2 Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm
2.2.1Chứng minh không tồn tại phân hoạch thỏa mãn tính
mãn tính chất (G).
Bài 1. Chứng minh rằng không thể chia tập hợp {1, 2, . . . 1997} thành một số tập con đôi một rời nhau sao cho đối với mỗi tập con đó số lớn nhất bằng tổng các số còn lại.
Bài giải.
Giả sử phản chứng phân hoạch tồn tại. Khi đó tổng tất cả các số của mỗi tập con bằng 2 lần số lớn nhất. Suy ra tổng tất cả các số của tập {1, 2, . . . 1997} là số chẵn.
Mặt khác, 1 + 2 + 3 +. . . + 1997 = 1997.1998
2 =1997.999 là số lẻ (mâu
thuẫn).
Bài 2. Chúng ta xếp 1000 thẻ số với các số 000, 001, . . . , 999 vào 100 hộp có đánh số 00, 01, . . . , 99 theo quy tắc sau: Ta xếp thẻ với số x chỉ vào hộp có đánh số nhận được từ x bằng cách xóa đi một chữ số trong 3 chữ số của x.
1. Chứng minh rằng có thể xếp tất cả các thẻ vào 50 hộp.
2. Chứng minh rằng không thể xếp tất cả các thẻ vào n hộp với n < 40. Bài giải.
1. Ta chia tập các chữ số thành 2 tập
A = {0,1,2,3,4};B = {5,6,7,8,9}.
Ta xét các hộp ứng với các số mà 2 chữ số của nó thuộc cùng một tập A hoặc B. Số các hộp này bằng 2.5.5 = 50. Ta xếp tất cả các thẻ đánh số vào 50 hộp này như sau:
Một thẻ số x gồm 3 chữ số nên sẽ có một trong hai tập A, B chứa 2 chữ số của số x. Xoá số còn lại và ta xếp thẻ vào tập chứa 2 chữ số.
2. Trong một phân hoạch bất kì thì tất cả các hộp 00, 11, 22, . . . , 99 đều xuất hiện vì chứa các phần tử 000, 111, 222, . . . , 999. Không có hộp nào trong 10 hộp này chứa các thẻ pqr mà p, q, r đôi một khác nhau.
Xét hộp đánh số ab, a6= b. Khi đó có thể xếp các số pab, apb, abpvới p là chữ số bất kỳ khác a và b (để thỏa mãn tính chất đôi một khác nhau). Suy ra số cách chọn p 6= a, p 6= b là 8, vậy số các số dạng pqr, p 6= q 6= r
có thể xếp vào hộp ab, a 6= b bằng 3.8 = 24. Số các thẻ pqr, p 6= q 6= r
bằng 10.9.8 = 720. Để xếp 720 số này chúng ta cần ít nhất 720
24 = 30
hộp. Do vậy để xếp hết các số hạng trên chúng ta cần ít nhất 10 + 30 = 40 hộp. Suy ra với n < 40 ta khộng thể xếp tất cả các số vào n hộp.