OLYMPIC TOÁN NĂM 2000, 52 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI-TẬP 2
49 đề thi và lời giải Olympic toán năm 1997-1998 (tập 5)
... 2a
3
b
3
−12a
3
b
2
c + 12a
2
b
2
c
2
)+
+(3b
6
+ 2b
5
c −2b
4
c
2
+ 3b
4
ca + 2b
3
c
3
−12b
3
c
2
a + 12b
2
c
2
a
2
)+
+(3c
6
+ 2c
5
a − 2c
4
a
2
+ 3c
4
ab + 2c
3
a
3
−12c
3
a
2
b + 12b
2
a
2
b
2
≥ 0. (∗)
Áp ... + 2ac
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2bc
+
2ba + 2bc
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ac
+
2ca + 2cb
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab
≤
12
5
Đặt s = a
2
+ b
2
+ c
2
....
48 đề thi và lời giải Olympic toán năm 1997-1998 (tập 6)
... =
AC
2
+ C
C
2
1 /2
=
x
2
+ d
2
1 /2
=
BD
2
+ D
D
2
1 /2
= BD
AC =
BC
2
+ C
C
2
1 /2
=
y
2
+ d
2
1 /2
=
AD
2
+ D
D
2
1 /2
= AD
Nguyễn Hữu Đ iển
OLYMPIC TOÁN NĂM 1997-1998
48 ... ương n và các số nguyên x
1
, x
2
, , x
n
, y
1
, y
2
, , y
m
không chia
hết cho p sao cho:
x
2
1
+ y
2
1
≡ x
2
2
(modp )
x
2
2
+ y
2
2
≡...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 1)
... thấy:
10
2k
36
= 10
2k− 2
.(
72
36
+
28
36
) = 2. 10
2k− 2
+
7
9
.10
2k− 2
=
2 77 ···7
2k− 2
+
7
9
Vậy vế phải của đẳng thức (*) bằng: 2 77 ···7
2k− 2
+
7
9
+ 11 ···1
k
+
1
9
=
2 ... π − 2. x, ta thu được
F
1
H
1
= −tan2x.O
1
D
Đề thi olympic Bungari 27
Gọi I là giao điểm của BC và EF
2
Vì BF
2
AC,
F
2
BI =
ACB = π − 2x và
H...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 3)
... (
α
/
2
)
tan (
y
/
2
−
z
/
2
)
=
tan (
y
/
2
+
z
/
2
)
tan (
y
/
2
−
z
/
2
)
=
tan
β
/
2
+
γ
/
2
tan
β
/
2
−
γ
/
2
=
cot (
α
/
2
)
tan
β
/
2
−
γ
/
2
Nếu β > γ thì x = y /2 − z /2 so ... o
1
q − o
2
=
(q − m
1
) − (q −o
1
)
(q − m
2
) − (q −o
2
)
=
o
1
− m
1
o
2
− m
2
=
o
1
− m
1
o
2
− m
2
Vì hai đường thẳng O
1
M
1
vàO
2
M
...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 4)
... l
`
a 2r; do
¯
d
´
o AC
2
= (m + n)
2
+ (2r)
2
. V
`
ı v
.
ây
(m + n)
2
+ (2r)
2
= AC
2
= (t + u + v)
2
m
2
+ 2mn + n
2
+ 4r
2
= t(t + u) + v(v + u) + 2 + uσ + u
2
m
2
+ 2mn + n
2
+ 4r
2
= m
2
+ ... c
´
o
x
2
+ xy + y
2
= (a
2
+ y)
2
+ (a
2
+ y)y + y
2
= a
4
+ 3a
2
y + 3y
2
v
`
a
4(x
2
+ xy + y
2
) = (2a
2
+ 3y)
2
3y
2
.
Viê
´
t m = 2...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 5)
... nhau =⇒
AE = EC; CE
2
= AE
2
= AB
2
+ BE
2
= b
2
+ (a − CE)
2
, =⇒ CE=
a
2
+ b
2
2a
.V
.
ây
[CD
E]=[ACD
]-[ACE]=
ab
2
-
b
2
.CE=
b(a
2
− b
2
)
4a
L
`
o
,
i gi
,
ai 42. 2. Cho n > 15; X
´
et ... −1; v
`
a f (2) = f (1+ f (−1)) =
f (1) + (−1)
n
= 2 v
`
a 2
n
= f ( f (2) ) = f ( 2) = −f (2) = 2, mâu thu
˜
ân.
24 Chu
,
o
,
ng 42. Ðê
`
thi olympic to
´
an It...
tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 6)
... v
`
a
(x
2
+ 16)
2
16
− (x
2
+ 16).
√
x
2
+ 12 + x
2
+ 22 =
√
x
2
+ 12.
√
x
2
+ 22 .
Ð
.
˘
at 4y = x
2
+ 16 ta
¯
du
,
.
o
,
c
(y
2
− 4y)(8y + 2) = (4y − 4)(4y + 6)(y − 6)(4y
2
+ y − 2) = 0.
T
`
u
,
y ... 9.10
2
C
.
ông tâ
´
t c
,
a c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ta c
´
o:
9S = 9(1
2
+ 2
2
+. . . +10
2
)
Suy ra: a
i
= S ˘9i
2
= 1
2
+ 2
2
+ 3+ 10
2
− 9i...
TỔNG HỢP ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ TỪ NĂM 2005-2013
...
2 2
1 1 2
(1 ) (1 ) 1
x y xy
+ ≥
+ + +
(*)
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 3 3 2 2
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 1
(*) ( 1) ( 1) (1 ) ( 1)
( 1) 1
( 2 2 2) (1 ) ( ) 2( ) 1
( 2 2 2) ( 2 2 2 )
( 2 2 2 ) (2 2 2 ) ...
1
4
p
−
.
2. Do
1 (mod8)
p
≡
nên tồn tại a sao cho
2
2(mod )
a p
≡ .
(ta cũng thấy rằng
1 (mod8) 1 (mod 4)
p p
≡ ⇒ ≡
).
Ta có:
1 1 1 1
2 2 2...
olympic toán các nước tập 1(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển
... 4sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
= 2sin
β
2
(sin
α
2
sin
γ
2
)
= 2sin
β
2
(−cos
α + γ
2
+ cos
α + γ
2
)
= 2sin
β
2
(−sin
β
2
+ cos
α − γ
2
)
= −2sin
2
β
2
+ 2sin
β
2
cos
α − γ
2
= cosβ − 1 + sin
α + β − γ
2
+ ... + 2
√
2sinγ − 1
= 2( sinα + sinγ)(
√
2 − 1) − (2 −
√
2)
⇐⇒ −(sinα + cosα)
2
+ 2( sinα + cosα)
= (2
√
2 − 2) sinα + (2 −
√
2) (sinα+) − (2...
olympic toán các nước tập 2(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển
... s
,
u
,
r
`
˘
ang x
p+1
=
F
2i
F
2i+1
. Khi
¯
d
´
o
x
p
=
F
2i
F
2i+1
+ 1
F
2i
F
2i +2
+ 2
=
F
2i +2
F
2i+3
¯
diê
`
u
¯
d
´
o suy ra x
0
=
F
2l
F
2l+1
v
`
a (k, m) = (2l, 2l + 1), v
´
o
,
i sô
´
nguyên ... Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland
Theo b
´
˘
at
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Jensen’s ta c
´
o:
f (a) + f (b)
2
≥ f (
a + b
2
) ⇒
1
a
+
1
b
2
≥
2
a + b
.
f (b) + f (c)
2
≥ f (
b...