình ảnh mặt phẳng pha (b) Đường cong lực ma sát-vận tốc tương   100 , 1    0.04 (a) (b) Hình (a) Hình ảnh mặt phẳng pha (b) Đường cong lực ma sát-vận tốc tương   100 , 1  30   0.04 3.2 Ảnh hưởng hệ số cản nhớt phi tuyến biên độ kích động ngồi lên đáp ứng hệ Hình mơ tả thay đổi vịng giới hạn mặt phẳng pha trạng thái chuyển động bình ổn với hệ số cản h khác nhau, gồm h  0, 1, 25, 50 Quan sát hình ta thấy rằng, vòng giới hạn thu nhỏ lại có xu hướng lệch sang phải hệ số cản h tăng lên Đồng thời vòng 162 P N Chung, N N Hiếu, “Phân tích chuyển động dính – trượt … kích động ngồi tuần hồn.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ giới hạn có xu hướng bị méo với giá trị h lớn Giá trị cản không thứ nguyên h  xem giá trị cản nhỏ, đó, dáng điệu quỹ đạo pha hệ gần giống trường hợp h  (tức khơng có cản) Dáng điệu quỹ đạo pha thể thay đổi đáng kể cản h tăng lên giá trị h  25 h  50 Hình Hình ảnh mặt phẳng pha theo hệ số cản h khác với   1000 , 1  30   0.1 Hình Quỹ đạo pha trường hợp thành phần cản hệ tuyến tính (đường phía trong) phi tuyến (đường phía ngồi) Hình minh họa khác mặt phẳng pha số hạng cản tuyến tính số hạng cản phi tuyến Cản tuyến tính phương trình (11b) có dạng hu thay hu trường hợp cản phi tuyến Trong trường hợp phi tuyến dáng điệu quỹ đạo pha có thay đổi khơng nhiều tăng h từ đến 10, chứng tỏ giá trị hệ số cản phi tuyến xem cản yếu tăng đến 25 50 hình 6; đó, dáng điệu hệ trường hợp cản tuyến tính lại thay đổi đáng kể Có thể thấy độ lớn vịng giới hạn giảm dần hệ số cản tuyến tính tăng từ đến 10 Điều cho thấy giá trị hệ số cản trường hợp tuyến tính tương đối lớn Dao động hệ trường hợp cản tuyến tính h  10 gần tắt dần Chú ý rằng, ta xét hệ số cản khơng thứ ngun, trường hợp có thứ ngun, có giá trị thứ nguyên hệ số cản tuyến tính phi tuyến khác Hình thể ảnh hưởng biên độ kích động ngồi đến vịng giới hạn chuyển động hệ Khi biên độ kích động ngồi tăng lên biên độ đáp ứng tăng lên Do đó, vịng giới hạn hệ mở rộng thêm có xu hướng dịch chuyển sang bên trái biên độ kích động ngồi tăng lên Hình Hình ảnh mặt phẳng pha với biên độ kích động ngồi p0 khác nhau;   1000 , 1  30 ,   0.1 , h  Hình Biểu đồ rẽ nhánh chuyển động dính - trượt theo tham số tần số kích động ngồi Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 76, 12 - 2021 163 Cơ kỹ thuật & Cơ khí động lực ĐẶC TRƯNG RẼ NHÁNH VÀ CHUYỂN ĐỘNG HỖN ĐỘN Trong phần này, ta khảo sát đặc trưng chuyển động hệ hệ chịu tác động kích động ngồi tuần hoàn với tần số khác Chúng ta biết hệ khơng chịu tác động kích động ngồi ( p0  ) xuất vịng giới hạn đặc trưng cho chuyển động dính - trượt khối lượng M Tuy nhiên, có xuất kích động ngồi với tần số chuyển động dính - trượt bị thay đổi tính chất dẫn đến ứng xử khác hệ sau chu kỳ dao động Trên miền tham số tần số kích động ngồi, ta tăng dần giá trị tham số, quan sát thấy tượng rằng, vòng giới hạn tồn đến giá trị đó, chuyển động hệ khơng cịn trạng thái vịng giới hạn mà biến đổi sang dạng khác sau chu kỳ dao động Trong tình này, ta gọi tần số kích động ngồi  tham số rẽ nhánh Trong phương trình (11b), tần số tự nhiên hệ chuẩn hóa tần số đơn vị (hệ số số hạng chuyển dịch x 1), đó, mức tần số cao hiểu lớn nhiều tần số đơn vị, tần số thấp tần số nằm miền nhỏ tần số đơn vị miền lân cận tần số đơn vị Trên hình 9, tham số rẽ nhánh  lấy từ 0.2 đến 6.0 Có thể thấy rằng, tồn miền mà xuất vịng giới hạn 1-tuần hồn, 2-tuần hồn, 3-tuần hồn, chí chuyển động hỗn độn Chuyển động hỗn độn tồn miền tần số thấp gần 0.2 miền tần số cao (về phía tần số 6.0) Ở tần số quanh lân cận tần số   chuyển động 1-tuần hoàn xuất hiện, nghĩa lúc ta thu dao động dính - trượt với chu kỳ xác định Cụ thể hơn, chuyển động bình ổn, sau chu kỳ kích động ngồi, ta cắt mặt phẳng ngang qua "dòng" (flow) chuyển động song song với mặt phẳng pha tiến triển theo thời gian hệ, chiếu điểm xuống mặt phẳng pha ta