Phương pháp nhánh và cận trong tối ưu rời rạc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO TRẦN DŨNG PHƯƠNG PHÁP NHÁNH VÀ CẬN TRONG TỐI ƯU RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO TRẦN DŨNG PHƯƠNG PHÁP NHÁNH VÀ CẬN TRONG TỐI ƯU RỜI RẠC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục LỜI NÓI ĐẦU i PHƯƠNG PHÁP NHÁNH VÀ CẬN TRONG TỐI ƯU RỜI RẠC 1.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 1.2 Sơ đồ tổng quát phương pháp nhánh cận 10 1.3 Thuật toán Land-Doig giải quy hoạch nguyên tuyến tính 14 BÀI TỐN CÁI TÚI 23 2.1 Nội dung tốn 23 2.2 Thuật tốn nhánh cận 2.3 Ví dụ minh họa 30 26 BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH 33 3.1 Phát biểu toán 33 3.2 Thuật toán nhánh cận 35 3.3 3.2.1 Thủ tục tính cận 36 3.2.2 Thủ tục phân nhánh 38 Ví dụ minh họa 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Tối ưu rời rạc (Discrete Optimization), gọi tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization), đề cập tới tốn tối ưu phần hay tồn biến nhận giá trị nguyên hay rời rạc (khơng liên tục) Các tốn tối ưu rời rạc quan tâm nghiên cứu lý thuyết lẫn phương pháp giải, chúng có ứng dụng đa dạng, phong phú thực tiễn nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn diễn đạt dạng toán tối ưu rời rạc Một lớp toán tối ưu rời rạc đáng ý toán tối ưu với biến số nhận hai giá trị 1, gọi qui hoạch - hay qui hoạch biến Boole Nhiều tốn điển hình tối ưu rời rạc phát biểu dạng toán qui hoạch - 1, toán phân việc, toán túi, toán người du lich, toán phân hoạch tập, phủ tập, xếp tập, toán Steiner đồ thị, Hơn nguyên tắc, toán với biến số nguyên hay rời rạc bị chặn đưa tốn qui hoạch - Có nhiều phương pháp giải tốn tối ưu rời rạc, đáng ý có hiệu phương pháp nhánh cận, đặc biệt số tốn điển hình tối ưu rời rạc: toán qui hoạch - 1, toán túi, toán người du lịch Cho đến phương pháp nhánh cận với nhiều cải tiến khác cơng cụ chủ yếu để giải tốn tối ưu rời rạc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày lược đồ tổng quát phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc áp dụng lược đồ vào giải số toán tối ưu rời rạc điển hình nói Nội dung đề cập tới luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt toán học, thuật toán giải nêu có kèm theo ví dụ số minh hoạ Việc tìm hiểu phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc giúp ích cho việc sâu tìm hiểu sau nội dung phương pháp giải tốn tối ưu rời rạc nói chung ứng dụng chúng nói riêng Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương với tiêu đề "Phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc" giới thiệu tốn qui hoạch ngun tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính - trường hợp riêng quan trọng Tiếp trình bày lược đồ tổng quát phương pháp nhánh cận áp dụng lược đồ vào tốn qui hoạch ngun tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài tốn túi" trình bày nội dung ý nghĩa thực tiễn tốn túi Đó tốn qui hoạch tuyến tính - với ràng buộc nhất, dạng đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Bài tốn đơn giản, lại tốn điển hình tối ưu rời rạc Phương