bài giảng ánh xạ tuyến tính

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67 Nội dung 1 Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 67 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý E , F = ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x). Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x 1 = x 2 ⇒ f (x 1 ) = f (x 2 ). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu  f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E . Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E , F ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 67 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R 2 → R 3 cho bởi ∀x = (x 1 , x 2 ), f (x) = (3x 1 − x 2 , x 1 , x 1 + x 2 ) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2 , f(x+y) = (3(x 1 + y 1 ) − (x 2 + y 2 ), x 1 + y 1 , (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 )) = (3x 1 − x 2 , x 1 , x 1 + x 2 ) + (3y 1 − y 2 , y 1 , y 1 + y 2 ) = f(x)+f(y). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 67 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R 2 , f (λx) = (3λx 1 − λx 2 , λx 1 , λx 1 + λx 2 ) = λ(3x 1 − x 2 , x 1 , x 1 + x 2 ) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R 2 → R 2 cho bởi ∀x = (x 1 , x 2 ), f (x) = (2x 2 1 − x 2 , x 2 ) không là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, f (λx) = (2(λx 1 ) 2 − λx 2 , λx 2 ) = (2λ 2 x 2 1 − λx 2 , λx 2 ) = λ(2x 2 1 − x 2 , x 2 ), nếu λ = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 67 Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 67 Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f −1 (0) là nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f . Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker(f ) là không gian véctơ con của E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 67 Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 67 Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker(f )) là số khuyết của f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 67 [...]... TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 33 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Khi đó ma trận     A=   a11 ai1 am1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính a1j aij amj a1n ain amn        được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở BC Ký hiệu A = MatBC (f ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 34 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính. .. của F Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n Chứng minh tồn tại ánh xạ tuyến tính: ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + + xn en , xi ∈ K Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + + xn vn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 29 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Rõ ràng lúc này ta có f (e1) =... TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 31 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Chứng minh f là duy nhất Giả sử còn có g : E → F thỏa g (ei ) = vi , i = 1, 2, , n Khi đó ∀x ∈ E , ta có g (x) = x1g (e1) + x2g (e2) + + xn g (en ) = x1v1 + x2v2 + + xn vn = f (x) Vậy g = f TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 32 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma... ánh xạ tuyến tính Khi đó ta có rank(f ) + dim(ker (f )) = dim(E ) hay dim(Im(f )) + dim(ker (f )) = dim(E ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 28 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, , en } là 1 cơ sở của E và v1, v2, , vn là n véctơ tùy ý của F Khi đó có một và chỉ một ánh. .. xi ) = i=1 i=1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 16 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính 2 Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >) Với mọi y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, , λn ∈ K : n y= n λi xi ) ∈ f (< M >) λi f (xi ) = f ( i=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) i=1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 17 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh... là toàn ánh nên F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 18 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Khi đó Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính 1... vn Vậy luôn tồn tại ánh xạ f thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính Với x = x1e1 + x2e2 + + xn en , y = y1e1 + y2e2 + + yn en , ta có x + y = (x1 + y1)e1 + (x2 + y2)e2 + + (xn + yn )en và λx = λx1e1 + λx2e2 + + λxn en TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 30 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Do đó f (x +y )... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 21 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ) Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F Chứng minh Ta có f là song ánh= toàn ánh+ đơn ánh Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 20 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính n Chứng minh Giả sử i=1 n ⇒ f( n λi f (xi ) = 0 λi xi ) = 0 = f (0) Do f là đơn ánh nên i=1 λi xi = 0 mà... lập tuyến tính 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 19 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh 1 Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, , λn ) = (0, 0, , 0) sao cho n λi xi = 0 Khi đó i=1 n f( n λi xi ) = f (0) = 0 = i=1 λi f (xi ) i=1 ⇒ f (M) PTTT 2 Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với . TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67 Nội dung 1 Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. TS thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính 2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 67 Khái niệm tổng quát Tính. Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng