7 hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2.4.4. Phƣơng pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý Dirichlet: nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = bq + r
(0< r < b) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên.
Tổng quát: Nếu nhốt a con thỏ vào b chiếc lồng mà phép chia 𝑎
𝑏 còn dƣ thì tồn tại một lồng nhốt 𝑎
𝑏 + 1 con thỏ trở lên.
Phƣơng pháp: khi giải các bài toán dạng này, cần làm xuất hiện khái
niệm "thỏ" và "lồng", sau đó vận dụng Nguyên lý Dirichlet để giải quyết bài toán.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít
nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10.
Giải:
Khi chia cho 10 ta có 10 trƣờng hợp số dƣ là 0, 1, 2, ..., 9 (10 lồng) mà ta có 11 số (11 thỏ), nên theo nguyên lý Dirichlet, bao giờ cũng có ít nhất 2 số có chữ số tận cùng giống nhau. Hiệu của 2 số đó có tận cùng bằng 0, do đó, hiệu của chúng chia hết cho 10.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với năm số tự nhiên bất kì, bao giờ ta cũng
chọn đƣợc ba số có tổng chia hết cho 3.
Giải:
Bất cứ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong 3 dạng: 3k, 3k+1, 3k+2 (kN).
+ Trƣờng hợp 1: có ít nhất 3 số thuộc cùng một dạng, tổng của 3 số này chia hết cho 3.
+ Trƣờng hợp 2: có 2 số thuộc một dạng nào đó, suy ra mỗi dạng có ít nhất 1 số. Khi đó, tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3.
40
Ví dụ 3.Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con xúc xắc. Chứng minh
rằng khi ta gieo xúc xắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm đƣợc một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5. Giải: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4′a5. Xét 5 tổng: s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 s4 = a1 + a2 + a3 + a4 s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
+ Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong. + Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì trong 5 tổng khi chia cho 5 sẽ có 4 trƣờng hợp số dƣ khác 0 là 1; 2; 3; 4, hiệu của 2 tổng này chia hết cho 5. Gọi 2 tổng đó là sm và sn (1 n m 5), thì sm − sn ⋮ 5
hay (a1 + a2 + ⋯ + am) − (a1 + a2 + ⋯ + an) = an+1+ an+2 + ⋯ + am ⋮ 5.
Vậy khi ta gieo xúc xắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm đƣợc một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.
Ví dụ 4. (Đề thi vào lớp 10 khối PTTH chuyên Toán - Tin trường Đại
học Vinh 2002- 2003).
Chứng minh rằng luôn tồn tại một số có dạng 200220002...2003, mà số đó chia hết cho 2003.
41
Giải:
Ta xét 2004 số có dạng: an = 20022002 … 2002, gồm n số 2002 viết liên tiếp nhau, 1 n 2004.
Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 2 số ak, at mà hiệu ak − at ⋮ 2003, với 1 t k 2004, ta có: ak − at = 104t. ak−t
42
Chƣơng 3