pháp nhánh cận phương pháp thích hợp để giải tốn nầy Thuật tốn nhánh cận trình bày chương độc đáo Cách tính cận dựa việc giải toán qui hoạch tuyến tính đơn giản Chương với tiêu đề "Bài tốn người du lịch" trình bày nội dung ý nghĩa tốn người du lịch Đó tốn quen thuộc có tầm quan trọng đặc biệt tối ưu rời rạc, mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề thực tiễn khác tốn khó, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nhiều người quan tâm nghiên cứu Thuật toán nhánh cận Little, Murty, Sweeney Karel giới thiệu chương có nhiều ý tưởng độc đáo, đặc biệt cách phân nhánh cách tính cận Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn đề cập tới nội dung phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc, chưa sâu vào chi tiết thực thi thuật tốn Trong q trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dấn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học-Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ toán –tin Trường THPT Số TP Lào Cai tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Người thực Cao Trần Dũng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương PHƯƠNG PHÁP NHÁNH VÀ CẬN TRONG TỐI ƯU RỜI RẠC Chương giới thiệu tốn qui hoạch ngun tuyến tính lược đồ tổng quát phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc Cuối chương, áp dụng lược đồ nhánh cận vào toán qui hoạch nguyên tuyến tính Nội dung chương dựa chủ yếu tài liệu [1], [4] [6] 1.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính Qui hoạch nguyên tuyến tính (Integer Linear Programming Problem, viết tắt ILP) tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính tập hợp điểm rời rạc, thường tập điểm nguyên: (ILP) f (x) = cT x : Ax = b, xj ≥ nguyên, j = 1, , n , A ∈ Rm.n , b ∈ Rm c ∈ Rn cho trước Khi có số, khơng phải tất cả, biến ngun ta gọi tốn qui hoạch nguyên hỗn hợp (Mixed Integer Programming Problem, viết tắt MIP) Cũng qui hoạch tuyến tính, f gọi hàm mục tiêu, tập D = x ∈ Rn : Ax = b, xj ≥ nguyên, j = 1, , n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn gọi miền ràng buộc hay miền chấp nhận Điểm x ∈ D gọi nghiệm chấp nhận hay phương án toán Một phương án đạt cực tiểu (hay cực đại) hàm mục tiêu gọi nghiệm tối ưu hay phương án tối ưu Nghiên cứu cấu trúc tập ràng buộc D xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tối ưu toán ILP đối tượng qui hoạch nguyên tuyến tính Sau hai ví dụ đơn giản tốn qui hoạch ngun tuyến tính Ví dụ 1.1 Giả sử ta cần đưa qua sông kiện hàng với trọng lượng tạ, tạ tạ trị giá kiện hàng tương ứng 1, triệu đồng Nhưng có thuyền nhỏ, chuyến chở tối đa tạ Hỏi nên xếp lên thuyền kiện hàng để số hàng chuyển có trị giá lớn nhất? Bằng cách đưa vào biến số: xj = chọn kiện j , j = 1, 2, 3, ngược lại ta diễn đạt vấn đề nêu qui hoạch nguyên ILP sau: x1 + 2x2 + 3x3 → max 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ ≤ xj ≤ 1, nguyên, j = 1, 2, Nếu địi hỏi kiện hàng khơng xếp thuyền phải đặt toán nào? Trả lời: thêm vào toán bất đẳng thức: x1 + x2 ≤ (Vì thế, x1 = x2 = 0, cịn x2 = x1 = 0) Nếu địi hỏi kiện hàng xếp lên thuyền