7 hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2.4.2.1.Nguyên lý quy nạp (kí hiệu: PMI(Principle of Mathematics Induction)).
Induction)).
Nếu mệnh đề T(n) thỏa mãn 2 điều kiện:
i) T(n0 ) đúng với một số tự nhiên n0 nào đó. ii) Nếu T(n) đúng thì T(n+1) đúng.
Khi đó mệnh đề T(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0.
Phƣơng pháp:
Giả sử mệnh đề T(n) xác định với mọi n ≥ n0.
Để chứng minh T(n) đúng với mọi n (n ≥ n0) bằng quy nạp, ta cần thực hiện 2 bƣớc.
Bước 1: Cơ sở quy nạp.
Trong bƣớc này, ta xét tính đúng đắn của T(n) với n = n0. Bước 2: Quy nạp.
Giả sử mệnh đề T(n) đã đúng.
Từ đó ta suy ra tính đúng đắn của T(n + 1).
Nếu cả 2 bƣớc trên đều thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp, T(n) đúng với mọi n ≥ n0.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
32n+1 + 40n − 67 ⋮ 64 với mọi số tự nhiên n khác 0.
Giải: + Với n = 1 thì 32.1+1 + 40.1 − 67 = 0 ⋮ 64 , mệnh đề đúng. + Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là 32k+1 + 40k − 67 ⋮ 64, ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Với n = k + 1, ta có 32 k+1 +1 + 40 k + 1 − 67 = 9. 32k+1 + 40k + 40 - 67 = 9.( 32k+1+ 40k − 67) - 320k + 567
35 = 9.( 32k+1+ 40k − 67) - 64(5k - 9) ⋮ 64.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, 32n+1 + 40n − 67 ⋮ 64 với mọi số tự nhiên n khác 0.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ⋮ 9 với mọi số tự nhiên n.
Giải: + Với n = 0 thì 03 + (0 + 1)3 + (0 + 2)3 = 9 ⋮ 9. + Giả sử mệnh đề đúng với n=k, tức là k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ⋮ 9. Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Với n = k + 1, ta có: k + 1 3 + k + 2 3 + k + 3 3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 +9k2 + 27k + 27 = k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 + 9. (k2 + 3k + 3) ⋮ 9.
Theo nguyên lý quy nạp, n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ⋮ 9 với mọi số tự nhiên n.