bài giảng toán cơ sở cơ sở LOGIC TOÁN

Toán sở MỤC LỤC CHƯƠNG CƠ SỞ LOGIC TOÁN §1 LOGIC MỆNH ĐỀ 1 KHÁI NIỆM MỆNH ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ CÂU HỎI § CƠNG THỨC KHÁI NIỆM CÔNG THỨC SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI CÔNG THỨC CÂU HỎI 13 § LUẬT LOGIC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC 14 LUẬT LOGIC .14 PHÉP BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC 15 CÂU HỎI 18 §4 HÀM MỆNH ĐỀ 19 KHÁI NIỆM 19 CÁC LƯỢNG TỪ 20 CÂU HỎI 22 BÀI TẬP CHƯƠNG 22 LOGIC MỆNH ĐỀ 22 CÔNG THỨC 25 LUẬT LOGIC 26 CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ THUYẾT TẬP HỢP 28 §1 TẬP HỢP 28 KHÁI NIỆM TẬP HỢP 28 QUAN HỆ BAO HÀM 30 §2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP 32 PHÉP GIAO 32 PHÉP HIỆU 34 Toán sở TÍCH ĐỀ CÁC CỦA CÁC TẬP HỢP 36 CÂU HỎI 37 § QUAN HỆ HAI NGƠI 38 QUAN HỆ HAI NGÔI 38 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 41 QUAN HỆ THỨ TỰ .43 CÂU HỎI 49 §3 ÁNH XẠ 49 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ 49 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ 53 TÍCH ÁNH XẠ, ÁNH XẠ NGƯỢC 56 CÂU HỎI 58 BÀI TẬP CHƯƠNG 58 TẬP HỢP 58 QUAN HỆ HAI NGÔI 60 ÁNH XẠ 62 CHƯƠNG SỐ TỰ NHIÊN VÀ HỆ GHI SỐ 65 §1 DÃY SỐ TỰ NHIÊN 65 TẬP HỢP CÙNG LỰC LƯỢNG 65 TẬP HỢP HỮU HẠN VÀ TẬP HỢP VÔ HẠN 67 §2 CÁC PHÉP TỐN TRÊN ℕ 75 §5 CÁC HỆ THỐNG GHI SỐ 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 CHƯƠNG CƠ SỞ LOGIC TỐN §1 LOGIC MỆNH ĐỀ KHÁI NIỆM MỆNH ĐỀ Đặc trưng toán học tiến hành chứng minh, tức đưa định lí từ định lí khác nhờ suy luận tốn học Một nhiệm vụ logic mệnh đề đặt sở ban đầu để nghiên cứu thực chất phép suy luận toán học thiết lập tiêu chuẩn đắn suy luận Đối tượng logic mệnh đề mệnh đề Xét câu sau: – số tự nhiên chẵn (là khẳng định đúng) – 15 không chia hết cho (là khẳng định sai) – Mặt trời mọc phía đơng (là khẳng định đúng) Trong câu trên, có câu khẳng định kiện đúng, sai tùy theo chúng phản ánh hay sai thực tế khách quan Một câu khẳng định mà tính chân thực xác định cách khách quan, cụ thể gọi mệnh đề - số tự nhiên chẵn (là mệnh đề đúng) -15 không chia hết cho (là mệnh đề sai) - Mặt trời mọc phía đơng (là mệnh đề đúng) Những câu sau khơng phải mệnh đề: - Hơm trời có mưa không? - Hãy lấy số tự nhiên nhân với 4! - x số tự nhiên chẵn Các mệnh đề mà nói đến có tính chất sau đây: - Mệnh đề là sai - Mệnh đề vừa đúng, vừa sai Trong thực tế, gặp câu mà giá trị sai phụ thuộc vào điều kiện định (thời điểm, thời gian, ) Nếu thời điểm Toán sở thời điểm khác lại sai Những loại câu gọi mệnh đề mở Chẳng hạn: – Hơm trời có mưa – Các bạn học sinh lớp ta giỏi… Trong logic mệnh đề, người ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp ý nghĩa nội dung mệnh đề mà quan tâm