mơ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hình tốn sao? Trả lời: thêm vào mơ hình ban đầu đẳng thức: x1 + x2 + x3 = (Vì thế, x1 = 1, x2 = x3 = x2 = 1, x1 = x3 = x3 = 1, x1 = x2 = 0) Như ta thấy qui hoạch nguyên ILP tiện dùng để mơ hình hố ràng buộc lơgic (chẳng hạn, kiện A xảy kiện B khơng xảy ra, ) Ví dụ 1.2 Một hãng hàng không dự định mua số máy bay Airbus A-3200 Boing 777 để mở rộng hoạt động Mỗi máy bay Airbus giá triệu có thời gian sử dụng năm, máy bay Boing giá triệu có thời gian sử dụng năm (các số có tính ước lệ) Hãng ước tính cần mua tối đa máy bay số tiền để mua máy bay không 46 triệu đô Hỏi hãng nên mua máy bay loại để tổng thời gian phục vụ chúng lâu nhất? Bằng cách đưa vào hai biến: x1 số máy bay Airbus cần mua x2 số máy bay Boing cần mua, ta diễn đạt vấn đề tốn ngun tuyến tính ILP sau (Đáp số: Airbus Boing, fmax = 44 năm):  6x1 + 8x2 → max        x1 + x2 ≤  5x1 + 9x2 ≤ 46       x1 , x2 ≥ 0, nguyên Một lớp qui hoạch nguyên quan trọng toán qui hoạch tuyến tính - Đó tốn qui hoạch tuyến tính, biến lấy giá trị hay Bài tốn cịn biết với tên gọi tốn nhị ngun tuyến tính hay tốn qui hoạch tuyến tính biến Boole Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhiều toán tối ưu rời rạc diễn đạt dạng qui hoạch tuyến tính - Chẳng hạn: tốn phân việc, toán túi, toán người du lịch, toán phân hoạch tập, phủ tập, xếp tập, toán Steiner đồ thị Một số ứng dụng cơng nghiệp định vị tiện ích (facility location), tốn với phụ phí cố định, toán xếp lịch, thiết kế mạng diễn đạt giải kỹ thuật qui hoạch tuyến tính Qui hoạch tuyến tính - có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt lập kế hoạch triến khai dự án với hạn chế nguồn lực (vốn, lao động, vật tư, v.v ) Để minh hoạ ta nêu đại diện mơ hình toán “cái túi” nhiều chiều: (MKP) x0 = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → max với điều kiện: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m xj ∈ {0, 1} , j = 1, 2, , n, aij , bi , cj ∈ Z (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) số cho trước xj (j = 1, 2, , n) biến nhị ngun (biến - 1) Trong mơ hình aij biểu thị lượng tài nguyên i cần dùng để thực dự án j, bi biểu thị lượng tài nguyên i sử dụng cj biểu thị lợi ích thu thực dự án j Biến định xj = dự án j chọn thực xj = trái lại Qui hoạch tuyến tính - cịn ý ngun tắc, tốn với biến nguyên hay rời rạc bị chặn đưa tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 xuất phát Hành trình cịn gọi chu trình Haminton Ký hiệu S0 tập hợp tất phương án toán Bài toán gần giống với toán phân việc nhiên điều kiện khác biệt nhóm ràng buộc (3.5) Chúng đưa vào để bảo đảm hành trình tốn chứa chu trình Thật hành trình có chứa nhiều chu trình con, phải có chu trình khơng qua thành phố Giả sử chu trình qua thành phố i1 , i2 , , ir , i1 (ik 1, k = 1, r) Lấy tổng bất đẳng thức (3.5) tương ứng với xij = dọc theo chu trình này, ta nhận điều mâu thuẫn: nr ≤ (n − 1)r (tất hiệu ui − uj khử lẫn nhau) Như vậy, hành trình (phương án) tốn (3.1) – (3.5) chứa chu trình Mặt khác, hành trình gồm chu trình thỏa mãn điều kiện (3.5) Thật vậy, xét chu trình thế, đặt ui = t thành phố i tới thăm giai đoạn t hành trình, t = 2,3, , n Từ cho thấy ui − uj ≤ n − với i j, điều kiện (3.5) thỏa mãn với xij = Còn với xij = điều kiện trở thành đẳng thức, ta có ui − uj + nxij = t − (t + 1) + n = n − 3.2 Thuật toán nhánh cận Ý đại thể phương pháp sau: Tập tất phương án toán (tập S0 ) chia nhỏ dần thành nhiều tập rời nhau, tập bao gồm phương án qua không qua số cặp thành phố định ấn định dần q trình giải tốn Mỗi tập gắn với số thực không âm, biểu thị cận chi phí phương án tập Tập có cận nhỏ có nhiều khả chứa phương án tối ưu, tập ưu tiên chia nhỏ tiếp, gọi phân nhánh Khi phân nhánh, tập phương án Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 cần xét chia nhỏ thành hai tập rời nhau: tập bắt buộc qua thêm cặp thành phố tập không qua cặp thành phố chọn Khi tập gồm phương án ta tính chi phí phương án nhờ cải tiến phương án tốt biết, giá trị hàm mục tiêu toán tương ứng với phương án tốt biết gọi giá trị kỷ lục Tập có cận lớn hay giá trị kỷ lục bị loại (khơng cần xem xét tiếp nữa), chắn tập không chứa phương án tốt phương án tốt biết Quá trình giải kết thúc khơng cịn tập cần xem xét tiếp Khi đó, phương án tốt biết phương án tối ưu tốn Tính hữu hạn thuật tốn suy trực tiếp từ tính hữu hạn tập tất phương án tốn 3.2.1 Thủ tục tính cận Phép biến đổi ma trận chi phí nêu sau khơng làm thay đổi phương án tối ưu toán người du lịch giúp ta tính cận cho tập phương án dễ dàng Bổ đề 3.1 Phương án tối ưu x* toán người du lịch ( 3.1) – (3.5) Vẫn tối ưu ma trận chi phí C thay ma trận C’ với cij = cij − αi − βj , (i, j = 1, 2, , n) (3.6) αi , βj số thực tùy ý Chứng minh: Xét phương án x toán x* phương án tối ưu nên n n n cij x∗ij i=1 j=1 n ≤ cij xij i=1 j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Từ hệ thức (3.2), (3.3), (3.6) ta có n n i=1 j=1 n cij x∗ij = n n i=1 j=1 αi − cij xij − i=1 j=1 i=1 n n n n ≤ (cij − αi − βj )x∗ij = i=1 j=1 cij x∗ij − n n βj ≤ αi − i=1 j=1 n βj = i=1 j=1 j=1 n n cij xij Điều chứng tỏ x* phương án tối ưu Các số αi, βj cần chon cho cij ≥ 0, với i,j hàng, cột ma trận C’ có số Chẳng hạn, chọn αi số nhỏ hàng i C βj số nhỏ cột j ma trận thu từ C cách trừ phần tử hàng i cho αi Phép toán (3.6) gọi phép rút gọn ma trận hay thủ tục rút gọn số n γ= n αi + i=1 βj j=1 gọi số rút gọn cận cho giá trị mục tiêu tốn, phương án người du lịch chứa phần tử hàng phần tử cột ma trận chi phí Tương tự tập phương án, ký hiệu Sp , thu từ tập ban đầu S0 cách cố định biến xij giá trị hay (nghĩa cho phép qua hay cấm không phép qua số cặp thành phố đó), để tính cận cho Sp ta việc tiến hành thủ tục rút gọn ma trận tương ứng với Sp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 3.2.2 Thủ tục phân nhánh Giả sử ta cần phân nhỏ tập Sp ⊂ S0 Cách hay dùng phân chia tập thành hai tập rời S p S p với S p = {x : x ∈ Sp , xrs = 0} , S p = {x : x ∈ Sp , xrs = 1} , xrs biến chưa cố định giá trị hay tập Sp Cặp (r,s) dùng để phân nhánh chọn cho tập S p có nhiều khả chứa phương án tối ưu, tập S p khơng Nói cách khác, (r,s) chon cho hiệu số cận S p S p lớn Để giải vấn đề này, ta