Suy diễn và cỏc thao tỏc tư duy

8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

2.1.4. Suy diễn và cỏc thao tỏc tư duy

Như chỳng ta đó biết, đặc trưng của mụn toỏn là bằng những khỏi niệm và tương quan cơ bản cựng một ớt tiờn đề - kết quả của trừu tượng hoỏ và khỏi quỏt hoỏ hiện thực cỏc hỡnh học khụng gian và quan hệ với số lượng của thế giới khỏch quan - định nghĩa cỏc khỏi niệm mới và chứng minh cỏc định lý theo con đường suy diễn lụgic chặt chẽ. Lý thuyết toỏn học trừu tượng lại được vận dụng vào thực tiễn khỏch quan bằng con đường cụ thể hoỏ. Như vậy, khi học toỏn, bộ úc của học sinh được trải qua nhiều hỡnh thức hoạt động: trừu tượng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tương tự hoỏ, đặc biệt hoỏ, quy nạp, suy diễn….Dạy toỏn chớnh là phải dạy bộ úc của học sinh thành thạo cỏc thao tỏc tư duy đú. Chớnh đặc trưng đú của mụn toỏn đũi hỏi khi dạy phải “dạy suy nghĩ”, dạy cho học sinh biết cỏch đặt vấn đề, phõn tớch, giải quyết vấn đề theo một lụgic chặt chẽ, biết kiểm tra, phờ phỏn cỏch giải quyết vấn đề từ đú tỡm ra cỏch giải quyết hay nhất. Nếu ta bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng suy luận tức là ta đó bồi dưỡng cho học sinh một phần của tư duy toỏn học, bởi vỡ suy luận gắn chặt với suy nghĩ. Mặt khỏc, theo kết quả của Kụliagin: “Tư duy toỏn học bao hàm tư duy lụgic, mà tư duy lụgic cú một thành phần là: rỳt ra kết luận từ những tiền đề”.

Suy luận diễn dịch hay cũn gọi là suy luận suy diễn là suy luận theo những quy tắc, xỏc định rằng nếu cỏc tiờn đề đỳng thỡ kết luận rỳt ra cũng đỳng.

Khụng cú ai hoài nghi với nhận định “Toỏn học là khoa học suy diễn”[6], “Kỹ năng suy diễn dịch là kỹ năng đặc trưng của tư duy toỏn học” .

Quỏ trỡnh tỡm tũi lời giải hướng học sinh đi từ giả thiết đến kết luận bằng một loạt suy diễn. Để tỡm ra dõy chuyền hợp lý của cỏc lập luận đỳng đắn trong khi giải toỏn phải dựng đến cỏc thao tỏc tư duy xen kẽ lẫn nhau.

Việc phối hợp giữa suy diễn với cỏc thao tỏc tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toỏn cú vai trũ quan trọng trong việc phỏt triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đú cú khả năng thớch ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toỏn như là một quỏ trỡnh suy luận, tư duy của học sinh mà phương phỏp giải khụng chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toỏn mà cũn phụ thuộc tố chất tõm lý của bản thõn người giải. Mối liờn hệ, dấu hiệu trong bài toỏn chỉ cú thể được phỏt hiện thụng qua quỏ trỡnh phõn tớch, tổng hợp, khỏi quỏt hoỏ, so sỏnh,.... Trờn cơ sở đú học sinh sử dụng cỏc phộp suy luận đi đến kết luận bài toỏn. Đặc biệt nếu rốn luyện được cỏc thao tỏc tư duy cho học sinh trong dạy học giải toỏn thỡ sẽ làm cho cỏc em biết được tớnh thực tiễn của Toỏn học: Xuất phỏt từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn. Nguồn gốc sức mạnh của Toỏn học là ở tớnh chất trừu tượng cao độ của nú. Nhờ trừu tượng hoỏ mà Toỏn học đi sõu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và cú ứng dụng rộng rói. Nhờ cú khỏi quỏt hoỏ, xột tương tự mà khả năng suy đoỏn và tưởng tượng của học sinh được phỏt triển, và cú những suy đoỏn cú thể rất tỏo bạo, cú căn cứ dựa trờn những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rốn luyện cỏc thao tỏc tư duy. Cũng qua thao tỏc khỏi quỏt hoỏ và trừ tượng hoỏ mà tư duy độc lập, tư duy sỏng tạo, tư duy phờ phỏn của học sinh cũng được hỡnh thành và phỏt triển. Bởi qua cỏc thao tỏc tư duy đú học sinh tự mỡnh phỏt hiện vấn đề, tự mỡnh xỏc định được phương hướng, tỡm ra cỏch giải quyết và cũng tự mỡnh kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thõn cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khỏc. Một mặt cỏc em cũng phỏt hiện ra được những vấn đề mới, tỡm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.