đến tính đúng, sai mệnh đề Để kí hiệu mệnh đề ta dùng chữ thường p, q, r Ta qui ước viết p = mệnh đề p viết p = mệnh đề p sai Các giá trị gọi giá trị chân lý mệnh đề CÁC PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ Với phép toán đại số, từ số x, y ta lập số x.y; x + y; x – y; x: y; … Tương tự thế, tập hợp mệnh đề, với vài mệnh đề cho trước, qui tắc định, ta lập mệnh đề Các qui tắc thiếp lập mệnh đề gọi phép tốn mệnh đề (cịn gọi phép toán logic Ta nghiên cứu số phép toán mệnh đề 2.1 Phủ định Xét mệnh đề “số số tự nhiên lẻ” Từ mệnh đề ta lập mệnh đề “số không số tự nhiên lẻ” Rõ ràng, mệnh đề sai Lại xét ví dụ khác Xét mệnh đề sai: “Độ tuổi trẻ mẫu giáo từ tuổi đến tuổi” Từ mệnh đề ta lập mệnh đề mới: “Độ tuổi trẻ mẫu giáo từ tuổi đến tuổi” rõ ràng mệnh đề Mệnh đề “số không số tự nhiên lẻ”, “Độ tuổi trẻ mẫu giáo từ tuổi đến tuổi” gọi mệnh đề phủ định mệnh đề: “số số tự nhiên lẻ” “Độ tuổi trẻ mẫu giáo từ tuổi đến tuổi” Như ta thấy mệnh đề mệnh để phủ định sai ngược lại Định nghĩa: Phủ định mệnh đề p, kí hiệu p (đọc “không p”) mệnh đề sai p p sai Giá trị chân lý xác định bảng sau: Toán sở p p 0 Ví dụ a b c d p: “2 < 3” (p = 1) p : “2  3” ( p = 0) p: “6 không chia hết cho ” ( p = 0) p : “không phải không chia hết cho 3” ( p = 1) p: “hàm số y = cosx hàm số chẵn” (p = 1) p : “hàm số y = cosx hàm số chẵn” ( p = 0) p: “Hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường” (p = 1) p : “Hình bình hành khơng có hai đường chéo cắt trung điểm đường” ( p = 0) Chú ý: Trong thực tế có nhiều cách diễn đạt khác cho phủ định mệnh đề, chẳng hạn: “5 không số tự nhiên chẵn” “không phải số tự nhiên chẵn” “5 đâu có phải số tự nhiên chẵn” 2.2 Phép hội Cho hai mệnh đề: p: “2 < 3” q: “2 = 3” Nối hai mệnh đề liên từ “và” ta mệnh đề mới: “2 0” hàm mệnh đề biến xác định tập ℝ Với x < –3 x > 1, P(x) mệnh đề Với –3  x  1, P(x) mệnh đề sai b Phương trình Q(x, y): “x + 2y = 3” hàm mệnh đề hai biến xác định tập ℝ2; c Phương trình R(x, y, z): “x + 2y– z + = 0” hàm mệnh đề ba biến xác định tập ℝ3; d Mệnh đề xem hàm mệnh đề không biến 1.2 Miền hàm mệnh đề Định nghĩa Cho P(x) hàm mệnh đề xác định tập M Tập hợp EP = { x  M  P(x) } gọi miền hàm mệnh đề P(x) 19 Toán sở Ví dụ a Hàm mệnh đề P(x): “x số tự nhiên chẵn” có miền EP = { 0, 2, 4, 6, 8, } b Hàm mệnh đề Q(x): “x số nguyên tố” có miền Eq = { 2, 3, 5, 7, 11, } c Hàm mệnh đề R(x): “x  ℝ  (x+3)(x–1) > 0” có miền ER = (–, –3)  (1, +) Định nghĩa Cho P(x) hàm mệnh đề xác định tập M Hàm mệnh đề P(x) tập M  a  M, P(a = Tức EP =M; Hàm mệnh đề P(x) sai tập M  a  M, P(a = Tức EP = ; Hàm mệnh đề P(x) thực  a  M, P(a = Tức EP   Ví dụ a Hàm mệnh đề “3x2 + 2x – = 0” thực tập ℝ; b Hàm mệnh đề “x2 + = 0” sai tập ℝ; c Hàm mệnh đề “x2 + > 0” tập ℝ Định