thấy có điểm Các mặt phẳng cắt gọi lát cắt Poincaré Hình chiếu điểm mặt phẳng pha gọi đồ Poincaré Trong trường hợp 2-tuần hoàn, đồ Poincaré có hai điểm, tức tồn hai vị trí mà "dịng" qua Minh họa hai điểm đánh dấu hình vng màu xanh đồ thị thứ tư hình 10 Nếu đồ Poincaré có số lượng lớn điểm mà dòng qua chứng tỏ chuyển động hệ trạng thái hỗn độn Để minh họa, hình 10, ta lấy số điểm tần số  để tính tốn đáp ứng hệ Hình 10 Pha dao động hệ với bốn tần số kích động khác   0.2, 0.4, 0.8, 1.6 Hình 11 Pha dao động hệ với bốn số lựa chọn   2.6, 4.0, 5.0, 6.0 kích động ngồi Trên hình 10, bốn điểm tần số chọn gồm   0.2, 0.4, 0.8, 1.6 Điểm   0.2   0.4 thuộc vào miền mà chuyển động hỗn độn xuất Do đó, quỹ đạo pha diễn phức tạp khơng có lặp lại Đối với chuyển động hỗn độn, việc dự báo quỹ đạo khơng thể Trong đó, tần số   0.8 , ta thấy xuất vòng giới hạn, quỹ đạo chuyển động 1-tuần hoàn Tại điểm tần số   1.6 , quỹ đạo xuất có rẽ nhánh chuyển động 2-tuần hoàn Điểm rẽ nhánh biểu đồ rẽ nhánh quan sát hình 164 P N Chung, N N Hiếu, “Phân tích chuyển động dính – trượt … kích động ngồi tuần hồn.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Trên hình 11, ta chọn bốn điểm tần số khác   2.6, 4.0, 5.0, 6.0 cho mô quỹ đạo chuyển động mặt phẳng pha Tại điểm   2.6 quan sát ta thu quỹ đạo 3tuần hoàn Các điểm tần số   4.0, 5.0, 6.0 cho quỹ đạo chuyển động hỗn độn Tuy nhiên, tần số cao, thay đổi vị trí quỹ đạo mặt phẳng pha không lớn, hình ảnh quỹ đạo "tơ đậm" sau khoảng thời gian lớn Độ dày miền "tô đậm" không lớn Như vậy, ta thấy ứng xử đáp ứng gần với sau chu kỳ Sự thay đổi độ dày miền tô đậm pha trượt nhiều pha dính cho thấy chuyển động với tần số cao pha dính diện thời gian ngắn KẾT LUẬN Điểm nghiên cứu khảo sát dao động hệ có yếu tố ma sát cản phi tuyến đồng thời, vốn hai nguồn gây tính chất ứng xử phức tạp hệ Trong khuôn khổ nghiên cứu, vận tốc băng tải xét tương đối thấp, mơ hình LuGre sử dụng để bắt hiệu ứng Stribeck Dưới tác dụng kích động ngồi tuần hồn, tùy vào miền tần số kích động mà ứng xử hệ dao động dính - trượt trở nên chuyển động hỗn độn Chuyển động tuần hoàn xảy miền tần số thấp, chuyển động hỗn độn xảy tần số cao Tuy nhiên, chuyển động vận tốc thấp nên ứng xử hệ chuyển động hỗn độn biểu thị tính chất chuyển động dính - trượt giống khơng có tải ngồi tuần hồn; vị trí quỹ đạo khó đốn định độ dày quỹ đạo chuyển động thời gian dài có thay đổi không nhiều miền tần số cao Ảnh hưởng cản phi tuyến lên đáp ứng hệ khảo sát chi tiết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.H Brian, "Control of Machines with Friction," Springer Science+Bussiness Media, New York 1991 [2] H Olsson, K.J Astrom, C Canudas de Wit, M Cafvert, P Lischinsky, "Friction Models and Friction Compensation," European Journal of Control, 4(1998), pp 176-195 [3] B Armstrong-Helouvry, "Stick slip and control in low-speed motion," IEEE Transactions on Automatic Control, 38(1993), pp 1483-1496 [4] M.J Moharrami, C de Arruda Martins, H Shiri, "Nonlinear integrated dynamic analysis of drill strings under stick-slip vibration," Applied Ocean Research, 108(2021), pp 102521 [5] Jih-Hua Chin, Chun-Chien Chen, "A study of stick-slip motion and its influence on the cutting process," International Journal of Mechanical Sciences, 35(1993), pp 353-370 [6] S.W Yoon, M.W Shin, W.G Lee, H Jang, "Effect of surface contact conditions on the stick–slip behavior of brake friction material," Wear, 294–295 (2012), pp 305-312 [7] J Behrendt, C Weiss, N.P Hoffmann, "A numerical study on stick–slip motion of a brake pad in steady sliding," Journal of Sound and Vibration, 330(2011), pp 636-651 [8] B Feeny, A Guran, N Hinrichs, K Popp, "A historical review on dry friction and stick-slip phenomena," Applied Mechanics Reviews, 51(1998), pp 321-341 [9] S Kato, K Yamaguchi, T Matsubayashi, "Stick-slip motion of machine