Chuyển động của electron trong trường Culong của hạt nhân nguyên tử là một bài toán quan trọng của cơ học lượng tử. Ởđây chúng ta nghiên cứu chuyển động của electron trong trường xuyên tâm của hạt nhân (Trường lực xuyên tâm là trường mà thế năng của hạt trong trường này phụ thuộc vào khoảng cách r tới gốc tọa độ O đặt tại nơtron của trường) .
Chúng ta biết rằng nguyên tử hyđro và các con đồng dạng (như He+, Li+, v.v...)
gồm có một hạt nhân mang điện tích + Ze (Z chính là số thứ tự của nguyên tố trong bảng tuần hoàn Mendeleev(1), đối với nguyên tử hyđro Z = 1) và một electron mang điện tích (-e) chuyển động xung quanh hạt nhân (h. 3-l).
Lực tương tác giữa hạt nhân và electron là lực hút tĩnh điện (theo định luật Culong):
và thế năng tương tác của hạt nhân và electron có dạng:
trong đó r - khoảng cách từ electron đến gốc O của hệ tọa độđặt tại hạt nhân. Hạt nhân có khối lượng lớn so với khối lượng của electron (me), vì vậy có thể coi hạt nhân đứng yên, còn electron chuyển động trong một trường xuyên tâm có thế năng dạng (3 – 2) Khi đó phương trình Sthrôdinger cho electron chuyển động trong nguyên tử hyđro sẽ là:
Vì ởđây trường của hạt nhân là xuyên tâm có tính đối xứng cầu nên tiện nhất là sử dụng hệ tọa độ cấu (r, θ, ϕ), mà chúng liên hệ tọa độ Dercartes bằng các hệ thức sau đây:
Như vậy hàm sóng sẽ là hàm của các biến số r, θ, ϕ:
Do đó phương trình Schrödinger trong tọa độ cầu có dạng:
Để giải bài toán này, người ta dùng phương pháp phân ly biến số trong hệ tọa độ cầu. Điều này cho phép ta biểu diễn nghiệm dưới dạng:
Thay (3-5) vào phương trình (3-4), sau đó chuyển vế và chia ca hai vế phương trình nhận được cho R(r)Y(θ, ϕ) ta được:
r ∂ ∂ bằng đạo hàm thường dr d
. Vì vế trái của (3-6) chỉ phụ thuộc vào biến r, còn vế phải phụ thuộc vào biến θ, ϕ nên hai vế chỉ có thể bằng nhau khi chúng bằng cùng một hằng sốλ.
Do vậy ta có thể viết:
Theo lý thuyết phương trình vi phân thì hai phương trình (3-7) và (3-8) có các nghiệm R, Y đơn trị, giới nội, liên tục chỉ khi λ có các giá trị xác định. Giải phương trình (3-7) ta tìm được hàm R(r) phụ thuộc vào hai số nguyên không âm n,l: R = Rn.l(r); và giải phương trình (3-8) ta tìm được Y(θ,ϕ) phụ thuộc vào hai số nguyên l,m: Y = Yl.m(θ,ϕ).
Yl.m(θ,ϕ) là các hàm số cầu và chính là hàm riêng của toán tử bình phương mômen động lượng:
Thật vậy, phương trình (3- 8) có thể viết:
Nhân hai vế của phương trình (3-9) với h2 ta có:
Suy ra:
Rõ ràng Y là hàm riêng của toán tử bình phương mômen động lượng Lˆ2. Ở đây λ= l(l+ 1) và các số n,l,m lấy các giá trị:
số nguyên n được gọi là số lượng từ chính.
Số nguyên l được gọi là số lượng tử quỹđạo (phương vị) .
Sau đây là dạng cụ thể của một vài hàm riêng Rn.l(r) và Yl.m(θ,ϕ):
với
Viết một cách tổng quát:
trong đó các hàm đa thức liên kết Legendre(1) Pl m (x) có dạng:
là các đa thức Legendre.