7 hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2.4.3.Phƣơng pháp phản chứng
Phƣơng pháp: Để chứng minh khẳng định p q bằng phƣơng pháp phản chứng, ta giả sử q sai (tức là 𝑞 là mệnh đề đúng). Nếu từ đó dẫn đến điều vô lí thì điều đó chứng tỏ rằng giả sử của ta là sai, tức là q đúng.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi n:
n2 + 8n + 1147 ⋮ 9.
Giải:
Giả sử tồn tại số n sao cho n2 + 8n + 1147 ⋮ 9.
ta có:
n2 + 8n + 1147 = n2 + 8n + 7 + 1140 = n + 1 n + 7 + 1140 .
Vì n2 + 8n + 1147 ⋮ 9 nên n2 + 8n + 1147 ⋮ 3 hay n + 1 n + 7 + 1140 ⋮ 3.
Vì 1140 ⋮ 3 nên (n + 1)(n + 7) ⋮ 3.
Lại có 3 là số nguyên tố nên n + 1 ⋮ 3 hoặc n + 7 ⋮ 3,
mà (n + 7) - (n + 1) = 6 ⋮ 3 nên n+1 ⋮ 3 và n+7 ⋮ 3, vậy (n + 1)(n + 7) ⋮ 9. n2 + 8n + 1147 = n + 1 n + 7 + 1140 ⋮ 9.
Suy ra 1140 ⋮ 9 mà 1140 ⋮ 9 nên điều này là vô lý. Vậy với mọi n: n2 + 8n + 1147 ⋮ 9.
38
Ví dụ 2. (Thi vô địch Hung-ga-ri năm 1977).
Tìm số nguyên n sao cho n2 − n + 3 ⋮ 121.
Giải:
Ta có: n2 − n + 3 = n − 6 n + 5 + 33.
Giả sử n2 − n + 3 ⋮ 121 tức là n − 6 n + 5 + 33 ⋮ 121 (*) suy ra n − 6 n + 5 + 33 ⋮ 11.
Vì 33 ⋮ 11 nên n − 6 n + 5 ⋮ 11.
Lại có 11 là số nguyên tố nên n − 6 ⋮ 11 hoặc n + 5 ⋮ 11.
+ Nếu n − 6 ⋮ 11 thì n − 6 + 11 ⋮ 11 hay n + 5 ⋮ 11, từ đó ta có
n − 6 n + 5 ⋮ 121, từ (*) suy ra 33 ⋮ 121 (vô lí).
+ Nếu n + 5 ⋮ 11 thì n + 5 − 11 ⋮ 11 hay n − 6 ⋮ 11, từ đó ta có
n − 6 n + 5 ⋮ 121, từ (*) suy ra 33 ⋮ 121 (vô lí). Vậy không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì n3 + 1 không thể là số chính phƣơng.
Giải:
Nếu n là số lẻ thì n3 + 1 là số chẵn.
Giả sử n3 + 1 là số chính phƣơng, khi đó n3 + 1 = (2k)2 (kN).
n3 = 2k − 1 2k + 1 .
Vì 2k - 1 và 2k + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên:
2k − 1 = u3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2k + 1 = v3 (u, v N) suy ra v3 − u3 = 2.
v − u)(v2 + uv + v2) = 2 (*).
Vì v - u ≥ 1 và v2 + uv + v2 ≥ 3 nên đẳng thức (*) không xảy ra Vậy nếu n là số tự nhiên lẻ thì n3 + 1 không thể là số chính phƣơng.
39