Xét dãy số vô hạn về hai phía gồm các chữ số 0 và 1. Cho phép thực hiện phép biến đổi sau:
Trong dãy đã cho, có thể chia thành các "đoạn" dạng "100" hoặc "10". Sau đó thay thế 100 bởi 1; 10 bởi 0. Ví dụ: . . . 100 10 10 100 10 100 10 100 10 10 100 10 . . . . . . 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 . . . . . . 1 0 0 1 0 . . . . . . 1 0 . . .
Quá trình này cứ tiếp diễn cho đến khi không thể thực hiện đợc nữa. Dãy số đầu tiên đợc gọi là "Hạnh phúc" nếu thuật toán trên cho phép biến đổi vô hạn lần.
a) Tìm thuật toán miêu tả cách xây dựng một dãy "Hạnh phúc" nào đó. b) Sau đây là một thuật toán xây dựng dãy "Hạnh phúc":
Vẽ vòng tròn chu vi 1 + ệ 2 , trên đó đánh dấu một cung bất kỳ có độ dài 1. Ta tô màu đen cung này và một đầu của nó là màu đen, đầu còn lại tô màu trắng. Các điểm còn lại của vòng tròn tô màu trắng, đầu tô màu đen của cung đợc đánh số 1.
Xuất phát từ số 1 trên ta xây dựng dãy số của ta nh sau: Ta bớc từ vị trí 1 sang hai phía, mỗi bớc có độ dài 1. Nếu sau mỗi bớc, ở điểm trắng ta đánh số 0, nếu ở điểm đen ta đánh số 1 ... Bớc đi vô hạn về hai phía ta sẽ xây dựng đợc dãy vô hạn. Dãy này sẽ là dãy "Hạnh phúc".
c) Chứng minh rằng mọi dãy "Hạnh phúc" đều là "Quasi" tuần hoàn, bởi vì với mọi đoạn hữu hạn trong nó đều đợc lặp lại vô hạn lần.
d) Hai dãy vô hạn đợc gọi là giống nhau nếu cái nọ thu đợc từ cái kia bằng một phép tịnh tiến. Có tồn tại hay không dãy "Hạnh phúc" mà phép biến đổi trên cho ta thu đợc dãy mới trùng với chính nó?
272. Dãy AB
e. Gọi PA(m) - vị trí của chữ A thứ m trong dãy W. Chứng minh rằng:
Lập công thức tơng tự cho PB(m).