Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (2- 38) mô tả trạng thái của một vi hạt có năng lượng không thay đổi theo thời gian, đó là phương trình mô tả đối với phần phụ thuộc tọa độ không gian ψ(r) của hàm sóng. Khi thay W.Ψ(r,t) bằng
t t r ih ∂ Ψ ∂ ( , )
theo (2- 23), ta có phương trình sóng Schrödinger:
Phương trình (2-39) là phương trình ứng với sự biến đổi trạng thái theo thời gian - một phương trình cơ bản của cơ học lượng tử. Phương trình này có vai trò như phương trình Newton trong cơ học cổ điển. Nói cách khác, phương trình Schôdinger mô tả sự vận động của vi hạt, nghĩa là phương trình đó xác định được giá trịψ(rt) tại mỗi thời điểm thời gian và tại mỗi thời điểm trong không gian. Khi biết hàm sóng
) (rt
ψ tại mỗi thời điểm thì có thể suy ra hàm sóng tại một thời điểm bất kỳ sau đó nhờ phương trình (2-39).
Hàm sóng phụ thuộc thời gian ψ(rt)cũng phải thỏa mãn những điêu kiện đơn trị, liên tục và hữu hạn.
Ta biết rằng trạng thái dừng của một hạt tự do có năng lượng W và động lượng
P được biểu diễn bởi hàm sóng nwt i r P n i o e t r, ) . . . ( ψ ψ = , còn trạng thái dừng của một hạt bất kỳ có năng lượng W thì được biểu diễn bởi một hàm số ψ(r,t) thỏa mãn phương trình (2-39).
2-8. ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRÔNGER
Bây giờ ta ứng dụng phương trình Schrödinger giải một vài bài toán điển hình của cơ học lượng tử. Để đơn giản, ta giải bài toán dùng phương trình Schrôinger không phụ thuộc thời gian kết hợp với các điều kiện biên cho sóng, ta tìm được phổ các giá trị năng lượng của vi hạt và các hàm sóng của trạng thái dừng. Bài toán đơn giản ấy là bài toán liên quan đến chuyển động một chiều, ở đó vi hạt chuyển động trong trường thế mà thế năng của nó phụ thuộc vào tọa độ x (U = U(x)). Việc giải bài toán một chiều cho phép ta tìm được các đặc điểm quan trọng của nghiệm, có thể nghiên cứu kỹ các nghiệm về ý nghĩa vật lý, mà điều đó sẽ cần trong các bài toán phức tạp. Mặt khác, nhiều bài toán phức tạp, sau những phép biến đổi tương ứng sẽ dẫn đến việc giải phương trình tương tự như phương trình Schrodinger trong không gian một chiều.