7 hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2.4.2.2. Nguyên lý quy nạp toán học mạnh
Khi chứng minh một số bài toán sử dụng phƣơng pháp quy nạp toán học, nhiều trƣờng hợp ta có T(n) đúng nhƣng khó chứng minh T(n+1) đúng, khi đó ta phải sử dụng thêm các mệnh đề khác nhƣ T(n0+1), T(n0+2),...
Nguyên lý quy nạp toán học mạnh
(Kí hiệu: PSMI (Principle of StrongMathematics Induction)) Nếu mệnh đề T(n) thỏa mãn 2 điều kiện:
i) T(n0 ) đúng với một số tự nhiên n0 nào đó.
ii) Với mỗi số tự nhiên n ≥ n0, nếu T(n0+1), T(n0+2),...,T(n) đúng thì T(n+1) đúng.
36
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
n4 − n2 ⋮ 12 với mọi số nguyên dƣơng n.
Giải:
Ta thấy rằng mệnh đề đúng với 6 số nguyên dƣơng đầu tiên + Với n = 1 thì 14 − 12 = 0 ⋮ 12. + Với n = 2 thì 24 − 22 = 12 ⋮ 12. + Với n = 3 thì 34 − 32 = 72 ⋮ 12. + Với n = 4 thì 44 − 42 = 240 ⋮ 12. + Với n = 5 thì 54 − 52 = 600 ⋮ 12. + Với n = 6 thì 64 − 62 = 1260 ⋮ 12.
+ Với n ≥ 6, ta giả sử k4 − k2 ⋮ 12 với mọi k, 1≤ k ≤ n,
ta sẽ chứng minh n + 1 4 − n + 1 2 ⋮ 12. Do M(n - 5) đúng nên n − 5 4 − n − 5 2 ⋮ 12. Đặt k = n - 5. Khi đó, n + 1 4 − n + 1 2 = k + 6 4 − k + 6 2 = k4 + 24k3 + 216k2 + 864k + 1296 − (k2 + 12k + 36) = (k4 − k2) +12.(2k3 + 18k2 + 71k + 105) ⋮ 12. Vậy mệnh đề đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp mạnh thì n4 − n2 ⋮ 12 với mọi số nguyên dƣơng n.
Ví dụ 2. Cho dãy các số có quan hệ sau:
a0 = 0; a1 = 2 và an = 4. an−1 − an−2 với n ≥ 2. Chứng minh rằng an = n. 2n với mọi số tự nhiên n.
Giải:
+ Với n = 0 thì a0 = 0 = 0. 20 , mệnh đề đúng. + Với n = 1 thì a1 = 2 = 1. 21 , mệnh đề đúng.
37
+ Với mỗi số nguyên n ≥ 2, giả sử với mọi số nguyên k, 2 k n, ta có
an = n. 2n, ta phải chứng minh an+1 = n + 1 . 2n+1. Thật vậy, an+1 = 4. an − an−1
= 4. [n. 2n - (n - 1). 2n−1 ] = 4. [2n. 2n−1− n − 1 . 2n−1] = 4. (2n - n + 1). 2n−1 = ( n + 1). 2n+1.
Vậy mệnh đề đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp mạnh thì mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.