Sự tương tác giữa hệ nguyên tử và trường ánh sáng có thể được mô tả
bởi nhiều cách khác nhau, chẳng hạn, chúng ta có thể sử dụng phương trình Schrodinger để mô tả sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái của hệ. Nếu chúng ta chỉ quan tâm các quá trình kích thích lên hệ nguyên tử, như sự
hấp thụ ánh sáng tới thì chỉ cần sử dụng phương trình Schrodinger để tính toán xác suất tìm thấy nguyên tử ở trong trạng thái kích thích. Tuy nhiên, thực tế bao giờ cũng có các quá trình tích thoát độ cư trú (chẳng hạn, do phát xạ tự
phát). Vì vậy, chúng ta cần phải sử dụng phương trình ma trận mật độ để mô
tả sự tiến triển theo thời gian của hệ khi kể đến các quá trình tích thoát. Theo cách này, các quá trình tích thoát được đưa vào bằng cách cộng thêm số hạng suy giảm trong phương trình ma trận mật độ.
1.3.1.1. Ma trận mật độ
Nếu tất cả các trạng thái riêng của tập hợp các trạng thái của hệ là cùng một trạng thái k , tức là hệ nằm trong một trạng thái thuần khiết thì ma trận mật độ được định nghĩa là [38-40]: ( )t k( )t k( )t . (1.22) Các phần tử ma trận mật độ được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nm n t m n k t k t m c t c tn m . (1.23)
trong đó, cn và cm là các hệ số khai triển của hàm sóng trong các trạng thái
n và m , tương ứng.
Các phần tử ma trận mật độ trên đường chéo, nn |cn|2 tương ứng với xác suất hay độ cư trú mà nguyên tử ở trong trạng thái n . Các phần tử ma trận mật độ ngoài đường chéo, nm c cn m
tương ứng với độ liên kết giữa các mức n và m , chỉ khác không nếu hệ ở trong sự chồng chất kết hợp của các
trạng thái riêng n và m . Độ kết hợp nguyên tử liên quan đến sự đáp ứng quang của môi trường nguyên tử.
Nếu hệ ở trong một trạng thái pha trộn của các trạng thái thuần khiết, với xác suất Pi tìm thấy hệ nằm trong trạng thái i thì ma trận mật độ có dạng [46]: ( ) i i( ) i( ) i t P t t . (1.24) Từ định nghĩa của ma trận mật độ, chúng ta xác định được giá trị kỳ vọng của một biến quan sát như sau [38-40]:
i i i i O P O k k k O . (1.25) Như vậy:
Tr
O O . (1.26)
trong đó, Tr là kí hiệu vết của ma trận mật độ – là tổng của tất cả các số hạng
trên đường chéo chính của ma trận mật độ. Phương trình (1.26) cho thấy, trung bình trên tập hợp của bất kỳ toán tử quan sát O có thể được tính toán bằng vết của ma trận O. Vì vết không phụ thuộc vào hệ cơ sở, nên bất kỳ
phép biến đổi unita đều bất biến đối với phép lấy vết.