nghĩa Cho P(x) Q(x) hai hàm mệnh đề xác định tập M Ta nói P(x) tương đương với Q(x), kí hiệu P(x)  Q(x) EP = EQ Ví dụ Hai phương trình tương đương hai hàm mệnh đề tương đương Chẳng hạn: “3x2 + 2x – = 0” “3x2 + x = – x” hai hàm mệnh đề tương đương CÁC LƯỢNG TỪ 2.1 Các lượng từ Định nghĩa Cho P(x) hàm mệnh đề xác định tập M 20 Toán sở Mệnh đề “ x  M, P(x)”, đọc “với x  M có tính chất P(x)”, mệnh đề EP = M sai trường hợp cịn lại Kí hiệu “” gọi lượng từ phổ dụng Mệnh đề “ x  M, P(x)”, đọc “có x  M có tính chất P(x)“, mệnh đề EP   sai trường hợp cịn lại Kí hiệu “” gọi lượng từ tồn Chú ý Trong mệnh đề “ x  M, P(x)” “ x  M, P(x)” biến x gọi biến bị ràng buộc Ví dụ a “ x ℝ, x2 – > 0” mệnh đề sai b “ x ℝ, (x2 + 2x +1 = (x + 1)2 ” mệnh đề c “ xℝ, x2 – > 0” mệnh đề d “ xℝ, x2 + = 0” mệnh đề sai  P ( x ) =  P(x ) , Định lý 1.3 x M  P ( x ) =  P(x ) x M xM xM Chứng minh Giả sử  P ( x )   P(x ) sai   x  M, P(x) sai   P(x ) x M xM xM Tương tự chứng minh hệ thức thứ hai Ví dụ a Cho mệnh đề: “mọi người cho trẻ có chiều cao cao trước” Phủ định mệnh đề mệnh đề: “ có người cho trẻ có chiều cao khơng cao trước” b Phủ định mệnh đề “ xℝ, x2 + = 0” mệnh đề “xℝ, x2 + ≠ 0” 2.2 Lượng từ hàm mệnh đề nhiều biến Với hàm mệnh đề hai biến P(x, y) xác định tập M ta tác động hai lượng từ   lên P(x, y) nhận hàm mệnh đề biến tự do, biến ràng buộc Nếu tác động hai lần lượng từ   lên hai biến x, y nhận mệnh đề Ví dụ 21 Toán sở a “ x ℝ, x > y” hàm mệnh đề có biến ràng buộc x biến tự y; b “ y ℝ,  x  ℝ, x > y” mệnh đề sai; c “ y ℝ,  x ℝ, x > y” mệnh đề đúng; d Các đẳng thức mệnh đề phổ dụng Chẳng hạn “ x  ℝ,  y  ℝ, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2” “ x  ℝ,  y  ℝ, (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 ” CÂU HỎI Định nghĩa hàm mệnh đề, miền hàm hằng? Định nghĩa lượng từ? BÀI TẬP CHƯƠNG HV cần biết vận dụng kiến thức học vào dạng tập sau: – Thế mệnh đề, phép tốn mệnh đề tìm giá trị chân lí mệnh đề – Chứng minh đẳng thức, chứng minh công thức luật logic – Tìm miền hàm mệnh đề, phép toán hàm mệnh đề, lượng từ – Một số tập vận dụng logic mệnh đề vào môn toán LOGIC MỆNH ĐỀ Cho tập hợp E = {x  ℝ| f(x) = 0}, F = {x  ℝ| g(x) = 0} tập H = {x  ℝ| a H = E  F f (x) = 0} Hãy tìm mệnh đề mệnh đề sau: g( x ) b H = E  F c H = E \ F Diễn đạt ký hiệu mệnh đề sau: a bé bé 10 b bé không bé 10 c không bé mà bé 10 d không bé mà không bé 10 Hãy tìm mệnh đề mệnh đề sau: 22 d H = F\E Toán sở a Tập hợp số tự nhiên tập hợp hữu hạn; b Trẻ mầm non 3-4 tuổi nhận biết gọi tên hình vng, hình trịn; c Trong tam giác cân, hai góc đáy d Hình vng hình chữ nhật; e Số 56 chia hết cho không chia hết cho Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: a “4 – x < –2  x  ” b “      16 ” c “ 23   23   ” d) “–1 – 4x; 24 Toán sở c x2 + 3x –  0; d | 2x + 1| > 16 Trong mệnh đề sau đây, chọn mệnh đề đúng: a x  ℝ, x2 – 3x + = 0; b x  ℝ, | x | = x; c  x ℝ, x2 ≥ 0; d  x,y ℝ, x2 – 2xy + y2 = (x –y)2 CÔNG THỨC 17 Lập bảng giá trị công thức: a p  q  q r b (p  r )  (q  r ) c (p  q )  (p  q)  ( p  q ) 18 Điền (Đ), sai (S) vào ô trống: a Công thức [(p  q)  (qp)] (pq) luôn nhận giá trị  b Công thức p  ( q  r)  p  q  p  r luôn nhận giá trị  c Công thức (p  q)  (p r) luôn nhận giá trị  19 Hãy biến đổi công thức sau dạng đơn giản a (p  q  p  q)  q b p  q ( p  p ) c ( p  q )  p  q 20 Chứng minh đẳng thức sau hai cách (biến đổi đồng nhất, lập bảng GTCL) a p  q  p  q b p  q  p  q 25 Toán sở c p ( q  r)  q  ( p r) d p q  r  p (q  r) e p  q  r ( p  r) (q r) g p q) (p r)  p  (q  r) 21 Hãy phát biểu mệnh đề sau dạng mệnh đề liên hợp chúng tìm giá trị chân lý mệnh đề đó: a Nếu số chia hết cho chia hết cho 3; b Nếu tứ giác có hai đường chéo vng góc hình thoi; c Nếu thỏ ăn củ cà rốt mà không thừa củ cà rốt số thỏ số củ cà rốt 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo sai: a Nếu tam giác ABC cân tam giác có cạnh nhau; b Nếu x chia hết cho 45 x chia hết cho 9; c Nếu tứ giác ABCD hình bình hành AB//CD; d Nếu vật có kích thước to nặng 23 Điền cụm từ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ”, “Điều kiện cần đủ” vào chỗ trống cho thích hợp: a Để tứ giác T hình vng,… có cạnh nhau; b Để ab>0,… số a b dương LUẬT LOGIC 24 Chứng minh công thức sau cơng thức đúng, sau viết chúng dạng luật: a q  (p  q)  q; b (p  q) ( p q); c p (p  q) q 25 Chứng minh luật logic sau: a ╞ p  p ; b ╞ p ( q  p); c ╞ p  q  q p; d ╞ (p  q) (q  p) ( p q); e ╞ (p  r) (q r) (p  q  r); g ╞ p (q r) (p q) (p r); 26 Toán sở h ╞ (p q)  r  p  (q  r); i ╞ (p q)  r  p (q r) k ╞ p (q  r)  (p q) ( p r) n ╞ ( p q)  p  q 26 Trong buổi học mơn tạo hình, ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba hoa cúc, đào, hồng Bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc: “ Thế ba chẳng làm hoa trùng với tên ” Hỏi làm hoa nào? 27 ... 67 §2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ℕ 75 §5 CÁC HỆ THỐNG GHI SỐ 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 CHƯƠNG CƠ SỞ LOGIC TỐN §1 LOGIC MỆNH ĐỀ KHÁI NIỆM MỆNH ĐỀ Đặc trưng toán học tiến hành... Mọi cơng thức có dạng chuẩn hội tương đương Mọi cơng thức có cơng thức rút gọn tương đương CÂU HỎI Định nghĩa luật logic Thế phép biến đổi công thức Các phương pháp chứng minh cơng thức luật logic. .. đảo: 14 | Toán sở ╞ (p  q)  ( q  p ) p q p q pq q p (p  q)  ( q  p ) 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 PHÉP BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC 2.1 Phép biến đổi tương đương Một toán logic mệnh đề tìm cơng thức