Bài toán được đặt ra giống như trong lý thuyết Bo: Xét nguyên tử Hydrô và các Ion tương tự như Hydrô (He++; Li++v.v…) là hệ gồm electron mang điện tích -e và hạt nhân mang điện tích +Ze. Electron chuyển động quanh hạt nhân được coi là đứng yên và chịu tác dung của trường lực thế Culông từ hạt nhân.
.
Sự khác biệt với lý thuyết cổ điển ở đây là phải xuất phát từ việc thành lập phương trình Srôđingơ cho trường lực dừng.
(7-1)
Thay biểu thức của thế năng U và đưa kí hiệu toán tử Laplaxơ.
Ta có:
(7-2)
(7-3)
Vì U là hàm của r chứ không phải là hàm của x,y,z nên để thuận tiện trong việc giải người ta biểu diễn phương trình Srôđingơ trong toạ độ cầu r, q, ϕ.
Từ đó có thể chuyển các đạo hàm theo các toạ độ x,y,z thành các đạo hàm theo các toạ độ r, q, ϕ. Sau quá trình biến đổi và rút gọn ta được dạng của toán tử Laplaxơ trong toạ độ cầu như sau:
Như vậy phương trình Srôđingơ có dạng:
(7-4)
Thay giá của thếnăng U, rồi nhân với r2sin2q ta có:
(7-5) Phương trình trên là phương trình Srôđingơ trong hệ toạ độ cầu, việc giải phương trònh trên rất phức tạp do hạn chế về công cụ toán học. Nhưng nhờ việc giải phương trình trong toạ độ cầu mà ta có thể tách thành ba phương trình độc lập, mỗi phương trình chỉ phụ thuộc vào một biến số riêng bỏ qua các biến số trung gian ta có: (7-6) (7-7) *Từ phương trình (7-6) ta có nghiệm: (7-9) (7-8)
Với A là hằng số tích phân, f là một phần của hàm sóng , nên nó phải liên tục, hữu hạn và đơn trị. Điều kiện đơn trị chính là:
φ(ϕ) = φ(ϕ+2π) hay là:
Dẫn đến điều kiện bắt buộc đối với giá trị m:
m: được gọi là lượng tử số từ.
*Phương trình (7-7) cho ta nghiệm dưới dạng một đa thức Lơgiăngdrơ
(Lengender) và với các điều kiện tiêu chuẩn của hàm ta timg được giá trị của l, đó là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng
Hay: (7-11)
L: được gọi là lượng tử số quỹ đạo.
*Phương trình (7-8) cho ta nghiệm dưới dạng một đa thức Laghenrơ (Lagnerre). Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm R, ta tìm được năng lượng E, với giá trị âm gián đoạn:
(7-12) Trong đó: n=1,2,3,…
N: được gọi là lượng tử số chính. Từ quá trình biện luận ta tìm được . Do vậy:
l= 0,1,2,…,n-1 (7-13)
Tóm lại ta có ba lượng tử số với các giá trị khả dĩ sau: (7-14)
Sự xuất hiện các lượng tử số này hoàn toàn do đòi hỏi của hàm sóng trong quá tình giải phương trình Srônđingơ. Và ta sẽ thấy rằng, mỗi lượng tử số gắn với một đại lượng vật lý đặc trưng cho trạng thái của electron trong nguyên tử Hydrô. Mỗi trạng thái phụ thuộc vào một tập hợp xác định của ba lượng tử số nói trên và dược mô tả bằng hàm sóng kí hiệu là: