2 Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm
2.1.4Một số bài toán nâng cao
Bài 22. Một tờ giấy được xé thành năm mảnh, một số trong số năm mảnh nhỏ này lại được xé thành năm mảnh nhỏ nữa, và một số trong số năm mảnh nhỏ này lại được xé tiếp thành năm mảnh..., . Vậy nếu cứ tiếp tục xé như vậy thì có khi nào ta được 2002 mảnh giấy hay không? Được 2005 mảnh giấy không?
Bài giải
Khi ta chia tờ giấy thành 5 mảnh và sau này chia các mảnh giấy ra làm 5 mảnh nhỏ thì cứ mỗi lần số mảnh giấy tăng thêm 4. Vậy số mảnh giấy sau mỗi lần xé thì có dạng 4k + 1,(k ∈ N∗), biểu thức này là bất biến trong quá trình xé giấy.
Vì 2002 6= 4k+ 1, nên không thể xé được 2002 mảnh.
2005 = 501.4+1nên có thể xé được thành 2005 mảnh sau lần xé thứ 501. Bài 23. Tại đỉnh A1 của một đa giác đều 12 đỉnh đánh dấu trừ (-) còn tất cả các đỉnh còn lại đánh dấu cộng (+). Một bước thực hiện là đổi đồng thới ba dấu tại ba đỉnh liên tiếp thành dấu ngược lại. Chứng minh rằng không có khả năng sau một số hữu hạn bước thực hiện như trên sẽ nhận được A2 có dấu trừ (-) còn tất cả các đỉnh còn lại mang dấu cộng (+).
Bài giải
Ta chía các đỉnh của đa giác đều 12 cạnh ra làm ba nhóm
(A1, A4, A7, A10),(A2, A5, A8, A11),(A3, A6, A9, A12)
Dễ thấy khi chọn ba đỉnh liên tiếp thì mỗi đỉnh rơi vào một nhóm. Suy ra sau mỗi lần đổi dấu ở ba đỉnh liên tiếp, số lượng dấu trừ trong mỗi nhóm tăng lên hoặc giảm đi một. Từ đây suy ra số lượng dấu trừ trong nhóm hai và nhóm ba luôn luôn cùng tính chẵn lẻ. Thật vậy, khi bắt đầu chơi thì số lượng dấu trừ bằng không. Sau lần đổi thứ nhất mỗi nhóm có 1 dấu trừ, sau lần đổi thứ hai mỗi nhóm có 0 hoặc 2 dấu trừ, sau lần đổi thứ ba là 1 hoặc 3 và vân vân. Như vậy không thể đạt được kết quả cuối cùng là A2 có dấu trừ còn tất cả các đỉnh còn lại mang dấu cộng vì khi đó số dấu trừ trong nhóm hai là 1 còn số dấu trừ trong nhóm ba là 0. Bài 24. Cho một bảng hình vuông kẻ ô 10 x 10 và trong mỗi ô ta ghi theo thứ tự một số tự nhiên gồm từ số 1 đến số 100. Hàng thứ nhất ghi từ 1 đến 10, hàng thứ hai ghi từ 11 đến 20,... Chứng minh rằng tổng S của 10 số bất kì của bảng trong đó không có bất kì hai số nào thuộc cùng một hàng và không có bất kì hai số nào thuộc cùng một cột là một số không đổi. Tìm số S. Bài giải Ta kí hiệu số hạng của tổng S: - Thuộc hàng 1 là a1; - Thuộc hàng 2 là 10 +a2; - . . . - Thuộc hàng 10 là 90 +a10.