2.1.4.2. Một số thao tỏc tư duy phổ biến a. Phõn tớch và tổng hợp

Theo tõm lớ học cỏc quỏ trỡnh phõn tớch và tổng hợp là những thao tỏc tư duy cơ bản, tất cả những cỏi tạo thành hoạt động trớ tuệ đều là những dạng khỏc nhau của cỏc quỏ trỡnh đú. Vỡ vậy, để phỏt triển trớ tuệ cho HS qua bộ mụn Toỏn, GV cần phải coi trọng việc rốn luyện cho HS khả năng phõn tớch

và tổng hợp.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phõn tớch là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sõu vào cỏc chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhỡn bao quỏt lờn một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tỡm cỏc mối liờn hệ giữa cỏc bộ phận của chỉnh thể và của chớnh chỉnh thể đú với mụi trường xung quanh. Theo ụng, phõn tớch tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phõn tớch tiếp theo [30, tr. 122].

Như vậy, phõn tớch và tổng hợp là hai hoạt động trớ tuệ trỏi ngược nhưng lại là hai mặt của một quỏ trỡnh thống nhất. Chỳng là hai hoạt động trớ tụờ cơ bản của quỏ trỡnh tư duy. Những hoạt động trớ tuệ khỏc đều diễn ra trờn nền tảng của phõn tớch và tổng hợp. Cú thể núi khụng một vấn đề tổng hợp (khụng tầm thường) nào lại chẳng cần dựng đến phõn tớch trong quỏ trỡnh phỏt hiện và giải quyết vấn đề.

Trong giải toỏn, HS thường phải thực hiện cỏc thao tỏc phõn tớch, tổng hợp xen kẽ với nhau. Bằng gợi ý của G. Pụlya viết trong tỏc phẩm“Giải bài toỏn như thế nào” đó đưa ra quy trỡnh 4 bước để giải bài toỏn. Trong mỗi bước tỏc giả đó đưa ra cỏc gợi ý, đú chớnh là cỏc thao tỏc phõn tớch, tổng hợp liờn tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quỏ trỡnh giải toỏn. Cú thể thấy trong giải toỏn, cỏc thao tỏc phõn tớch và tổng hợp thường gắn bú khăng khớt với nhau. Trong phõn tớch cú sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quỏ trỡnh tổng hợp phải cú sự phõn tớch (Để đảm bảo tớnh lụgic và tớnh định hướng của quỏ trỡnh tổng hợp).

Do vậy, việc rốn luyện cỏc thao tỏc tư duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải được tiến hành thụng qua sự phõn loại học sinh. Khụng cú một cỏch “rốn luyện” nào phự hợp cho mọi đối tượng, thậm chớ cú những quỏ trỡnh phõn tớch - tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này nhưng lại “vụ nghĩa” với HS khỏc. Vỡ thế, tỡm hiểu kĩ đối tượng, nghiờn cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự GV phải phõn tớch kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho học sinh quỏ trỡnh phõn tớch - tổng hợp khi giải bài tập toỏn là rất quan trọng. Vớ dụ 22 : Giải PTLG sau: (1 sin x cos2x)sin x 4 1 cos x 1 tan x 2 π   + +  + ữ   = +