tool slideway," Journal of Engineering for Industry, No 73-DET-32(1974), pp 557-565 [10] H.I You, J.H Hsia, "The influence of friction-speed relation on the occurrence of stick-slip motion," Transactions of the ASME, 117(1995), pp 450-455 [11] I.V Ponomarev, A.E Meyerovich, "Surface roughness and effective stick-slip motion", Physical Review E, 67(2003), pp 026302 [12] Y Kligerman, M Varenberg, "Elimination of stick-slip motion in sliding of split or rough surface," Tribology Letters, 53(2014), pp 395-399 [13] W Lin, J.P Chavez, Y Liu, Y Yang, Y Kuang, "Stick-slip suppression and speed tuning for a drillstring system via proportional-derivative control," Applied Mathematical Modelling, 82(2020), pp 487-502 [14] X Zheng, V Agarwal, X, Liu, B Balachandran, "Nonlinear instabilities and control of drill-string stick-slip vibrations with consideration of state-dependent delay," Journal of Sound and Vibration, 473(2020), pp 11523 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 76, 12 - 2021 165 Cơ kỹ thuật & Cơ khí động lực [15] H.S Han, K.H Lee, "Experimental verification of the mechanism on stick-slip nonlinear friction induced vibration and its evaluation method in water-lubricated ster," Ocean Engineering, 182(2019), pp 147-161 [16] A.R Crowther, R Singh, "Analytical investigation of stick-slip motions in coupled brake-driveline systems," Nonlinear Dynamics, 50(2007), pp 463-481 [17] C Canudas de Wit, "Comments on: A new model for control of systems with friction," IEEE Transactions on Automatic Control, 43(1998), pp 1189-1190 [18] P Saha, M Wiercigroch, A Stefanski, "A modified LuGre friction model for an accurate prediction of friction force in the pure sliding regime," International Journal of Non-linear Mechanics 80(2016) 122-131 [19] D Pikunov, A Stefanski, "Numerical analysis of the friction-induced oscillator of Duffing’s type with modified LuGre friction model," Journal of Sound and Vibration, 440(2019), pp 23-33, DOI: 10.1016/j.jsv.2018.10.003 [20] N N Hieu, P N Chung, "Analysis of stability and stick-slip motion of a friction-induced vibrating system with dwell-time effect," International Journal of Mechanical Sciences, 205(2021), pp 106605 ABSTRACT RESPONSE ANALYSIS OF LOW-VELOCITY MOTION OF A FRICTION-INDUCED VIBRATING SYSTEM WITH NONLINEAR DAMPING UNDER PERIODIC EXCITATION In this study, the authors focus on an analysis of the low-velocity motion of a stick-slip vibrating system under the effect of periodic external loads and friction forces described by the LuGre model For motion in the low-velocity domain, the LuGre model can capture the Stribeck effect in which the friction force decreases as the velocity increases The system model contains a mass placed on a conveyor belt that moves at a near-zero constant velocity The authors show that, under the effect of periodic loading, the behavior of the system under consideration is rich, in which periodic motions or chaotic motions may appear Characteristics of motion are investigated in detail through a numerical computation approach Keywords: Dry friction; Stick – slip motion; Stribeck effect; Periodic response; Chaos 166 P N Chung, N N Hiếu, “Phân tích chuyển động dính – trượt … kích động tuần hoàn.” ... xử hệ dao động dính - trượt trở nên chuyển động hỗn độn Chuyển động tuần hoàn xảy miền tần số thấp, chuyển động hỗn độn xảy tần số cao Tuy nhiên, chuyển động vận tốc thấp nên ứng xử hệ chuyển động. .. dụng mơ hình ma sát LuGre với hiệu ứng Stribeck để nghiên cứu dao động ma sát hệ bậc tự có cản phi tuyến tác dụng lực kích động ngồi Tính chất cản phi tuyến hệ kết hợp với toán ma sát sử dụng... trưng ma sát - vận tốc vận tốc khơng, chuyển động dính - trượt xảy miền lân cận vận tốc khơng Chúng ta biết rằng, hai mơ hình đơn giản nghiên cứu hệ ma sát mơ hình ma sát Coulomb mơ hình ma sát