Trong đó các số tự nhiên a1, a2, ..., a10 bao gồm giữa 1 và 10, và những số này đôi một khác nhau, vì nếu ta có a1 = a2 thì hai số a1 và 10 + a2
phải nằm trong cùng một cột của bảng. Ta có:
S = a1 + (10 +a2) + (20 +a3) +...+ (90 +a10) = (10 + 20 +...+ 90) + (a1 + a2 +...+a10) = 450 + (a1 +a2 +...+a10)
Bởi vì các số a1, a2, ..., a10 đôi một khác nhau và nhận giá trị nguyên từ 1 đến 10, mỗi một số trong các số tự nhiên từ một đến 10 có mặt trong tổnga1+a2+...+a10 với tư cách là một số hạng cũng chỉ có một lần. Do đó
a1 +a2 +...+a10 = 1 + 2 +...+ 10 = 55
Như vậy S = 450 + 55 = 505 là đại lượng bất biến đối với mọi cách chọn tổng các số trong bảng.
Bài 25. Cho khối lập phương tạo bởi 27 khối lập phương nhỏ bằng nhau. Trong mỗi khối lập phương nhỏ có chứa một số +1 hoặc −1 (hai khối nhỏ gọi là cạnh nhau nếu chúng có chung một mặt) Ta gọi "mặt cắt" của khối lập phương là những khối lập phương nhỏ cạnh nhau và nằm trong một "mặt phẳng". Có thể thay đổi dấu đồng thời trong hai mặt cắt có chung khối lập phương nhỏ, nhưng không thay đổi dấu những khối lập phương nhỏ chung. Ban đầu trong tất cả các khối nhỏ có chứa số −1. Hỏi có thể sau một số bước thay đổi dấu như trên thì các khối nhỏ ở đỉnh các khối lập phương mang −1, còn những khối nhỏ còn lại đều mang +1 được không?
Bài giải
Ta đi xác định sự thay đổi số lượng của số −1 trong khối lập phương với một bước biến đổi bất kì. Trong hai mặt cắt những số được thay đổi dấu là 12 số. Nếu n trong chúng là −1 còn 12−n là +1 khi đó sau khi biến đổi ta có n số +1 và 12 −n số −1, nghĩa là số lượng số −1 được thay đổi là 12−n−n = 2(6 −n), đây là một số chẵn. Suy ra sau mỗi bước biến đổi tính chẵn lẻ của số lượng các số −1 trên bảng không thay đổi. Ban đầu số lượng số −1 là 27. còn ta muốn còn 8 số −1 (trên các đỉnh của khối lập phương). Điều này không thể xảy ra.
Bài 26. Cho khối lập phương bao gồm 27 khối lập phương nhỏ bằng nhau. Trong những khối lập phương nhỏ của khối lập phương chứa những số +1. Một bước biến đổi ta có thể thêm cùng một số vào hai khối lập phương nhỏ bên cạnh nhau (hai khối nhỏ có chung mặt). Hỏi từ khối lập phương đã cho có thể nhận được khối lập phương sao cho trong tất cả các khối lập phương nhỏ có 0, còn khối nhỏ ở trọng tâm có +1;
Bài giải
Ta cố định một khối nhỏ và gọi nó là khối trắng, những khối nhỏ cạnh nó là những khối đen, bên cạnh những khối đen sẽ là những khối nhỏ trắng và vân vân. Khi đó mỗi khối nhỏ sẽ hoặc là trắng, hoặc là đen, mỗi khối trắng có khối nhỏ bên cạnh là đen và ngược lại. Cho Pt là tổng những số trong các khối nhỏ trắng, Pd là tổng các số trong các khối nhỏ đen. Biểu thức P = Pt−Pd không thay đổi với thao tác thay đổi đã cho
vì ta cộng thêm cùng một số vào hai khối nhỏ cạnh nhau (nghĩa là Pt
và Pd đều gia tăng như nhau) Ban đầu P = 1, nếu khối nhỏ ở tâm là đen (P = 14 − 13). Khối lập phương như yêu cầu của bài toán lại có
P = 0−1 = −1. Đây là điều vô lí. Vậy không thể nhận được khối lập phương như yêu cầu của bài toán.