xét tập phương án ban đầu S0 , tốn nhận sau có cấu trúc toán ban đầu Giả sử ma trận chi phí C rút gọn nghĩa cij ≥ với i, j hàng, cột C có số Tập Sp chia thành hai tập rời S1 S2 với S1 = {x : x ∈ S0 , xrs = 0} , S2 = {x : x ∈ S0 , xrs = 1} Trong tập S2 cấu trúc tốn khơng thay đổi, trừ hàng r cột s bị loại từ r đến s từ r đến nơi khác, không phép từ đâu đến s Các hàng cột lại chứa phần tử khơng âm, cận S2 γ(S2 ) = crs Trong tập S1 cố định xrs = nên từ điều kiện (3.2), (3.3) suy phải có xrj = (j = s) xis = 1(i = r) Vì γ(S1 ) = crj + cis j=s cận giá trị mục tiêu tăng thêm Ta chọn biến xrs Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 cho hiệu cận lớn nhất, nghĩa đặt max {γ(S1 ) − γ(S2 )} (3.7) (r,s) Nếu crs > γ(S1 ) = (do hàng r cột s C chứa số 0), cịn γ(S2 ) = crs > 0, từ γ(S1 ) − γ(S2 ) < Vì để có (3.7) ta cần xét cặp (r,s) với crs = Trong trường hợp γ(S2 ) = γ(S1 ) > Điều có nghĩa thay cho (3.7) ta chon biến xrs để phân nhánh theo quy tắc θ(r, s) = max θ(p, q) = cpj + ciq cpq =0 j=q i=p Lập luận tập phương án Si sau chia thành tập Sr Sr+1 , thay cho cận γ(s1 ) γ(S2 ) ta xét mức tăng cận γ(Sr ) − γ(Si ) γ(Sr+1 ) − γ(Si ) tương ứng Ngăn cấm tạo chu trình con: Nếu tập xét khơng phải S0 mà Sp = {x : x ∈ S0 , xi1 j1 = δ1 , xi2 j2 = δ2 , , xik jk = δk } , quy tắc chọn biến để phân nhánh trước, nhiên cần tiến hành số thay đổi Trước hết, việc thực lựa chọn bắt buộc Chẳng hạn, xuj = 0, j = 1, , v − 1, v + 1, , n tất nhiên phải có xuv = Cũng làm cột Một số loại lựa chọn bắt buộc khác: Khi cố định xrs = phải có xrs = cách đặt crs = ∞ Hơn nữa, đường dài Sp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 chứa cạnh (r,s) gồm nhiều n-2 cạnh (1 ≤ v ≤ n − 3) (khơng có cạnh có dạng xki1 = hay xivj = 1), để ngăn cấm tạo chu trình dạng (i1 , i2 , , iu , r, s, i1 ) , ta đặt csi1 = ∞, để ngăn tạo chu trình có dạng (r, s, iu+1 , iu+2 , , iv , r), ta đặt civ r = ∞ Hơn ta cần có xiv i1 = cách đặt civ i1 = ∞ Để tìm i1 ta ngược từ r để tìm iv ta xi từ s theo danh sách biến cố định giá trị tập Sp Để ngăn cấm tạo thành chu trình hình vẽ ta đặt: csr = csi1 = ci4 r = ci4 i1 = ∞ Ở bước lặp, trước tính cận cho tập mới, cần thực lựa chọn bắt buộc nêu Có thu cận xác tránh phân nhánh vơ ích Nếu tập Sp có n-2 biến cố định giá trị phương án gồm n phần tử hồn tồn xác định, cận tập Sp cận giá trị mục tiêu tương ứng với phương án Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 3.3 Ví dụ minh họa Giải tốn người du lịch với ma trận chi phí sau đây: ∞  20  29   48 ∞ 64 19 28 43 30 ∞ 54 63 ∞ 18  31 22  17   ∞ Giải: Rút gọn ma trận : trừ phần tử hàng 1, 2, 3, 4, cho số nhỏ hàng tương ứng 31, 20, 4, 2, ta ma trận ∞   25   17 ∞ 60 17 27 12 10 ∞ 23 43 ∞ 17   13   ∞ Trừ phần tử cột ma trận cho số nhỏ cột số 17, ta ma trận rút gọn sau:      ∞ 02 25 06 00 ∞ 43 00 10 12 10 ∞ 06 23 43 030 ∞ 17 02 13 ∞      Số mũ ghi bên cạch số ma trận số θ(p, q) = cpj + ciq j=q i=p ô tương ứng Tổng số rút gọn 31+20+4+2+1+17=75 Vì cận cho tất hành trình 75 Điều có nghĩa khơng thể tìm hành trình có tổng chi phí nhỏ 75 Ta thấy số (3,4) có số mũ lớn