Trên vòng tròn cho trớc n số tự nhiên a1 a2 ... an. Sử dụng phép biến đổi sau:
Nếu có bộ 3 số liền nhau a, b, c mà b là số chẵn thì có thể thực hiện: a, b, c đ a+c
Dễ thấy rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi trên thì phải dừng lại (khi còn toàn số lẻ hoặc trên vòng tròn chỉ còn nhiều nhất là 2 số).
1) Cho trớc một kiểu đặt số ban đầu trên vòng tròn. Hãy chỉ ra một cách thực hiện các phép biến đổi trên sao cho khi đạt trạng thái kết thúc, tổng các số trên vòng tròn là:
b. Lớn nhất.
2) Số các phần tử ở trạng thái kết thúc sẽ không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện các phép biến đổi. Cho trớc dãy a1, a2, ..., an, hãy chỉ ra một hoán vị các số này trên vòng tròn sao cho ở trạng thái kết thúc số các phần tử là lớn nhất.
387. n hình vuông
Cho n hình vuông với tọa độ hai đỉnh trái dới và phải trên đợc cho trớc, tất cả đều nằm trong một hình vuông A cho trớc (tọa độ các hình vuông trên cho bởi số nguyên). Ta nói 1 điểm nằm trong một hình vuông nếu nó nằm bên trong hoặc trên biên của hình vuông đó.
1) Kiểm tra khẳng định sau có đúng không: Mỗi điểm của hình vuông A đều nằm trong ít ra là 2 hình vuông con.
2) Giả sử khẳng định trong câu (1) là sai. Cho trớc số l, hãy đặt thêm vào hình vuông A một số ít nhất các hình vuông cùng kích thớc l sao cho khẳng định câu (1) trở nên đúng.
3) Giả sử khẳng định trong câu (1) là sai. Hãy dịch chuyển n hình vuông trên sao cho khẳng định câu (1) trở nên đúng.
Chơng trình cần chỉ rõ là có làm đợc nh vậy hay không. Nếu đợc thì cần chỉ ra cụ thể các hình vuông đợc chuyển động.