Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lụcKhái niệmChuỗi hình họcTính chất của chuỗiChuỗi không âmSự hội tụ tuyệt đối của chuỗiChuỗi đan dấuSơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗiChuỗi lũy thừa... Sự hội tụ của chuỗi sốNgược l
Trang 1Chương 5: Chuỗi số
TS Nguyễn Thị Hoài Thương
Trường Đại học Bách Khoa (HCMC)-VNUKhoa Khoa học ứng dụngngththuong@hcmus.edu.vn
Ngày 26 tháng 3 năm 2023
Trang 2Mục lục
Khái niệmChuỗi hình họcTính chất của chuỗiChuỗi không âm
Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗiChuỗi đan dấu
Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗiChuỗi lũy thừa
Trang 3Chuỗi số
Trang 4Chuỗi số - Đặt vấn đề
Để điều trị sốt rét, người ta tiêm quinine cho bệnh nhân liều 50mg/ngàyvào một thời điểm cố định trong ngày Sau 24 giờ, lượng quinine tồn đọngtrong cơ thể là 23% so với lượng quinine trong cơ thể ngay sau khi tiêm.Hỏi sau n ngày, lượng quinine còn lại là bao nhiêu?
Giải: Ta cóP1 = 50
P2 = 50 + P1× 0.23 = 50 + 50 × 0.23
P3 = 50 + P2× 0.23 = 50 + 50 × 0.23 + 50 × 0.232
Pn= 50 + P2× 0.23 = 50 + 50 × 0.23 + 50 × 0.232+ + 50 × 0.23n−1
Trang 54 + +12n + được gọi là một chuỗi số.
Trang 6Dãy các tổng riêng (Sn)n∈Z+ được gọi là mộtchuỗi số.
Trang 7Sự hội tụ của chuỗi số
Ngược lại, nếu dãy tổng riêng (Sn)n∈Z+ phân kì thì chuỗi được gọi là
phân kì.
Trang 8Sự hội tụ của chuỗi số
Ví dụ 1.2: Xét sự hội tụ của chuỗi
1n(n + 1).Vì
1n + 1.Ta có Sn hội tụ về 1 khi n → ∞ Vậy chuỗi hội tụ về 1 (hay tổng củachuỗi bằng 1) và ta viết
Trang 9Sự hội tụ của chuỗi số
Ví dụ 1.3: Xét sự hội tụ của chuỗi
Trang 10Sự hội tụ của chuỗi số
Ví dụ 1.4: Xét sự hội tụ của chuỗi
n.Ta có tổng riêng phần của chuỗi này là
Sn= 1 +√1
3 + +1√
n > n1√
n phân kì.
Trang 11Sự hội tụ của chuỗi số
Ví dụ 1.5: Xét sự hội tụ của chuỗi
1.Ta có:
Trang 15là một chuỗi hình học với a = 1, r = 1/2 Vì r = 1/2 < 1 nên
12n−1
Trang 17Suy ra
un = Sn− Sn−1
↓↓↓n → ∞0 = S − S
Lưu ý:Chiều ngược lại (mệnh đề đảo) là không đúng, xem ví dụ sau:
Trang 18Chứng minh: Đối với chuỗi số đặc biệt này, chúng ta xét các tổng riêngS2, S4, S8, S16, S32, và chứng minh rằng chúng tiến ra vô cùng.Ta có
S2 = 1 +12S4 = 1 +1
1
2
Trang 191
5 + +18
9 + +116
8 + +18
16 + +116
Trang 20Tính chất của chuỗi
Tương tự, S32> 1 +5
2, S64> 1 +6
2, tổng quát ta cóS2n > 1 +n
2.Điều này cho thấy rằng lim
n→∞S2n = ∞ Do đó, dãy (Sn)n∈Z phân kì Vậychuỗi điều hòa phân kì.