nhất, nghĩa là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 θ(3, 4) = max θ(p, q) = 30 cpq =0 Vì ta chọn cặp (3,4) để phân nhánh Khi đó, tập tất hành trình phân thành hai tập con: tập gồm hành trình chứa cạnh (3,4), cịn tập gồm hành trình khơng chứa cạnh (3,4) Ta xét hai tập này: Tập không chứa cạnh (3,4): Vì cạnh (3,4) khơng có mặt hành trình, ta có hể cấm việc  ∞  ∞  25 43  0 10 theo cạnh cách đặt c34 = ∞  12 23 10 43  ∞ ∞ 13   ∞ 6 17 ∞ Ma trận thu rút gọn cách bớt phần tử hàng 13 bớt phần tử cột 17 Kết ta nhận cận cho tập hành trình khơng chứa cạnh (3,4) : 75 + 13 + 17 = 105 ma trận tương ứng với tập  ∞  ∞  12 30  0 10 là: 12 10 ∞ 6 26 ∞ ∞     ∞ Tập chứa cạnh (3,4): ta phải loại hàng cột khỏi ma trận tương ứng với tập này, theo cạnh (3,4) khơng thể từ đến nơi khác không phép từ đâu vào Kết ta thu ma trận giảm bậc Hơn theo cạnh (3,4) khơng thể từ đến Vì ta cần cấm cạnh (4,3) cách đặt c43 = ∞ Ma trận thu lại rút gọn (số nhỏ cột 3) cận tập 75 + = 81 Ma trận tương ứng với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 nhánh bên trái trước sau rút gọn có dạng:  ∞   0 ∞ 10 12 10 ∞    ∞  ∞   0 ∞ 10 ∞    ∞ Lúc phân nhánh có dạng sau: ∞  02  00  0 ∞ 04 10 ∞ 04 2   ∞       ∞ 02 12 00 00 ∞ 30 00 10 12 10 ∞ 06  00 26   ∞ 012  ∞  06 ∞ Hình 3.1 Cây phân nhánh ban đầu Trong qúa trình phân nhánh ta theo nhánh bên trái trước có cận nhỏ Nhánh có ma trận rút gọn với bậc giảm Trong ma trận nhánh bên phải ta thay số ∞, rút gọn thêm ma trận tính lại số rút gọn theo hàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 cột ma trận, kích thước ma trận giữ nguyên Trong ma trận 4x4 nhánh bên trái (hình 3.1) số vị trí (4,2) cho tổng số rút gọn (theo hàng cột 0) Đây giá trị lớn số ma trận Vì việc phân nhánh dựa vào cạnh (4.2) Tình phân nhánh mơ tả hình 3.2 Cũng phân nhánh theo cạnh (5.3) số vị trí có số mũ Ma trận nhánh bên phải tương ứng với tập hành trình qua (3,4) khơng qua (4,2), sau thay vị trí (4,2) ∞, rút gọn (hàng 4) Cận tập hành trình 81+4=85   ∞  02 ∞  00 06 ∞ ∞  02  02 00  010 ∞ ∞ 10 ∞ 04 Hình 3.2 Cây phân nhánh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  02   ∞ 45 Nhánh bên trái tương ứng với ma trận 3x3, ta phải loại bỏ hàng cột Các cạnh (3,4) (4,2) nằm hành trình, cạnh (2,3) qua (nếu không tạo thành chu trình con) Để ngăn ngừa việc tạo thành chu trình ta gán cho phần tử vị trí (2,3) giá trị c23 = ∞ Tiếp tục phân nhánh từ tập bên trái cách sử dụng cạnh (1,5), số vị trí có tổng số rút gọn + =8 (theo hàng 6, theo cột 2) Đây giá trị lớn số ma trận rút gọn 3x3 hình 3.2 Sau phân nhánh cạnh (1,5), cận nhánh bên phải tương ứng với tập hành trình qua (3,4), (4,2) không qua (1,5) 81 + = 89 Ma trận nhánh trái có kích thước 2x2 Vì qua (1.5), nên ta cấm cạnh (5,1) cách đặt c51 = ∞ , thu ma trận sau: ∞ ∞ Cận tập tương ứng 81 Cây phân nhánh bước thể hình 3.3 Sau chấp nhận n - = cạnh vào hành trình hai cạnh cịn lại hành trình khơng phải lựa chọn nữa, mà kết nạp vào hành trình Trong ví dụ xét, sau có cạnh (3,4), (4,2), (1,5), ta kết nạp nốt hai cạnh (2,1) (5,3) vào thu hành trình gồm cạnh (3,4), (4,2), (1,5), (2,1), (5,3) Như hành trình 1→5→3→4→2→1 với tổng chi phí : 31 + + + 19 + 20 = 81 Các tập cịn lại có cận lớn 81 nên bị loại Vì hành trình tìm hành trình tơi ưu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Hình 3.3 Tồn phân nhánh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Tóm lại, chương xét tốn người du lịch, tốn khó tối ưu rời rạc mơ hình tốn học nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn Thuật toán nhánh cận trình bày chi tiết rõ ràng: cách phân nhánh tính cận độc đáo hiệu quả, dựa tư lơgic xác Cuối chương nêu ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Kết luận Luận văn đề cập tới phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc, phương pháp quen thuộc có hiệu giải tốn tối ưu với biến số nhận giá trị nguyên hay rời rạc Hiện nay, phương pháp nhánh cận, với nhiều biến dạng cải tiến khác nhau, công cụ hữu ích có hiệu để giải toán tối ưu rời rạc, kể toán cỡ lớn Các thuật toán nhánh cận cài đặt nhiều phần mềm thương mại hoá tối ưu để giải toán tối ưu rời rạc Luận văn trình bày nội dung sau: Mơ hình tốn qui hoạch ngun tuyến tính nói chung tốn qui hoạch ngun - nói riêng Lược đồ tổng quát phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc áp dụng vào tốn qui hoạch ngun tuyến tính (thuật tốn nhánh cận Land - Doig) Mơ hình toán túi, sở lý luận thuật toán nhánh cận giải toán túi Bài toán người du lịch thuật toán nhánh cận Little, Murty, Sweeney Karel giải toán người du lịch Có thể xem luận văn bước tìm hiểu phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc Việc giúp hiểu rõ thêm cách tiếp cận tổ hợp tối ưu rời rạc Tác giả luận văn hy vọng có địp tìm hiểu sâu nội dung, phương pháp giải ứng dụng thực tế toán tối ưu rời rạc khác tương lai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Tài liệu tham khảo [1] Trần Vũ Thiệu Bùi Thế Tâm Các phương pháp tối ưu hóa , NXB Giao Thơng Vận Tải Hà Nội, 1998 [2] A.A.Korbut and Yu.Finkelstein, Discrete Programming, Nauka Moscow, 1969 [3] L.B.Kovacs Combinatorial Methods of Discrete Programming Akademiai Kiado Budapet, 1980 [4] A.H.Land and A.G.Doig An automatic method of solving discrete programming problems NXB Econometrica, 28(3), 1960, 497-520 [5] J.D.C Littlee, K.G Murty, D.W Sweenney and C.Karel An algorithm for salesman problems, Operat.Rets, 1963, 11, N6, 972-989 [6] P.Tseng Discrete Optimization, Dep of Math Univ of Wasington, Springer 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương PHƯƠNG PHÁP NHÁNH VÀ CẬN TRONG TỐI ƯU RỜI RẠC Chương giới thiệu toán qui hoạch nguyên tuyến tính lược đồ tổng quát phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc Cuối chương, áp dụng lược đồ nhánh cận. .. Luận văn đề cập tới phương pháp nhánh cận tối ưu rời rạc, phương pháp quen thuộc có hiệu giải tốn tối ưu với biến số nhận giá trị nguyên hay rời rạc Hiện nay, phương pháp nhánh cận, với nhiều biến... biến số nguyên hay rời rạc bị chặn đưa toán qui hoạch - Có nhiều phương pháp giải tốn tối ưu rời rạc, đáng ý có hiệu phương pháp nhánh cận, đặc biệt số tốn điển hình tối ưu rời rạc: toán qui hoạch