Trong cuộc sống nhiều khi xuất hiện những bài toán phải tính số lượng các phần tử của một tập hợp thông qua những tập hợp con của chúng.
Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau thì ta dễ dàng thấy rằng
|A∪ B| = |A|+|B|
Trong trường hợp A và B có giao khác rỗng thì đẳng thức trên không còn đúng nữa.
Xét hai tập hữu hạn A, B sao cho A∩B 6= ∅. Khi đó nếu ta lấy số phần tử của A cộng với số phần tử của B thì số phần tử của A∩B được đếm 2 lần. Suy ra
Nhiều khi, bài toán ta gặp trở nên phức tạp hơn khi phải tính số phần tử của một tập hợp có nhiều hơn hai tập hợp.
Xét ba tập hữu hạn A, B, C sao cho A∩B, A∩C, B ∩C là các tập khác rỗng. Khi đó các phần tử của A∩B, A∩C, B∩C được đếm 2 lần, các phần tử của A∩B ∩C dược đếm 3 lần. Suy ra:
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C|+|A∩B∩C|
Trong nhiều trường hợp khác, chúng ta phải tính số phần tử của một tập hợp gồm nhiều tập hợp con, và phần nhiều các bài toán này là các bài toán khó với học sinh không hề được học công thức tính tổ hợp. Mở rộng kết quả trên ta có định lí sau:
Định lí. Cho trước các tập hợp A1, A2, ...An. Khi đó ta có:
|A1∪A2∪ · · · ∪An| = n P i=1 |Ai| − P 1≤i<j≤n |Ai∩Aj|+· · ·+ (−1)n−1|A1∩ A2 ∩ · · · ∩An|.
Sau đay ta xét một số bài toán minh họa:
Bài 1.Trong một bài kiểm tra Toán có hai bài toán. Trong cả lớp có 30 em làm được bài thứ nhất và 20 em làm được bài thứ hai. Chỉ có 10 em làm được cả 2 bài toán kiểm tra. Hãy tính số học sinh trong lớp.
Bài giải
Gọi A là tập hợp học sinh giải được bài toán thứ nhất, B là tập hợp học sinh giải được bài toán thứ hai, thì A∩ B là tập hợp học sinh giải được cả 2 bài toán. Bài toán được đặt ra là phải tính số phần tử của A∪B. Vậy số học sinh trong lớp bằng
|A∪B|= |A|+ |B| − |A∩ B| = 30 + 20−10 = 40
Bài 2. Lớp 12A phải làm một bài kiểm tra Toán gồm có ba bài toán. Biết rằng mỗi em trong lớp đều giải được ít nhất một bài, trong lớp có 20 em giải được bài toán thức nhất, 14 em giải được bài toán thứ hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 6 em giải được cả hai bài toán thứ nhất và thứ ba, 5 em giải được cả hai bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được cả hai bài toán thứ nhất và thứ hai, và có một em được 10 vì đã giải được cả ba bài toán. Hỏi lớp học có tất cả bao nhiêu em?
Bài giải
Gọi A là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ nhất, B là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ hai và C là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ ba. Ta phải tính số phần tử của tập hợp
A∪ B∪ C. Ta có
Vậy số học sinh trong lớp bằng
20 + 14 + 10−6−5−2 + 1 = 32
Bài 3.Trong một kì thi học sinh giỏi Toán, Lí, Hóa có một số em tham gia. Biết rằng có 20 em tham gia thi Toán, 14 em tham gia thi Lí, 10 em tham gia thi Hóa, 6 em vừa thi Toán vừa thi Lí, 5 em vừa thi Lí vừa thi Hóa, 2 em vừa thi Toán vừa thi Hóa và có 1 em tham gia tất cả ba môn Toán, Lí và Hóa. Hỏi rằng có bao nhiêu em tham gia kì thi học sinh giỏi này?
Bài giải
Gọi A là tập hợp các em học sinh thi học sinh giỏi môn Toán, B là tập hợp các em học sinh thi học sinh giỏi môn Lí, C là tập hợp các em học sinh thi học sinh giỏi môn Hóa. Ta phải tính số phần tử của tập hợp
A∪ B∪ C. Ta có
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C|+|A∩B∩C|
Vậy số học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi bằng
20 + 14 + 10−6−5−2 + 1 = 32
Bài 4. Tính số các hoán vị của dãy chữ "XAXAM " sao cho không có hai chữ cái nào giống nhau đứng cạnh nhau.
Bài giải (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tổng số các hoán vị của chữ "XAXAM" bằng
d = 5!
(2!)2 = 30
Kí hiệu M1 là tập các hoán vị mà hai chữ X đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai chữ X đứng cạnh nhau là một chữ và ta có:
|M1| = 4!
2! = 12
Kí hiệu M2 là tập các hoán vị mà hai chữ A đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai chữ A đứng cạnh nhau là một chữ và ta có:
|M2| = 4!
2! = 12
Ta có M1∩M2 là tập các hoán vị mà hai chữ A và hai chữ X đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai chữ A là một chữ và hai chữ X là một chữ và ta có:
Khi đó tổng số các hoán vị bằng
d− |M1 ∪M2| = d−(|M1|+|M2|) + |M1 ∩M2| = 30−24 + 6 = 12
Bài 5. Tính số các hoán vị của chữ "MAYMAN" sao cho không có hai chữ cái nào giống nhau đứng cạnh nhau.
Bài giải
Tổng số các hoán vị của chữ "MAYMAN" bằng
d = 6!
(2!)2 = 180
Kí hiệu M1 là tập các hoán vị mà hai chữ M đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai chữ M đứng cạnh nhau là một chữ và ta có:
|M1| = 5!
2! = 60
Kí hiệu M2 là tập các hoán vị mà hai chữ A đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai chữ A đứng cạnh nhau là một chữ và ta có:
|M2| = 5!
2! = 60
Ta có M1∩M2 là tập các hoán vị mà hai chữ A và hai chữ M đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai chữ A là một chữ và hai chữ M là một chữ và ta có:
|M1 ∩M2| = 4! = 24
Khi đó tổng số các hoán vị bằng
d− |M1 ∪M2| = d−(|M1|+|M2|) +|M1∩M2| = 180−120 + 24 = 84
Bài 6. Xét a = 1133322444. Hỏi nếu thay đổi vị trí các chữ số của a thì nhận được bao nhiêu số mà hai số 1, hai số 2 không đứng cạnh nhau. Bài giải
Tất cả các cách thay đổi vị trí bằng
d = 10! (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(2!)2.(3!)2
Kí hiệu M1 là tập các số mà hai số 1 đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai số 1 đứng cạnh nhau là một số và ta có:
|M1|= 9! (3!)2.2!
Kí hiệu M2 là tập các số mà hai số 2 đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai số 2 đứng cạnh nhau là một số và ta có:
|M2|= 9! (3!)2.2!
Ta có M1 ∩M2 là tập các số mà hai số 1 và hai số 2 đứng cạnh nhau. Khi đó ta coi hai số 1 là một số và hai số 2 là một số và ta có:
|M1 ∩M2| = 8! (3!)2 Khi đó số cách xếp bằng d−|M1∪M2| = d−(|M1|+|M2|)+|M1∩M2| = 10! (2!)2.(3!)2− 9! (3!)2+ 8! (3!)2