Trang 21Chuỗi không âm
Định nghĩaChuỗi số
Định lí 1.5 (Tiêu chuẩn tích phân)
Cho f là một hàm không âm, giảm, liên tục trên [1, ∞) và đặt an= f (n).Chuỗi
Trang 22Chuỗi không âm
Trang 23Chuỗi không âm
x−p+1−p + 1
1tp−1 − 1
.(⇐) Nếu p > 1 thì p − 1 > 0 Vì vậy, tp−1 t→∞−−−→ ∞ Do đó,
−−−→ 0.Suy ra:
Trang 24Chuỗi không âm
Nếu p < 1 thì 1 − p > 0 Khi đó:1
tp−1 = t1−p t→∞−−−→ ∞.Suy ra:
Trang 25Chuỗi không âm
Định lí 1.6 (Tiêu chuẩn so sánh)Cho
Trang 26Chuỗi không âm
52n2 = 5
2n2+ 4n + 3 hội tụ.
Trang 27Chuỗi không âm
1n1/2.
Trang 28Chuỗi không âm
Định lí 1.7 (Tiêu chuẩn so sánh ở dạng giới hạn)Cho
Trang 29Chuỗi không âm
Định lí 1.7 (Tiêu chuẩn so sánh ở dạng giới hạn) (tt)Nếu L = ∞ thì
Trang 30Chuỗi không âm
Trang 31Chuỗi không âm
5 + n5 hội tụ hay phân kì?Đặt
an= 2n
2+ 3n√
n1/2.Khi đó
Trang 32Chuỗi không âm
Định lí 1.8 (Tiêu chuẩn d’Alembert hay Tiêu chuẩn tỷ số)Cho
Trang 33Chuỗi không âm
Ví dụ 1.13: Xét sự hội tụ của các chuỗi sốa)
3nn!1.3 (2n − 1).Giải:
4n, an+1= n + 14n+1.Khi đó
Trang 34Chuỗi không âm
n
Trang 35Chuỗi không âm
Định lí 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy hay Tiêu chuẩn căn thức)Cho
Trang 36Chuỗi không âm
Ví dụ 1.14: Xét sự hội tụ của chuỗi
2n + 33n + 2
.Giải: Ta chọn
an= 2n + 33n + 2
.Khi đó
hội tụ.
Trang 37Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Định nghĩa 1.10Chuỗi
là một chuỗi hội tụ (xem Ví dụ 1.9).
Trang 38Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Mệnh đề 1.11:Nếu
Trang 39Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Ví dụ 1.17: Xét sự hội tụ của chuỗi
n2.Vì
Trang 40Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Ví dụ 1.18: Xét sự hội tụ của chuỗi
(−1)nx2n22n(n!)2 Giải: Áp dụng mệnh đề 1.11, để chứng minh
hội tụ.Đặt
(−1)n+1x2n+222n+2[(n + 1)!]2
22n+2[(n + 1)!]2.
Trang 41Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Khi đó,lim
hội tụ với mọi x ∈ R.
Trang 42Chuỗi đan dấu
Định nghĩaChuỗi
Trang 43Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số, ta thực hiện sơ đồ sau:Bước 1: Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
Trang 44Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Bước 2: Khảo sát sự hội tụ có điều kiện Nếu chuỗi
|an| là chuỗiđan dấu thì ta áp dụng tiêu chuẩn Leibniz.
Bước 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi không âm bằng cách áp dụngcác tiêu chuẩn tích phân, so sánh, d’Alembert, Cauchy.
Trang 45Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
tụ tuyệt đối Tuy nhiên,lim
= lim
có nghĩa là điều kiện cần để chuỗi hội tụ thỏa mãn.
Trang 46Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n→∞an= 0.
2 {an}+∞n=1 là dãy giảm.Theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi
Trang 47Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Ví dụ:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
− n
n + 1n
− nn + 1
nn + 1
− nn + 1
n = lim
nn + 1
= lim
1 − 1
n + 1
−(n+1)×−nn + 1= e−1= 1
e6= 0.Như vậy, chuỗi đã cho
− n
n + 1n
phân kì.
Trang 48Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2n + 1n
32n + 1
= lim
32n + 1
2n + 1n
hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.
Trang 49Chuỗi lũy thừa
Trang 50Chuỗi lũy thừa
Trang 51Chuỗi lũy thừa
Định lí 1.14 (Qui tắc tìm bán kính hội tụ)Nếu
ρ, nếu 0 < ρ < ∞,
Trang 52Chuỗi lũy thừa
Các bước khảo sát miền hội tụ của chuỗi lũy thừaBước 1: Tìm bán kính hội tụ.
2n + 1.Suy ra
ρ = lim