Hàm số p xác định với n>0 nh sau: p(0) = 1; p(1) = 2; p(3), p(4) = 5; p(5) = 7 ... p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + .... Tính p(n) với n bất kỳ. 310. Bài toán Hệ Bất trọng
Tập hữu hạn các số tự nhiên gọi là "Hệ Bất trọng" nếu từ tập này không thể trích ra hai dãy con rời nhau với tổng số bằng nhau.
Ví dụ: 1, 3, 7, 20 lập thành Hệ Bất trọng.
1) Chứng minh rằng dãy 1, 2, 4, ..., 2k-1 là Bất trọng.
2) Giả sử A1 < A2 < ... < Ak - hệ bất trọng. Chứng minh rằng: 1/A1 + 1/A2 + .... + 1/Ak <2.5
Thật ra ta có bất đẳng thức mạnh hơn: 1/A1 + 1/A2 + .... + 1/Ak <2
3) Cho k số tự nhiên A1< A2 < ... < Ak thoả mãn tính chất: Mọi tổng của hai hệ con cùng độ dài đều khác nhau.
Ta chọn số A thoả mãn: Nếu k = 2m (k chẵn) thì
(A-A2m) + ... + (A-Am) > (A - Am-1) + .... + (A-A1) + A Nếu k = 2m +1 (k lẻ) thì
(A-A2m+1) + ... + (A-Am+1) > (A-Am-1) +... + (A-A1) + A
Khi đó dãy A, A-A1, A-A2, ...., A-Ak sẽ lập thành một hệ bất trọng. 4) Dãy A1 < A2 < .... < An < .... đợc xây dựng nh sau:
A1 = 0, A2 = 1.
A2n+1 = (An+1 + An+2 + ... + A2n) - (A1 + A2 + ... + An-1) + 1 A2n+2 = (An+1 + An+2 + ... + A2n+1) - (A1 + A2 + ... + An) + 1 sẽ thoả mãn tính chất đợc nêu trong 3).
Do đó ta có thuật toán có thể xây dựng Hệ bất trọng độ dài bất kỳ. 5) Xây dựng các dãy Xn, Yn, Zn theo bảng sau:
Dãy trên đợc xây dựng theo qui tắc sau: Yn = n - Xn
Z0 = 0, Z1 = 1, Zn+1 = 2Zn - ZYn
Chứng minh rằng dãy:
a0 = Zn - Z0, a1 = Zn - Z1, ...., an-1 = Zn - Zn-1
sẽ lập thành hệ Bất trọng.
6) Với số N cho trớc lập chơng trình tính số k cực đại sao cho tồn tại hệ k số tự nhiên nhỏ hơn N là Hệ bất trọng.