7 hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2.4.1.Phƣơng pháp tuần hoàn
Sự tuần hoàn của các số dƣ khi nâng lên lũy thừa
* Định lý: Đối với các số tự nhiên a, m tùy ý, các số dƣ của phép
chia a, a2, a3, a4, a5, a6, ... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh: ta lấy m+1 lũy thừa đầu tiên a, a2, a3, a4, ....,am, am+1. Xét các số dƣ của chúng khi chia cho m, ta có m trƣờng hợp số dƣ (0; 1; 2;...; m-1), mà lại có m + 1 số, theo nguyên lỹ Dirichlet sẽ có 2 số có cùng số dƣ khi chia cho m, ví dụ ak và ak+t (t > 0).
Khi đó, ak
≡ ak+t (mod m).
Với mọi n ≥ k, nhân cả 2 vế của phép đồng dƣ với an-k, ta có: an≡ an+t (mod m).
Điều đó chứng tỏ từ vị trí tƣơng ứng với ak, các số dƣ lặp lại
Số t đƣợc gọi là chu kì tuần hoàn của các số dƣ khi chia lũy thừa a cho m.
Ví dụ: Xét các số dƣ khi chia các lũy thừa của cơ số 3 cho 5.
Lũy thừa 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Số dƣ 3 4 2 1 3 4 2 1 3
Từ vị trí tƣơng ứng với 35, các số dƣ lặp lại, tuy nhiên, nếu xét số dƣ khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa rồi tính thì phức tạp và không nhanh, dựa vào định lý đã có, ta có phƣơng pháp sau:
Phƣơng pháp.
Trƣớc hết, ta cần xác định số dƣ của lũy thừa an
chia cho m, ta tìm các số k, t nhỏ nhất để: ak≡ ak+t (mod m).
32
Sau đó, căn cứ vào số dƣ r của n chia cho t, ta xác định số dƣ tƣơng ứng với ak+r
.
Chú ý:
1) Trong trƣờng hợp tồn tại số tự nhiên s để as
≡1 (mod m)
ta chỉ phải tìm các số tự nhiên nhỏ nhất k, t sao cho ak ≡ ak+t ≡1 (mod m).
Sau đó tìm số dƣ của r của n chia cho t và xác định số dƣ của ar
khi chia cho m. Đây là số dƣ của an
khi chia cho m.
2) Khi lũy thừa có số mũ không phải hàm tuyến tính của n, chẳng hạn ap(n) với p(n) là một hàm mũ, mà ta có thể thay đổi cơ số từ a sang b, để có ap(n)
= bq(n) và b ≡1 (mod m) thì ap(n)
=1q(n) ≡1 (mod m). Nếu không biến đổi cơ số nhƣ trên ta cần tìm cách thay đổi cơ số để lũy thừa có số mũ là một số tự nhiên.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng 1482004 +10 chia hết cho 11.
Giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta tìm số dƣ của 1482004 chia cho 11.
Do 18 ≡ 3 (mod 11) nên 1482004 ≡ 382004 mod 11 .
Lại có: 38 = 6561 ≡ 5 (mod 11) nên 382004 ≡ 52004 mod 11 .
Xét các số dƣ thuộc các lũy thừa của 5 khi chia cho 11:
51 52 53 54 55 56 57 58
5 4 9 1 5 4 9 1
vậy 52004 = (54)501 ≡ 1501 ≡ 1 mod 11 hay 1482004 ≡ 1 (mod 11) mà 10 ≡ 10 (mod 11)
nên 1482004 + 10 ≡ 11 ≡ 0 (mod 11). Vậy 1482004 + 10 ⋮ 11.
33
Ví dụ 2. Chứng minh rằng 777777 − 7 chia hết cho 10.
Giải:
ta có : 777 ≡ 7 (mod 10) nên 777777 ≡ 7777 mod 10 . Xét các số dƣ thuộc các lũy thừa của 7 khi chia cho 10
71 72 73 74 75 76 77 78
7 9 3 1 7 9 3 1
777 = 4. 194 + 1.
suy ra 7777 = 74.194+1 = 7. (74)194 ≡ 7.1 ≡ 7(mod 10)
hay 777777 ≡ 7(mod 10), từ đó: 777777 − 7 ≡ 7 − 7 ≡ 0 mod 10 .
Vậy 777777 − 7 ⋮ 10.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng 222333 + 333222 chia hết cho 13.
Giải:
Vì 222 ≡ 1 mod 13 nên 222333 ≡ 1333 ≡ 1 mod 13 . (1) Vì 333 ≡ 8 mod 13 nên 333222 ≡ 8222 mod 13 .
Xét các số dƣ thuộc các lũy thừa của 8 khi chia cho 13:
81 82 83 84 85 86 87 8 8 8 9 3 1 7 9 3 1 222 = 4.55 + 2. Vì 84 ≡ 1 mod 13 nên 8222 = 84.55+2 = (84)55. 82 ≡ 1.64 ≡ 12 mod 13 . do đó: 333222 ≡ 12 mod 13 . (2) Từ (1) và (2) suy ra 222333 + 333222 ≡ 1 + 12 ≡ 0 (mod 13). Vậy 222333 + 333222 ⋮ 13.
34