Hoạt động phõn tớch: Ở bài toỏn trờn ta thấy tử cú chứa

( )

2

sin . sin cos 4 2

x π x x

 + = +

 ữ

  . Sự phõn tớch này diễn ra trờn cơ sở tổng

hợp, liờn tưởng tới cụng thức sin(a+b)=sina.cosb+coa.sinb. Mẫu cú chứa sin cos 1 tan cos x x x x +

+ = . Nhận thấy giữa tử và mẫu đều cú chung biểu thức (sinx + cosx) nờn ta phõn tớch để rỳt gọn tử và mẫu cho (sinx + cosx).

Hoạt động tổng hợp, ta cú lời giải:

Điều kiện: cosx≠0 và tanx ≠ −1

2

(1 sin cos 2 ). .(sin cos ) 1 2 .cos .cos sin cos 2 x x x x PT x x x x + + + ⇔ = +

(1 sin cos 2 ).(sin cos ).cos cos sin cos x x x x x x x x + + + ⇔ = +

(1 sinx cos 2 ) 1x sinx cos 2x 0

2 1

2sin sin 1 0 sin 1( ) sin

2 7 S: 2 2 ( ) 6 6 x x x loai hay x Đ x k hay x k k ⇔ − − = ⇔ = = − π π = − + π = + π ∈Â Vớ dụ 23:

Giải phương trỡnh: cosx cos2x cos3x cos4x+ + + =0 ( )*

Hoạt động phõn tớch: Bài toỏn cú cỏc cung khỏc nhau theo một hàm bậc nhất lượng giỏc cos (hoặc sin hoặc cả sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nờn ghộp cỏc số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) cỏc cung của chỳng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý (x+4x) =5x và

(2x 3x+ ) =5x. Tại sao phải ghộp như vậy ? Lý do rất đơn giản, chỳng ta cần những "thừa số chung" để nhúm ra ngoài, đưa bài toỏn về dạng phương trỡnh tớch số.

Hoạt động tổng hợp, ta cú lời giải:

( ) (cosx cos4x) (cos2x cos3x) 0 2cos5xcos3x 2cos5xcosx 0

2 2 2 2

* Û + + + = Û + =

5x 3x x 5x x

2cos cos cos 0 4cos cosxcos 0

2 2 2 2 2 ổ ửữ ỗ ữ Û ỗỗ + ữữ= Û = ỗố ứ ( ) 5x k2 5x k x cos 0 2 2 5 5 2 cosx 0 x l x l k;l;m 2 2 x x x 2m cos 0 m 2 2 2 ộ p ộ p p ộ ờ = + p ờ = + ờ = ờ ờ ờ ờ ờ p p ờ ờ ờ Û ờ = Û ờ = + p Û ờ = + p ẻ ờ ờ ờ ờ = ờ p ờ = p + p ờ ờ = + p ờ ờ ở ờở ờở Â .

b. Khỏi quỏt hoỏ

Theo G. Pụlya, "Khỏi quỏt hoỏ là chuyển từ việc nghiờn cứu một tập hợp đối tượng đó cho đến việc nghiờn cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" [6, tr. 21].

Theo tỏc giả Nguyễn Bỏ Kim: "Khỏi quỏt hoỏ là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cỏch nờu bật một số đặc điểm chung của cỏc phần tử trong tập hợp xuất phỏt" [13, tr. 55]. Cú thể núi trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lỳc đều cần đến phương phỏp tư duy khỏi quỏt. Đỳng như Đại văn hào Nga - Lep Tụnxtụi đó núi: "Chỉ khi trớ tuệ của con người tự khỏi quỏt hoặc đó kiểm tra sự khỏi quỏt thỡ con người mới cú thể hiểu được nú. Khụng cú khỏi quỏt thỡ khụng cú khoa học, khụng biết khỏi quỏt là khụng biết cỏch học. Khả năng khỏi quỏt là khả năng học tập vụ cựng quan trọng, khả năng khỏi quỏt Toỏn học là một khả năng đặc biệt" [29, tr.170].

Vớ dụ, khỏi quỏt hoỏ khi chuyển từ việc nghiờn cứu hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng sang việc nghiờn cứu những hệ thức lượng trong tam giỏc thường.

Theo tỏc giả Nguyễn Bỏ Kim trong Nghiờn cứu giỏo dục số 5/1982 thỡ những dạng khỏi quỏt hoỏ thường gặp trong mụn Toỏn được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Khỏi quỏt húa từ cỏi tổng quỏt đến cỏi tổng quỏt hơn. Khỏi quỏt húa từ cỏi riờng

lẻ đến cỏi tổng quỏt.

Khỏi quỏt húa tới cỏi tổng quỏt đó biết.

Khỏi quỏt húa tới cỏi tổng quỏt chưa biết.

Với sự biểu diễn như trờn, ta thấy rằng cú hai con đường khỏi quỏt: Con đường thứ nhất trờn cơ sở so sỏnh những trường hợp riờng lẻ, con đường thứ hai khụng dựa trờn so sỏnh mà dựa trờn sự phõn tớch chỉ một hiện tượng trong một loạt hiện tượng giống nhau. Cú thể núi rằng, khỏi quỏt hoỏ là một thụng số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thự của tư duy, là cơ sở duy nhất để phõn biệt giữa tư duy lý luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực khỏi quỏt hoỏ ở mỗi con người luụn đúng vai trũ quan trọng trong quỏ trỡnh học tập, nghiờn cứu; khi được phỏt triển đến mức độ cao chớnh năng lực này sẽ giỳp mỗi con người tỏch được cỏi chung, cỏi bản chất, những mối liờn hệ bờn trong của tài liệu nghiờn cứu, học tập bằng con đường phõn tớch chỉ một sự kiện điển hỡnh mà thụi. Bằng con đường đú con người sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mỡnh, biết cỏch khỏm phỏ cỏc tri thức khoa học bằng những phương phỏp tối ưu.

Như vậy, khỏi quỏt hoỏ là thao tỏc tư duy nhằm phỏt hiện những quy luật phổ biến của một lớp cỏc đối tượng hoặc hiện tượng từ một số cỏc trường hợp riờng lẻ. Với nghĩa đú, khỏi quỏt hoỏ thuộc về cỏc phộp suy luận cú lý nờn cỏc kết luận được rỳt ra từ khỏi quỏt hoỏ thường mang tớnh chất giả thuyết, dự đoỏn. Bởi nếu khẳng định chắc chắn thỡ đó là chứng minh rồi.

Sau khi giải bài toỏn, khụng dừng ở đú giỏo viờn cú thể phõn tớch hướng dẫn học sinh bằng hoạt động khỏi quỏt húa để sỏng tạo bài toỏn mới. Dựa vào đặc điểm của bài toỏn, cỏc giả thiết, kết luận từ đú phõn tớch để ta cú thể sỏng tạo ra bài toỏn mới đầy thỳ vị.

Vớ dụ 24: Sau khi học xong cụng thức biến đổi tổng thành tớch, học sinh dễ dàng tớnh nhanh được một số tổng sau:

S = sinx + sin2x + sin3x

Việc tớnh cỏc tổng trờn khụng khú khăn gỡ, vấn đề ở chỗ từ ý tưởng giải bài toỏn trờn học sinh sẽ cú hướng khỏi quỏt húa bài toỏn đó giải. Đến đõy giỏo viờn cú thể đặt cõu hỏi: “Nếu nhỡn cỏc gúc của hàm số sin theo cấp số cộng thỡ ta cú bài toỏn nào?”.

Với gợi ý này học sinh sẽ nghĩ ngay đến bài toỏn sau: Tớnh tổng Sn= sinx + sin2x +sin3x+ ... + sinnx.

Vớ dụ 25:

Từ cỏc cụng thức lượng giỏc đó học, ta cú thể khỏi quỏt được những bài toỏn mới.

