2 Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm
2.2.4Phân hoạch cân bằng
+ Phân hoạch T1, T2, . . . , Tn của X được gọi là cân bằng theo số phần tử nếu các lớp Ti có số phần tử bằng nhau.
+ Phân hoạch T1, T2, . . . , Tn của X được gọi là cân bằng tổng nếu như tổng tất cả các phần tử của các lớp Ti là bằng nhau.
+ Ta xét bài toán mà thường gọi là giả thiết H(n, k) như sau:
"Có tồn tại một phân hoạch tập các số {1,2,3, ..., nk} thành k lớp vừa cân bằng số phần tử, vừa cân bằng tổng hay không? "
Nếu tồn tại ta gọi giả thiết H(n, k) là đúng. Bài 7. Giả thiết H(n, k) là đúng khi n chẵn. Bài giải.
- Giả thiết H(2,k),(n= 2) đúng vì :
{1,2,3, ....,2k}= {1,2k} ∪ {2,2k−1} ∪ {3,2k−2} ∪...∪ {k, k + 1}
là phân hoạch cân bằng số phần tử và cân bằng tổng. - Ta xét H(2m,k) đúng vì {1,2,3, ....,2mk} = {1,2mk} ∪ {2,2mk − 1} ∪ {3,2mk − 2} ∪ ... ∪ {mk, mk+ 1} Ta ký hiệu: T1 = {1,2mk} ∪ {2,2mk −1} ∪ {3,2mk−2} ∪...∪ {m,2mk −m+ 1} T2 = {m+1,2mk−m}∪{m+2,2mk−m−1}∪...∪{2m,2mk−2m+1} . . . Tk = {m(k−1)+1,2mk−m(k−1)}∪{m(k−1)+2,2mk−m(k−1)−1}
∪...∪ {mk, mk + 1}
và thu được {1,2, ...,2mk} = T1 ∪T2 ∪...∪Tk.
Khi đó các Ti đều có 2m phần tử và tổng các số của Ti bằng m(2km+1) Vậy giả thiết H(2m,k) đúng.
Bài 8. Với mọi n > 3 lẻ thì giả thiết H(3,k) đúng suy ra giả thiết
H(n,k) đúng.
Bài giải
Giả sử T1, T2, ..., Tk là phân hoạch cân bằng theo số phần tử và theo tổng các phần tử.
Nếu n > 3 là số lẻ, suy ra n−3 là số chẵn.
Áp dụng bài toán 7 sẽ có một phân hoạch cân bằng theo số phần tử và theo tổng của tập {1,2, ....,(n−3)k} thành k lớp X1, X2, ..., Xk.
Bây giờ chúng ta thêm vào các lớp Xi để nhận được các phân hoạch của tập {1,2, ..., nk} từ tập {(n−3)k+ 1,(n−3)k + 2, ...., nk}.
Tập {(n−3)k + 1,(n−3)k + 2, ..., nk} gồm 3k số nên theo giả thiết quy nạp có thể phân hoạch thành k lớp, mỗi lớp có 3 phần tử có tổng các phần tử của mỗi lớp bằng nhau:
{(n−3)k + 1,(n−3)k+ 2, ..., nk}= Y1 ∪Y2 ∪...∪Yk
Suy ra {1,2, ..., nk} được phân hoạch thành k lớp:
X1 ∪Y1, X2 ∪Y2, ...., Xk ∪Yk (đpcm).