2 Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm
2.3 Nguyên lí Dirichlet
Nguyên lý Dirichlet được phát biểu một cách đơn giản như sau: "Nếu nhốt n+ 1 con thỏ vào n cái chuồng (n ∈ N∗) thì luôn có ít nhất là 2 con thỏ bị nhốt trong cùng một chuồng".
Một cách tổng quát, ta có nguyên lí Dirichlet mở rông:
Nếu nhốt m con thỏ vào n cái chuồng (n, m ∈ N∗) thì luôn tồn tại một chuồng chứa ít nhất là 1 + [m−1
n ] con thỏ"
Ở đây, ký hiệu [a] được dùng để chỉ phần nguyên của số thực a, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Sau đây ta xét một số bài toán minh họa:
Bài 1. Cho tập X = {1,2, ...,2009}. Chứng minh rằng trong số 1006 phần tử bất kì của X luôn có hai phần tử có tổng bằng 2010.
Bài giải
Chia tập X thành các cặp
(1,2009),(2,2008), ...,(2005,2005).
Vì có 1005 cặp và 1006 phần tử nên tồn tại hai phần tử thuộc cùng một cặp. Hai phần tử này thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2. Cho tập X = {1,2, ...,2010}. Chứng minh rằng trong số 1006 phần tử bất kì của X luôn có hai phần tử nguyên tố cùng nhau.
Bài giải
Chia tập X thành các cặp
(1,2),(3,4), ...,(2009,2010).
Vì có 1005 cặp và 1006 phần tử nên tồn tại hai phần tử thuộc cùng một cặp. Hai phần tử này nguyên tố cùng nhau.
Bài 3. Xét tập M = {1,2, ...,9}.Với mỗi tập con X của M, ta kí hiệu
S(X) là tổng các phần tử thuộc X. Chứng minh rằng trong số 26 tập con
X củaM với |X| ≤ 3, luôn tồn tại hai tập Avà B sao cho S(A) =S(B). Bài giải
Ta chia các tập X của M thỏa mãn |X| ≤ 3 vào các lồng, mỗi lồng bao gồm các tập có cùng tổng các phần tử. Do 0 ≤ S(X) ≤ 24 nên có 25 lồng. Do có 26 tập X với |X| ≤ 3 nên tồn tại hai tập A, B thuộc cùng một lồng. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai tậpA, B sao cho S(A) =S(B). Bài 4. (VMO 2004) Cho tập A = {1,2,3, ...,16}. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều
tồn tại hai số phân biệt a, b mà a2 +b2 là một số nguyên tố. Bài giải
Ta thấy, nếu a, b cùng chẵn thì a2 +b2 là hợp số. Do đó, nếu tập con X
của A có hai phần tử phân biệt a, b mà a2 + b2 là một số nguyên tố thì
X không thể chỉ chứa các số chẵn. Suy ra, k ≥ 9. Ta chứng tỏ k = 9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kì củaA luôn tồn tại hai phần tử phân biệt a, b mà a2+b2 là một số nguyên tố. Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a2 +b2 là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:
(1; 4),(2; 3),(5; 8),(6; 11),(7; 10),(9; 16),(12; 13),(14; 15)
Theo nguyên lí Drichlet thì trong 9 phần tử của X có hai phần tử thuộc cùng một cặp và ta có điều phải chứng minh.
Bài 5.Trên mặt phẳng tọa độ, một điểmA(x, y)được gọi là điểm nguyên nếu x, y là các số nguyên. Giả sử A1A2A3...An là một n-giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên. Biết rằng miền đa giác đó (bao gồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh A1, A2, ..., An. Chứng minh rằng n ≤ 4. Bài giải
Vì các đỉnh của đa giác là các điểm nguyên nên tọa độ(x, y) của mỗi đỉnh thuộc một trong bốn dạng: (chẵn, chẵn), (chẵn, lẻ), (lẻ, lẻ), (lẻ, chẵn). Giả sử n ≥ 5. Khi đó, tồn tại hai đỉnh mà tọa độ của chúng thuộc cùng một dạng. Giả sử hai đỉnh đó là A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó trung điểm M của AB (thuộc miền đa giác) có tọa độ là (xM, yM) thỏa mãn:
xM = x1 +x2
2 ∈ Z, yM = y1 +y2 2 ∈ Z.
Kết luận
Dựa trên cơ sở lý thuyết về tổ hợp, luận văn “Một số kỹ năng giải bài toán đếm” đã đưa ra một số kỹ năng để giải bài toán đếm như: Sử dụng các khái niện cơ bản, phép tương ứng 1-1 và một số phương pháp giải nâng cao. Luận văn cũng đã đưa ra ba dạng toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm là: nguyên lí bất biến, phân hoạch và nguyên lí Dirichlet. Đồng thời tác giả cũng đã sưu tầm và tổng hợp được một hệ thống các bài tập kèm theo lời giải và hướng dẫn cụ thể. Tác giả muốn giới thiệu về các kỹ năng giải bài toán đếm. Nó không những giúp ta giải nhanh chóng và chính xác các bài toán đếm mà còn trang bị cho chúng ta cách tư duy và kinh nghiệm để giải các bài toán tổ hợp nói chung.
Có thể kết quả mà luận văn đạt được là chưa đáng kể nhưng nó có thể là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến vấn đề này.
Những hướng nghiên cứu tiếp theo: nếu có điều kiện phát triển đề tài hơn nữa chúng tôi sẽ tập trung, đi sâu vào một số phương pháp đếm nâng cao như Phương pháp truy hồi, nguyên lí bao gồm và loại trừ và một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm như nguyên lí bất biến, phân hoạch. Nói chung đây đều là những dạng bài toán rất khó đồi hỏi phải đầu tư nhiều thời gian, công sức và trí tuệ.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1 ] Các bài giảng của PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương - Trường THPT
Chuyên Khoa học Tự Nhiên.
[2 ] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán
rời rạc, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2008.
[3 ] Phạm Minh Phương, Một số chuyên đề toán tổ hợp, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2010.
[4 ] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5 ]Các tài liệu sưu tầm từ internet: Mathscope.org.
Tiếng Anh
[6 ] Titu Andreescu, Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Un-
dergraduates Counting Strategies, Birkhauser, 2004.
[7 ] Jiri Herman, Radan Kucera, Jaromir Simsa, Counting and Config-