Chẳng hạn cụng thức: sin sin 2sin cos 2 2

x y x y

x+ y = + −

Với x, y, z ∈ (0, π) ta cú :

sinx+siny=2sin x y+2 cosx y−2 2sin

2

x y−

≤ (1)

Từ (1) ta cú cỏc bài toỏn sau:

Bài toỏn 1 : Chứng minh rằng : mọi tam giỏc ABC, ta cú : a) sin sin sin 3 3

2

A+ B+ C≤

b) sin sin sin 3 2 2 2 2

A+ B+ C ≤

c) sin sin sin osA osB osC 2 2 2

A+ B+ C c≤ +c +c

Từ (1) ỏp dụng bất đẳng thức Bunhiacụpxki, ta cú: sinx + siny ≤ 2(sinx+sin )y 2 sin

2

x y+

≤ (2)

Từ (2) ta cú:

a) sin sin 2 cos 2

C

A+ B≤

b) sin sin sin cos cos cos

2 2 2

A B C

A+ B+ C ≤ + +

c. Đặc biệt hoỏ

Theo G.Polya: “ Đặc biệt húa là chuyển từ việc nghiờn cứu từ một tập hợp đối tượng đó cho sang việc nghiờn cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó cho”.

Đặc biệt húa là quỏ trỡnh đi từ cỏi chung đến cỏi riờng, là quỏ trỡnh minh họa hoặc giải thớch những khỏi niệm, định lớ bằng những trường hợp riờng lẻ, cụ thể.

Vớ dụ 26: Khi học cụng thức lượng giỏc gúc nhõn đụi, giỏo viờn cú thể cho học sinh phỏt hiện cụng thức bằng cỏch đặc biệt hoỏ cụng thức sin (a+b) = sinacosb + cosasinb cho trường hợp a=b=x.Lỳc đú ta được cụnh thức sinh2x= 2sinx.cosx.

Đặc biệt húa thường được sử dụng trong việc trỡnh bày cỏc khỏi niệm, chứng minh cỏc định lớ, bài tập… Trong bài toỏn quỹ tớch hoặc tỡm điểm cố định đặc biệt húa thường được sử dụng để mũ mẫm, dự đoỏn quỹ tớch, dự đoỏn điểm cố định trờn cơ sở đú để tỡm lời giải của bài toỏn.

Vớ dụ 27 : Khi biến đổi cỏc bài toỏn lượng giỏc, học sinh bắt gặp cỏc cụng thức lượng giỏc quen thuộc :

a)tan x cot x 2 x k sin 2x 2 π   + =  ≠ ữ   (1) b) 1 cot x tanx(x k ) sin x − = 2 ≠ π (2)

c ) cotx – tanx = 2cot2x x k 2 π  ≠   ữ  (3)

d) sin x1 +cot x cot (x k= x2 ≠ π) (4)

Nếu ta cho x là cỏc gúc đặc biệt trong tam giỏc thỡ tỡm được cỏc đẳng thức trong tam giỏc lượng.

Áp dụng (1) ta cú :tanA cotA 2 2 + 2 =sin A tanB cotB 2 2 + 2 =sin B tanC cotC 2 2 + 2 =sin C

Suy ra: tanA tanB tanC cotA co tB co tC 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 1 1 1

sin A sin B sin C

 

=  + + ữ

 

Vớ dụ 28: Với ∀ ≥n 2,n N∈ , chứng minh rằng:

1 2

sinx +sinx + +... sinxn sin 1 2 ... n; (0; )

i x x x n x n π + + + ≤ ∈ , i = 2, 3, …(*)

Để giải bài toỏn này, đầu tiờn ta phải đặc biệt húa bài toỏn trong trường hợp n = 2, ta được bài toỏn:

Chứng minh rằng: 1 2 ( )

1 2 1 2

sin sin 2sin ; , 0; 2

x x

x + x ≤ + x x ∈ π (**) Ta dễ dàng chứng minh được (**), (**) được dựng như một bài toỏn phụ để giải bài toỏn đó cho (sau khi đó chứng minh được (**), dựng phương phỏp